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摘要：在控制测量过程中，GPS测量由于其高效性、经济性、实时性等特点已经在平面控制测量中得到了广泛的应用。但是在高程控制测量方面却没有得到更好的推广。长期以来，水准测量是提供正常高的主要技术手段，它具有原理简单、误差易于检验的优点，但是其长距离作业时效率低、作业强度大等缺点却也是不可避免的。因此，人们迫切期望能够用GPS高程测量代替传统水准测量。本文根据近年来以美国大地测量局（NGS）为代表提出的“高程现代化”理念，对GPS高程测量的原理和方法进行了初步的探讨，并结合实际提出了一些在GPS高程控制测量过程中提高测量精度的方法。
关键词：GPS高程；大地高；正常高；高程拟合；函数模型
Abstract: in the control measurement process, GPS measurement due to its high efficiency and economy, the real time characteristics have been in plane control in the measurement of a wide range of applications. But in elevation control survey but didn't get better promotion. Long-term since, leveling measurement is provide normal high main technology means, it is simple and easy to test principle error of advantages, but its long, low efficiency of operations, homework strength etc flaws is inevitable. Therefore, people desperately hopes can use GPS leveling instead of traditional level measurement. In this paper, according to the United States in recent years with land measurement bureau (NGS) to represent the "elevation modernization" concept, the GPS leveling of the principle and method of a preliminary study, and actual presents some elevation control in the process of GPS measure to improve measurement accuracy of the method.
Keywords: GPS elevation; The earth high; Normal high; Elevation fitting; Function model
中圖分类号：P228.4文献标识码：A 文章编号：
一、 引言
GPS技术的出现，为确定大地水准面高提供了新的途径，提高了作业的效率。然而我们的实用高程采用的是以似大地水准面为基准的正常高。因此，我们必须要实现GPS大地高向正常高的转换，从理论上讲，实现GPS大地高向正常高转换最好的方法是综合利用GPS测量数据、重力测量数据和地球重力场模型进行转换。然而，对于一般工程单位来说，考虑到作业成本的问题，人们不可能花那么多的经费去获取昂贵的重力资料。本文就是探讨如何结合工程实际情况，利用较少的经费获取较高精度的GPS高程，从而实现低成本、高效率、高质量的测量成果。
二、 常用高程系统的基本定义
大地高：大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。一般用H表示。
正高：正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离。一般用H正高表示。
正常高：正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离。一般用h表示。
高程异常：高程异常是指似大地水准面到参考椭球面的距离。一般用ζ表示。
大地高与正常高之间的关系可以表示为：
ζ = H-h（1）
图1 大地高与正常高关系示意图
三、 GPS高程测量原理。
