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数学问题是千变万化的，解决数学问题的方法也是多种多样的，如何选择正确的解决方法是数学教学研究的中心课题之一。对于数学问题，学生通常采用从问题入手推出原问题结论的方法，但有些數学问题，采用这种方法难以解决，这就需要把待解决的或难解决的问题，通过变换过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而最终使原问题得到解决。这也正是转换思想在解题中的具体表现，灵活、有效地利用好变换方法，对于活跃数学思维，提高解题技巧是非常有益的。“变换与转化”的思想，它贯穿于整个中学数学教学及中学生学习数学的全过程中，树立变换意识，掌握多种变换方法，对于迅速确定解题途径具有重要意义，也是学好数学所应具备的基本素质。与此同时，让学生学会了举一反三的思维方式，触类旁通，大大的提高了教学质量。
变换方法是一种特殊的化归方法，是一种常用的数学方法，它是“问题解决”的一种重要手段和方法。
什么是化归方法呢？
“化归”从字面上理解，可看作是转化和归结的意思，数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”。
什么又是变换方法呢？
解数学问题时，如果直接解原问题难以入手或由原问题的条件难以得出问题的结论，那么试将原问题变换成较易解决的新问题，最终达到解决原问题的目的。就是说，解题的关键往往在于对问题进行一系列恰当的变换，以克制解题的种种障碍。因此，如何恰当的变换问题，则是探索解题的中心环节。我们通过实例变换方法在中学数学解题中的运用，来阐明什么是变换方法，以及如何在中学数学解题中运用这一重要的数学思想方法。
几种常见的变换方法
1联想类比。
这就是在处理某一问题若用常规方法感到困难时，需要联想较远认识系统内相似形式的结构从而把问题转化为另一系统内的知识求解。要求熟悉各系统间的知识及内在联系，具备较强的发散思维能力。
例1.方程cos2x+4asinx+a-2=0，在0≤x≤π内有两个不同的解，求实数a的取值范围。
分析：此例若单纯从已知三角方程入手，不易准确得出a的取值范围。这是因为该方程不能单纯利用二次方程的判别式去探求a的取值。原问题可化为2sin2x-4asinx+1-a=0作变换：t=sinx，∵0≤x≤π，∴0≤t≤1，则原问题等价于：
方程2t2-4at+1-a=0在区间[0，1]上只有一个实数解时，求实数a的取值范围。再作一次变换：令y1=2t2+1，y2=4a（t+14_，0≤t≤1，于是问题又等价于：曲线y1，y2在区间[0，1]上只有一个交点时，求实数a的取值范围。
至此，我们通过二次等价变换，使问题变得明朗了，我们可以借助直观图形去准确探求，分层次来求实数a的取值范围。
曲线y1=2t2+10≤t≤1是一段抛物线，y2=4at+14是过定点-14，0，斜率为4a的直线系，如图：曲线y1=2t2+10≤t≤1是一段抛物线，y2=4at+14，是过定点-14，0，斜率为4a的直线系，如图。当直线y=4at+14与抛物线y=2t2+10≤t≤1相切时，方程2t2-4at+1-a=0中，V=-4a2-4×2×1-a=0解之，a=12或a=-1（舍去）。当直线过点A1，3时，4a=31+14=125，即当直线过点B0，1时，4a=114=4，即a=1。
综上所述，a的范围是a=12或35 变换问题条件与结论时，必须注意变换的等价性，防止变换中随意添加或漏去一些条件，犯偷换论题的错误。如“a、b分别满足a2+3a-7=0，b2+3a-7=0，求ba+ab的值”。常见将条件变换为“a、b为方程x2+3x-7=0的两根”无意中添加了a≠b的隐含条件，破坏了转化条件与结论的等价性。所以在运用联想类比的时候要刻意注意不能改变问题的原始条件。
2化未知为已知。把我们感到陌生的问题，变换成我们较熟悉的问题，以便我们能充分利用已有知识和经验，最终达到解决问题的目的。
例2 求limn→
SymboleB@ （12+322+523+…+2n-12n）
分析：括号内n项和，既不是等差数列的前n项和，也不是等比数列的前n项和，故作如下变形：
令求sn=12+322+523+…+2n-12n （1）
则12sn=122+323+524…+2n-12n+1 （2）
（1）-（2）得：
12sn=1212+122+…+12n-1-2n-12n+1 （3）
（3式）括号内为等比数列前n-1项之和，因此有
sn=1+1-12n-11-12-2n2n+12n
从而limn→
