论文部分内容阅读
在2008年的中考中，反比例函数和一次函数的分值一般占总分的10％左右，题目难度以中低档为主. 选择题和填空题着眼于基础知识，考点主要有根据实例判断函数图象的变化、求自变量的取值范围、求函数图象与坐标系所组成的图形的面积以及和其他学科相结合的综合问题等，总体难度不大. 解答题则着眼于基础能力和知识点，并与概率统计、三角形、四边形、圆等紧密联系，有一定的难度.
[⇩] 易错点扫描
反比例函数主要的易错点
1. 忽略了解析函数y＝中的k≠0是反比例函数定义的重要组成部分.
2. 比较大小时忽略了点所在的象限这一前提.反比例函数在比较大小时，只有比较的点在同一个象限下才能用性质：y随x的变化而变化，若比较的点处于两个不同的象限便没有这个性质.
3. 反比例函数应用于生活时自变量取值范围的错误.
一次函数主要的易错点
1. 对一次函数y＝kx＋b的概念理解不全面而产生错误. 这里，自变量x的次数是1，而且它的系数k不等于0．
2. 求函数解析式时忽略了分类讨论的必要性,尤其是在已知三角形的面积而求k的情况下仅考虑k＜0或k＞0的其中一种情形.
3. 一次函数应用于生活时自变量取值范围的错误. 须注意线段、边、路程、速度、时间等为非负数的隐含条件.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年新疆建设兵团）在函数y＝的图象上有三个点，它们的坐标分别为（1，y1）、
，y2、（－3，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）
A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1
C． y2＜y1＜y3 D． y3＜y1＜y2
典型错误：因为k＝1＞0，y随着x的增大而减少，又因为1＞＞－3，所以y1＜y2＜y3，选A.
错因分析：没有考虑所给的这三个点是否在同一象限内．
正确答案：因为（1，y1）、
，y2在第一象限，而k＝1＞0且1＞，所以0＜y1＜y2，又因为（－3，y3）在第三象限，所以y3＜0，所以y3＜y1＜y2，故选D.
方法点拨：利用反比例函数的性质比较大小时，比较的点必须在同一象限. 运用数形结合是解决这类问题常用的方法.
例2（2008年浙江舟山）已知y＝（m2＋2m）x，若y是x的正比例函数，求m的值．
典型错误：由题意得m2－3＝1，解得m＝2或m＝－2．
错因分析：忽略了正比例函数y＝kx的条件k≠0，故m＝－2应舍去，则m＝2．
正确答案：m＝2.
方法点拨：函数解析式中常数的取值范围一定要留意. 在一次函数y＝kx＋b中，k≠0这个条件不能忽略.
例3（2008年黑龙江哈尔滨）小亮每天从家去学校上学所走的路程为900 m. 某天，他从家去上学时以每分30 m的速度行走了450 m，为了不迟到，他加快了速度，以每分45 m的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走的路程S（m）与他行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（）
典型错误：C.
错因分析：对函数图象所表示的意义理解不全面.
正确答案：由于图象表示的是小亮行走的路程S（m）与他行走的时间t（分）之间的函数关系，故离家距离S是逐渐增加的，可以排除A和B，又由于后450 m加快了速度，则增长的速度应该加快,表现为后一段路程的图象与y轴形成的角度应比前一段路程与y轴所形成的角度小. 由于符合上述两个条件的图象只有D，故答案选D.
方法点拨：“物体运动所形成的分段函数的图象是如何的”，一直是中考的热点. 解决此类问题时，我们不妨从一次函数的图象与y轴所形成的角度大小去考虑. 一般情况下,直线与y轴所形成的角度越小表示事物增加的速度越快.