利用GPS可以测量出高精度的WGS84三维坐标（即大地经纬度和大地高），但是我国大多数用户需要的是正常高（例如1985国家高程基准等），那么就需要将大地高转换成为我们需要的正常高，由图1可以知道，h=H-ζ，由此可以知道，将GPS大地高转换成正常高的关键就是求出GPS点上的高程异常值ζ。因此，在利用GPS确定了高精度的大地高后，求正常高的过程实际上就是求高程异常的过程。
四、 常用GPS水准高程计算方法介绍
通过前面的介绍我们知道，由大地高转换到正常高的过程就是求高程异常值ζ的过程。目前，求高程异常值的方法有很多，比如GPS三角高程、曲面拟合法、GPS重力高程、绘等值线图法、解析内插法等等。在实际工程应用中考虑到生产成本的因素，我们要根据实际情况选择既能提高工作效率，又能提高成果精度的方法。
下面简单介绍一下几种常用的确定高程异常的方法。
a、绘等值线图法
绘等值线图法是较早使用的GPS水准方法。其原理是：假设在某一测区，有m个GPS点，用传统的几何水准方法联测其中n个点的正常高（即当作已知点），根据GPS观测获得这些点的大地高，按式（1）求出这n个已知点的高程异常。然后，选定适合的比例尺，将这n个已知点的平面坐标（平面坐标经GPS网平差后获得）展绘在图面上，并标注上相应的高程异常，再根据测区测量精度要求选取1cm~5cm的等高距，绘出测区的高程异常图。在图上展绘其他待求点的平面位置，通过内插法计算出高程异常，从而求出这些待求点的正常高。
b、曲面拟合法
当GPS点布设成网状时，可用一个多项式曲面来拟合高程异常。其原理是，根据测区中已知点的平面坐标x、y和ζ值，用数值拟合法，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常ζ，从而求出待求点的正常高。
设测站点的高程异常ζ与坐标x,y之间存在以下函数关系：
ζi=f(xi,yi)+vi
式中，f（x,y）为的趋势值，v为误差。
我们可用以下空间曲面表达式来拟合，
f(xi,yi)=a0+a1 xi+a2yi+a3xi2+a4xiyi+a5yi2+a6xi3+a7xi2yi+a8xiyi2+a9yi3(2)
式中ai为待定系数，于是，如果有n个点，则可以得到下面的矩阵形式，
ζ=AX+v
式中，ζ=[ζ1, ζ2, ζ3, ……，ζn]T
v=[v1, v2, v3, ……，vn]T
X=[a1, a2, a3, ……，an]T
A=[1x1y1x1y1
1x2y2x2y2
1x3y3x3y3
…… … …
1 xnynxnyn]
对于每个已知点，都可列出以上方程，在∑v2=min条件下，解出各ai，再通过内插求出待定点的高程异常，从而求出正常高。在式（2）中，若取未知数一次项，则称平面拟合，取二次项，称曲面拟合，取三次项，称三次多项式拟合，依此类推。
c、解析内插法
当GPS点布设成线状时（如沿河航道测区等），多项式曲面拟合法需要进行分段计算，这样的话在连接处会出现不连续和不光滑的现象，影响计算结果的精度。这种情况下我们可以采用以下曲线内插法（三次样条函数曲线拟合法），求定待求点的正常高。其原理是：根据测线上已知点平面坐标和高程异常，用数值拟合的方法，拟合出测线方向的似大地水准面曲线，再内插出待求点的高程异常，从而求出点的正常高。
当三次自然样条函数S (xi)满足以下条件时，
1)S(xi)=yi(i=0，1.…,n)
2)在每个子区间(xi, xi+1)上是一个三次多项式
3)在〔x0, xn〕上有一到二阶连续导数，且在端点有S" (x0) = S" (xn)=0
可以证明S(x)存在着唯一的数学公式，形式如下:过n个已知点，ξi和xi(或yi)在区间(xi, xi+1) (i=0,1,2,……,n一1)上的三次样条函数关系式为：
Si (x)=ζ(xi)+(x- xi)ζ(xi,x i-1)+(x- xi)(x-x i-1)ζ(x, xi,xi-1)
式中，一阶微商ζ(xi,x i-1)=（ζi+1-ζi）/（x i+1-x i）
二阶微商ζ(x, xi,xi-1)= [ ζ （x i）+ζ （x ）+ζ（x i-1）][ζ(xi,x i-1)-
ζ(x,x i)]/ （x i-1- xi）
由于ξ" (x)在(xi, xi+1)上是一次多项式，因此
ζ （x ）=ζ （x i）+(x- xi) ζ(xi,x i-1)
而ξ"(xi)（i=1,2,……,n-1）满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组
(xi,x i-1)ζ （x i-1）+2（x i+1-x i-1）ζ （x i）+( x i-1- xi) ζ （x i-1）