SymboleB@ sn=1+2-0+0=3
用熟悉的形式求sn的和是完成本题的关键。
3正难则反。
对于一个较复杂的数学问题，当从正面思考难以奏效或用直接法不能解决时，应及时突破思维定势，变换思维角度，让灵活多样的数学思维方法登堂入室。
例3 设三个方程：x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+2m+1x+m2=0，
x-1x2+2mx+m-1=0中，至少有一个方程有实根，求m的取值范围，
分析：此问题很难从正面回答，为了避开困难，我们从反面入手。设三个方程均无实根，则有
4m2-44m2+2m+3<02m+12-4m2<02m2-4m-12<0
解这个不等式组得-32 例4 求证50009999>9999！
分析：这是个天文数字！注意到9999+1÷2=5000根据一般化策略，先证
n+12nn！n=2k+1，k∈N
事实上，由1+2+3+4…+nnn1·2·3…n，当且仅当n=1时取“=”
即：n+12nn！∴n+12n！（当且仅当n=1时取“=”）
取n=9999，命题即证。即：50009999>9999！
5模型转换。通过数形对等变换，将一个复杂的数量关系的问题通过建模转化为简捷的图形性质的问题，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。
例5：若方程mx2+y2+2y+1=x-2y+32表示双曲线，试求实数m的取值范围。
分析：由于所给方程中含有xy的交叉项，因此不易判断方程对应的曲线类型。如果将x2+y2+2y+1视为动点Px，y到点F0，-1距离的平方，同时把x-2y+32改为5x-2y+352形式，我们把x-2y+352视为点到直线l：x-2y+3=0距离d的平方，因此，所给方程即可化为PFd=5m。为使方程表示双曲线，则5m>1，即所求实数m的取值范围是（0，5）。
例6：椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线x+y-1=0与椭圆交于A、B两点，定点P43，1与A、B两点构成以AB为斜边的等腰直角三角形，求这个椭圆的方程。
分析：本题归属于直线与圆锥曲线类，由于△APB是以AB为斜边的等腰直角三角形，即∠APB=90°，AP=BP。对此，常见的转化方法是將AP=BP转化为线段AB的中点，M与P连线垂直AB弦的问题，即本题将转化为AB的中点弦问题。如果把直线AB的倾斜角与∠PAB=∠PBA=45°结合起来，那么即可推出AP//x轴，BP//y轴。又点P的坐标43，1，则易求得A0，1，B43，-13，故所求椭圆方程为x2+y22=1
结 论
追求简洁是数学思维的特征，化繁为简是数学解题的正确方向。对于一个较复杂的数学问题，当从正面思考难以奏效或用直接方法解决时，应及时突破思维定势，变换思维角度，让灵活多样的数学思维方法登堂入室。总之，恰当的变换是解决数学问题的重要思想方法，由于变换的灵活性与广泛性，这也就加大了对学生思维能力与知识掌握程度的考查，许多问题需要学生凭借灵活的思维去独立解决，培养学生思维的灵活性、广泛性。同时，数形结合思想等互相渗透，综合运用，是提高解题能力的有效途径。
变换方法是一种特殊的化归方法，是一种常用的数学方法，它是“问题解决”的一种重要手段和方法。
什么是化归方法呢？
“化归”从字面上理解，可看作是转化和归结的意思，数学方法论中的化归方法是指：将一个问题进行变换，使其归结为另一个已能解决的问题，最终获得问题的解的一种求解问题的手段和方法。其解决问题的思维方式是“转化”或“再转化”。
什么又是变换方法呢？
解数学问题时，如果直接解原问题难以入手或由原问题的条件难以得出问题的结论，那么试将原问题变换成较易解决的新问题，最终达到解决原问题的目的。就是说，解题的关键往往在于对问题进行一系列恰当的变换，以克制解题的种种障碍。因此，如何恰当的变换问题，则是探索解题的中心环节。我们通过实例变换方法在中学数学解题中的运用，来阐明什么是变换方法，以及如何在中学数学解题中运用这一重要的数学思想方法。
几种常见的变换方法
1联想类比。
这就是在处理某一问题若用常规方法感到困难时，需要联想较远认识系统内相似形式的结构从而把问题转化为另一系统内的知识求解。要求熟悉各系统间的知识及内在联系，具备较强的发散思维能力。
例1.方程cos2x+4asinx+a-2=0，在0≤x≤π内有两个不同的解，求实数a的取值范围。