例4（2008年广西）若一次函数y＝kx＋2与两坐标轴围成的三角形面积是4，求k的值．
典型错误：因为一次函数y＝kx＋2与坐标轴的交点坐标分别为
－，0和（0，2），由于线段不可能为负数，所以有××2＝4，解得k＝．
错因分析：用坐标值表示线段时，坐标应加绝对值符号． 事实上，一次函数y＝kx＋2的图象始终过定点（0，2），它可能经过一、二、三象限或一、二、四象限，所以k的值应有两个．
正确答案：由×
－×2＝4，解得k＝±.
方法点拨：这类考题也可以用分类讨论的方法进行解答.
例5（2008年湖北）为支援汶川地震,尽快安置受灾的人民群众，浙江杭州赶造了一批简易帐篷. 如图1，ABCDE是一个周长为24 cm的凸五边形，对角线BE把原五边形分为等腰△ABE和矩形BCDE，且AB＝AE＝ED. 设AB长为x cm，CD长为y cm，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
典型错误：由四边形BCDE是矩形，可得BC＝DE，BE＝CD，又由AB＝AE＝ED＝x cm，CD＝y cm，可得BC＝x cm，所以y与x之间的函数关系式为 y＝24－4x（0＜x＜6）.
错因分析：以上解法在求自变量x的取值范围时，忽略了“三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”这一条件. 当0 正确答案：由AB－AE＜BE＜AB＋AE得0＜24－4x＜2x，即x＞4且x＜6. 故x的取值范围为4＜x＜6.
方法点拨：自变量取值范围的确定应考虑两个条件：是否满足题意，是否符合生活实际情况.
实战演练
1. （2008年乌鲁木齐）反比例函数y＝－的图象位于（）
A． 第一、三象限
B． 第二、四象限
C． 第二、三象限
D． 第一、二象限
2. （2008年湖北天门）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满. 在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图2所示（图中OABC为一折线），则这个容器的形状是（）
3. （2008年陕西）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A． y2＜y3＜y1B． y3＜y2＜y1
C． y1＜y2＜y3D． y3＜y1＜y2
4. （2008年山东泰安）某市种植的某种绿色蔬菜，全部用于出口． 为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜就一次性补贴菜农若干元． 经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足图3所示的一次函数关系． 随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间大致满足图4所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）和每亩蔬菜的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式；
（3）要使种植这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x（元）定为多少？并求出总收益w（元）的最大值．
参考答案见P59
[⇩] 易错点扫描
反比例函数主要的易错点
1. 忽略了解析函数y＝中的k≠0是反比例函数定义的重要组成部分.
2. 比较大小时忽略了点所在的象限这一前提.反比例函数在比较大小时，只有比较的点在同一个象限下才能用性质：y随x的变化而变化，若比较的点处于两个不同的象限便没有这个性质.
3. 反比例函数应用于生活时自变量取值范围的错误.
一次函数主要的易错点
1. 对一次函数y＝kx＋b的概念理解不全面而产生错误. 这里，自变量x的次数是1，而且它的系数k不等于0．
2. 求函数解析式时忽略了分类讨论的必要性,尤其是在已知三角形的面积而求k的情况下仅考虑k＜0或k＞0的其中一种情形.
3. 一次函数应用于生活时自变量取值范围的错误. 须注意线段、边、路程、速度、时间等为非负数的隐含条件.
[⇩] 范例剖析
例1（2008年新疆建设兵团）在函数y＝的图象上有三个点，它们的坐标分别为（1，y1）、
，y2、（－3，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）
A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1
C． y2＜y1＜y3 D． y3＜y1＜y2
典型错误：因为k＝1＞0，y随着x的增大而减少，又因为1＞＞－3，所以y1＜y2＜y3，选A.
错因分析：没有考虑所给的这三个点是否在同一象限内．
正确答案：因为（1，y1）、
，y2在第一象限，而k＝1＞0且1＞，所以0＜y1＜y2，又因为（－3，y3）在第三象限，所以y3＜0，所以y3＜y1＜y2，故选D.
方法点拨：利用反比例函数的性质比较大小时，比较的点必须在同一象限. 运用数形结合是解决这类问题常用的方法.