=6[ζ(xi,x i-1)- ζ(xi-1,x i)]
ζ(x0) =ζ （x n）=0 （3）
用追赶法解方程组(3)式，得系数ξ"(xi)，求得插值点的ξ值，再按(1)式算出正常高h 。
五、 应用实例
在南方某市3河涌测量过程中，为了检测GPS水准测量的精度的可靠性，对测区内部分点分别采用了传统几何水准测量和GPS水准测量两种方法獨立进行测量。本次测量共选取了（20）个水准点，其中（4）个已知点可以包围整个测区，（16）个未知点。几何水准测量采用的是WILD-NA2水准仪进行的三等水准测量，GPS外业测量采用的是Trimble 5700双频接收机按照航道测量D级网要求进行观测，内业计算采用曲面拟合模型进行计算。为了客观的反映两种方法的精度情况，对两种测量方法的成果进行比较，以相应等级的水准测量高差限差为标准，以距离已知点最近的水准点作为几何水准高差统计依据，
测区点位分布图如下：
测量统计结果如下：
通过上表数据可以发现，本次测量的GPS水准方法能符合三等水准测量规范要求。
六、 结束语
随着现代GPS技术的发展，特别是厘米级似大地水准面的进展，为GPS水准测量提供了技术基础，使高效率的GPS水准在某些情况下可以取代劳动强度大、工作效率低的传统水准测量，从而节省大量的财力物力，从本文实验的结果并结合前人的研究成果来看：
1、在平原或丘陵地区的一般工程测量中，选择合适的数学模型， GPS高程拟合的方法能够达到三等水准测量的精度。
2、已知点的选取对拟合的精度影响很大 ,因此应该尽量选取数量足够的、分布均匀的、并能包围整个测区的已知点。
3、应当根据测区实际情况合理选择拟合起算点的个数。对地形比较复杂的测区 , 应采用分区计算的方法。
4、根据不同测区，选用合适的拟合模型。对高差大于100m的测区，一般要加地形改正。
参考文献
[1] 徐绍铨 ,张华海 ,杨志强等. GPS测量原理及应用 [M ].武汉:武汉大学出版社 ,2006
[2]乔仰文，辛久志，王晓辉。GPS高程拟合的几种常用方法。东北测绘，1999
[3]沈学标，孙文兵等。提高GPS水准高程拟合精度的讨论。地矿测绘，2000
[4]陈俊勇、李建成、宁津生等。中国似大地水准面，测绘学报，2002
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
关键词：GPS高程；大地高；正常高；高程拟合；函数模型
Abstract: in the control measurement process, GPS measurement due to its high efficiency and economy, the real time characteristics have been in plane control in the measurement of a wide range of applications. But in elevation control survey but didn't get better promotion. Long-term since, leveling measurement is provide normal high main technology means, it is simple and easy to test principle error of advantages, but its long, low efficiency of operations, homework strength etc flaws is inevitable. Therefore, people desperately hopes can use GPS leveling instead of traditional level measurement. In this paper, according to the United States in recent years with land measurement bureau (NGS) to represent the "elevation modernization" concept, the GPS leveling of the principle and method of a preliminary study, and actual presents some elevation control in the process of GPS measure to improve measurement accuracy of the method.
