2007年高考山东理科数学第19题（以下简称试题1）：设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝
　　n3，n∈
　　N*.
　　（Ⅰ）求数列{an}的通项；
　　（Ⅱ）设bn=
　　nan
　　，求数列{bn}的前n项和Sn.
　　时隔仅二年，2009年高考湖北卷文科数学第19题（以下简称试题2）竟然与之如出一辙：已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
　　（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
　　（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足：an＝
　　b12
　　＋b222＋
　　b323＋…＋
　　bn2n
　　（n∈
　　N*），求数列{bn}的前n项和Sn.
　　试题1赏析:（Ⅰ）此问题等价于数列{3n－1an}的前n项和Sn满足Sn＝
　　n3
　　，求数列{an}的通项.
　　因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an=
　　n3，①
　　所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝
　　n-13
　　，②
　　①－②得3n－1an＝
　　13，an＝
　　13n.
　　在①中，令n＝1，得a1＝13.
　　因为n＝1满足an＝
　　13n
　　，
　　所以an＝
　　13n
　　（n∈
　　N*）.
　　（Ⅱ）因为bn＝
　　nan
　　，所以bn＝n3n.
　　于是Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n3n， ③
　　3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n3n＋1， ④
　　④－③得2Sn＝n3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，
　　即 2Sn＝n3n＋1－
　　3(1-3n)1-3
　　.
　　所以 Sn＝
　　(2n-1)3n+14
　　+34
　　.
　　试题2赏析: （Ⅰ）略，an＝2n－1.
　　（Ⅱ）此问题等价于数列{
　　bn2n
　　}的前n项和Tn满足an＝Tn，求数列{bn}的前n项和.
　　由（Ⅰ）知，an＝2n－1，所以Tn＝2n－1，由此可求数列{
　　bn2n }的通项公式，进而得数列{bn}的通项公式，从而问题得解.
　　当n＝1时，a1＝
　　b12
　　，b1＝2.
　　当n≥2时，an＝
　　b12
　　+b222
　　+b323
　　+…+
　　bn-12n-1
　　+
　　bn2n
　　，
　　an-1
　　=b12
　　+b2
　　22
　　+b323
　　+…+
　　bn-1
　　2n-1.
　　两式相减得an－an－1＝
　　bn2n
　　，bn＝2n＋1.
　　因此bn＝
　　2,n=1,
　　2n+1,n≥2.
　　
　　当n＝1时，S1＝b1＝2；
　　当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋
　　b2(1-2n-1)1-2
　　＝2n＋2－6.
　　因为当n＝1时上式也成立，
　　所以当n为正整数时都有Sn＝2n＋2－6.
　　
　　云南省玉溪第一中学(653100)