例2（2008年浙江舟山）已知y＝（m2＋2m）x，若y是x的正比例函数，求m的值．
典型错误：由题意得m2－3＝1，解得m＝2或m＝－2．
错因分析：忽略了正比例函数y＝kx的条件k≠0，故m＝－2应舍去，则m＝2．
正确答案：m＝2.
方法点拨：函数解析式中常数的取值范围一定要留意. 在一次函数y＝kx＋b中，k≠0这个条件不能忽略.
例3（2008年黑龙江哈尔滨）小亮每天从家去学校上学所走的路程为900 m. 某天，他从家去上学时以每分30 m的速度行走了450 m，为了不迟到，他加快了速度，以每分45 m的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走的路程S（m）与他行走的时间t（分）之间的函数关系用图象表示正确的是（）
典型错误：C.
错因分析：对函数图象所表示的意义理解不全面.
正确答案：由于图象表示的是小亮行走的路程S（m）与他行走的时间t（分）之间的函数关系，故离家距离S是逐渐增加的，可以排除A和B，又由于后450 m加快了速度，则增长的速度应该加快,表现为后一段路程的图象与y轴形成的角度应比前一段路程与y轴所形成的角度小. 由于符合上述两个条件的图象只有D，故答案选D.
方法点拨：“物体运动所形成的分段函数的图象是如何的”，一直是中考的热点. 解决此类问题时，我们不妨从一次函数的图象与y轴所形成的角度大小去考虑. 一般情况下,直线与y轴所形成的角度越小表示事物增加的速度越快.
例4（2008年广西）若一次函数y＝kx＋2与两坐标轴围成的三角形面积是4，求k的值．
典型错误：因为一次函数y＝kx＋2与坐标轴的交点坐标分别为
－，0和（0，2），由于线段不可能为负数，所以有××2＝4，解得k＝．
错因分析：用坐标值表示线段时，坐标应加绝对值符号． 事实上，一次函数y＝kx＋2的图象始终过定点（0，2），它可能经过一、二、三象限或一、二、四象限，所以k的值应有两个．
正确答案：由×
－×2＝4，解得k＝±.
方法点拨：这类考题也可以用分类讨论的方法进行解答.
例5（2008年湖北）为支援汶川地震,尽快安置受灾的人民群众，浙江杭州赶造了一批简易帐篷. 如图1，ABCDE是一个周长为24 cm的凸五边形，对角线BE把原五边形分为等腰△ABE和矩形BCDE，且AB＝AE＝ED. 设AB长为x cm，CD长为y cm，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
典型错误：由四边形BCDE是矩形，可得BC＝DE，BE＝CD，又由AB＝AE＝ED＝x cm，CD＝y cm，可得BC＝x cm，所以y与x之间的函数关系式为 y＝24－4x（0＜x＜6）.
错因分析：以上解法在求自变量x的取值范围时，忽略了“三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”这一条件. 当0
方法点拨：自变量取值范围的确定应考虑两个条件：是否满足题意，是否符合生活实际情况.
实战演练
1. （2008年乌鲁木齐）反比例函数y＝－的图象位于（）
A． 第一、三象限
B． 第二、四象限
C． 第二、三象限
D． 第一、二象限
2. （2008年湖北天门）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满. 在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图2所示（图中OABC为一折线），则这个容器的形状是（）
3. （2008年陕西）在函数y＝（a为常数）的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A． y2＜y3＜y1B． y3＜y2＜y1
C． y1＜y2＜y3D． y3＜y1＜y2
4. （2008年山东泰安）某市种植的某种绿色蔬菜，全部用于出口． 为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜就一次性补贴菜农若干元． 经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足图3所示的一次函数关系． 随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间大致满足图4所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）和每亩蔬菜的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式；
（3）要使种植这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x（元）定为多少？并求出总收益w（元）的最大值．
参考答案见P59