Keywords: GPS elevation; The earth high; Normal high; Elevation fitting; Function model
中圖分类号：P228.4文献标识码：A 文章编号：
一、 引言
GPS技术的出现，为确定大地水准面高提供了新的途径，提高了作业的效率。然而我们的实用高程采用的是以似大地水准面为基准的正常高。因此，我们必须要实现GPS大地高向正常高的转换，从理论上讲，实现GPS大地高向正常高转换最好的方法是综合利用GPS测量数据、重力测量数据和地球重力场模型进行转换。然而，对于一般工程单位来说，考虑到作业成本的问题，人们不可能花那么多的经费去获取昂贵的重力资料。本文就是探讨如何结合工程实际情况，利用较少的经费获取较高精度的GPS高程，从而实现低成本、高效率、高质量的测量成果。
二、 常用高程系统的基本定义
大地高：大地高系统是以参考椭球面为基准面的高程系统。某点的大地高是该点到通过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离。一般用H表示。
正高：正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统。某点的正高是该点到通过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离。一般用H正高表示。
正常高：正常高系统是以似大地水准面为基准的高程系统。某点的正常高是该点到通过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离。一般用h表示。
高程异常：高程异常是指似大地水准面到参考椭球面的距离。一般用ζ表示。
大地高与正常高之间的关系可以表示为：
ζ = H-h（1）
图1 大地高与正常高关系示意图
三、 GPS高程测量原理。
利用GPS可以测量出高精度的WGS84三维坐标（即大地经纬度和大地高），但是我国大多数用户需要的是正常高（例如1985国家高程基准等），那么就需要将大地高转换成为我们需要的正常高，由图1可以知道，h=H-ζ，由此可以知道，将GPS大地高转换成正常高的关键就是求出GPS点上的高程异常值ζ。因此，在利用GPS确定了高精度的大地高后，求正常高的过程实际上就是求高程异常的过程。
四、 常用GPS水准高程计算方法介绍
通过前面的介绍我们知道，由大地高转换到正常高的过程就是求高程异常值ζ的过程。目前，求高程异常值的方法有很多，比如GPS三角高程、曲面拟合法、GPS重力高程、绘等值线图法、解析内插法等等。在实际工程应用中考虑到生产成本的因素，我们要根据实际情况选择既能提高工作效率，又能提高成果精度的方法。
下面简单介绍一下几种常用的确定高程异常的方法。
a、绘等值线图法
绘等值线图法是较早使用的GPS水准方法。其原理是：假设在某一测区，有m个GPS点，用传统的几何水准方法联测其中n个点的正常高（即当作已知点），根据GPS观测获得这些点的大地高，按式（1）求出这n个已知点的高程异常。然后，选定适合的比例尺，将这n个已知点的平面坐标（平面坐标经GPS网平差后获得）展绘在图面上，并标注上相应的高程异常，再根据测区测量精度要求选取1cm~5cm的等高距，绘出测区的高程异常图。在图上展绘其他待求点的平面位置，通过内插法计算出高程异常，从而求出这些待求点的正常高。
b、曲面拟合法
当GPS点布设成网状时，可用一个多项式曲面来拟合高程异常。其原理是，根据测区中已知点的平面坐标x、y和ζ值，用数值拟合法，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求点的高程异常ζ，从而求出待求点的正常高。
设测站点的高程异常ζ与坐标x,y之间存在以下函数关系：
ζi=f(xi,yi)+vi
式中，f（x,y）为的趋势值，v为误差。
我们可用以下空间曲面表达式来拟合，
f(xi,yi)=a0+a1 xi+a2yi+a3xi2+a4xiyi+a5yi2+a6xi3+a7xi2yi+a8xiyi2+a9yi3(2)
式中ai为待定系数，于是，如果有n个点，则可以得到下面的矩阵形式，
ζ=AX+v
式中，ζ=[ζ1, ζ2, ζ3, ……，ζn]T
v=[v1, v2, v3, ……，vn]T
X=[a1, a2, a3, ……，an]T
A=[1x1y1x1y1
1x2y2x2y2
1x3y3x3y3
…… … …
1 xnynxnyn]
对于每个已知点，都可列出以上方程，在∑v2=min条件下，解出各ai，再通过内插求出待定点的高程异常，从而求出正常高。在式（2）中，若取未知数一次项，则称平面拟合，取二次项，称曲面拟合，取三次项，称三次多项式拟合，依此类推。
c、解析内插法
当GPS点布设成线状时（如沿河航道测区等），多项式曲面拟合法需要进行分段计算，这样的话在连接处会出现不连续和不光滑的现象，影响计算结果的精度。这种情况下我们可以采用以下曲线内插法（三次样条函数曲线拟合法），求定待求点的正常高。其原理是：根据测线上已知点平面坐标和高程异常，用数值拟合的方法，拟合出测线方向的似大地水准面曲线，再内插出待求点的高程异常，从而求出点的正常高。
当三次自然样条函数S (xi)满足以下条件时，
1)S(xi)=yi(i=0，1.…,n)
2)在每个子区间(xi, xi+1)上是一个三次多项式
3)在〔x0, xn〕上有一到二阶连续导数，且在端点有S" (x0) = S" (xn)=0
可以证明S(x)存在着唯一的数学公式，形式如下:过n个已知点，ξi和xi(或yi)在区间(xi, xi+1) (i=0,1,2,……,n一1)上的三次样条函数关系式为：
Si (x)=ζ(xi)+(x- xi)ζ(xi,x i-1)+(x- xi)(x-x i-1)ζ(x, xi,xi-1)
式中，一阶微商ζ(xi,x i-1)=（ζi+1-ζi）/（x i+1-x i）
二阶微商ζ(x, xi,xi-1)= [ ζ （x i）+ζ （x ）+ζ（x i-1）][ζ(xi,x i-1)-
ζ(x,x i)]/ （x i-1- xi）
由于ξ" (x)在(xi, xi+1)上是一次多项式，因此
ζ （x ）=ζ （x i）+(x- xi) ζ(xi,x i-1)
而ξ"(xi)（i=1,2,……,n-1）满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组
(xi,x i-1)ζ （x i-1）+2（x i+1-x i-1）ζ （x i）+( x i-1- xi) ζ （x i-1）
=6[ζ(xi,x i-1)- ζ(xi-1,x i)]
ζ(x0) =ζ （x n）=0 （3）
用追赶法解方程组(3)式，得系数ξ"(xi)，求得插值点的ξ值，再按(1)式算出正常高h 。
五、 应用实例
在南方某市3河涌测量过程中，为了检测GPS水准测量的精度的可靠性，对测区内部分点分别采用了传统几何水准测量和GPS水准测量两种方法獨立进行测量。本次测量共选取了（20）个水准点，其中（4）个已知点可以包围整个测区，（16）个未知点。几何水准测量采用的是WILD-NA2水准仪进行的三等水准测量，GPS外业测量采用的是Trimble 5700双频接收机按照航道测量D级网要求进行观测，内业计算采用曲面拟合模型进行计算。为了客观的反映两种方法的精度情况，对两种测量方法的成果进行比较，以相应等级的水准测量高差限差为标准，以距离已知点最近的水准点作为几何水准高差统计依据，
测区点位分布图如下：
测量统计结果如下：
通过上表数据可以发现，本次测量的GPS水准方法能符合三等水准测量规范要求。
六、 结束语
随着现代GPS技术的发展，特别是厘米级似大地水准面的进展，为GPS水准测量提供了技术基础，使高效率的GPS水准在某些情况下可以取代劳动强度大、工作效率低的传统水准测量，从而节省大量的财力物力，从本文实验的结果并结合前人的研究成果来看：
1、在平原或丘陵地区的一般工程测量中，选择合适的数学模型， GPS高程拟合的方法能够达到三等水准测量的精度。
2、已知点的选取对拟合的精度影响很大 ,因此应该尽量选取数量足够的、分布均匀的、并能包围整个测区的已知点。
3、应当根据测区实际情况合理选择拟合起算点的个数。对地形比较复杂的测区 , 应采用分区计算的方法。
4、根据不同测区，选用合适的拟合模型。对高差大于100m的测区，一般要加地形改正。
参考文献
[1] 徐绍铨 ,张华海 ,杨志强等. GPS测量原理及应用 [M ].武汉:武汉大学出版社 ,2006
[2]乔仰文，辛久志，王晓辉。GPS高程拟合的几种常用方法。东北测绘，1999
[3]沈学标，孙文兵等。提高GPS水准高程拟合精度的讨论。地矿测绘，2000
[4]陈俊勇、李建成、宁津生等。中国似大地水准面，测绘学报，2002
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。