分析：此例若单纯从已知三角方程入手，不易准确得出a的取值范围。这是因为该方程不能单纯利用二次方程的判别式去探求a的取值。原问题可化为2sin2x-4asinx+1-a=0作变换：t=sinx，∵0≤x≤π，∴0≤t≤1，则原问题等价于：
方程2t2-4at+1-a=0在区间[0，1]上只有一个实数解时，求实数a的取值范围。再作一次变换：令y1=2t2+1，y2=4a（t+14_，0≤t≤1，于是问题又等价于：曲线y1，y2在区间[0，1]上只有一个交点时，求实数a的取值范围。
至此，我们通过二次等价变换，使问题变得明朗了，我们可以借助直观图形去准确探求，分层次来求实数a的取值范围。
曲线y1=2t2+10≤t≤1是一段抛物线，y2=4at+14是过定点-14，0，斜率为4a的直线系，如图：曲线y1=2t2+10≤t≤1是一段抛物线，y2=4at+14，是过定点-14，0，斜率为4a的直线系，如图。当直线y=4at+14与抛物线y=2t2+10≤t≤1相切时，方程2t2-4at+1-a=0中，V=-4a2-4×2×1-a=0解之，a=12或a=-1（舍去）。当直线过点A1，3时，4a=31+14=125，即当直线过点B0，1时，4a=114=4，即a=1。
综上所述，a的范围是a=12或35
2化未知为已知。把我们感到陌生的问题，变换成我们较熟悉的问题，以便我们能充分利用已有知识和经验，最终达到解决问题的目的。
例2 求limn→
SymboleB@ （12+322+523+…+2n-12n）
分析：括号内n项和，既不是等差数列的前n项和，也不是等比数列的前n项和，故作如下变形：
令求sn=12+322+523+…+2n-12n （1）
则12sn=122+323+524…+2n-12n+1 （2）
（1）-（2）得：
12sn=1212+122+…+12n-1-2n-12n+1 （3）
（3式）括号内为等比数列前n-1项之和，因此有
sn=1+1-12n-11-12-2n2n+12n
从而limn→
SymboleB@ sn=1+2-0+0=3
用熟悉的形式求sn的和是完成本题的关键。
3正难则反。
对于一个较复杂的数学问题，当从正面思考难以奏效或用直接法不能解决时，应及时突破思维定势，变换思维角度，让灵活多样的数学思维方法登堂入室。
例3 设三个方程：x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+2m+1x+m2=0，
x-1x2+2mx+m-1=0中，至少有一个方程有实根，求m的取值范围，
分析：此问题很难从正面回答，为了避开困难，我们从反面入手。设三个方程均无实根，则有
4m2-44m2+2m+3<02m+12-4m2<02m2-4m-12<0
解这个不等式组得-32
分析：这是个天文数字！注意到9999+1÷2=5000根据一般化策略，先证
n+12nn！n=2k+1，k∈N
事实上，由1+2+3+4…+nnn1·2·3…n，当且仅当n=1时取“=”
即：n+12nn！∴n+12n！（当且仅当n=1时取“=”）
取n=9999，命题即证。即：50009999>9999！
5模型转换。通过数形对等变换，将一个复杂的数量关系的问题通过建模转化为简捷的图形性质的问题，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。
例5：若方程mx2+y2+2y+1=x-2y+32表示双曲线，试求实数m的取值范围。
分析：由于所给方程中含有xy的交叉项，因此不易判断方程对应的曲线类型。如果将x2+y2+2y+1视为动点Px，y到点F0，-1距离的平方，同时把x-2y+32改为5x-2y+352形式，我们把x-2y+352视为点到直线l：x-2y+3=0距离d的平方，因此，所给方程即可化为PFd=5m。为使方程表示双曲线，则5m>1，即所求实数m的取值范围是（0，5）。
例6：椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线x+y-1=0与椭圆交于A、B两点，定点P43，1与A、B两点构成以AB为斜边的等腰直角三角形，求这个椭圆的方程。
分析：本题归属于直线与圆锥曲线类，由于△APB是以AB为斜边的等腰直角三角形，即∠APB=90°，AP=BP。对此，常见的转化方法是將AP=BP转化为线段AB的中点，M与P连线垂直AB弦的问题，即本题将转化为AB的中点弦问题。如果把直线AB的倾斜角与∠PAB=∠PBA=45°结合起来，那么即可推出AP//x轴，BP//y轴。又点P的坐标43，1，则易求得A0，1，B43，-13，故所求椭圆方程为x2+y22=1
结 论
追求简洁是数学思维的特征，化繁为简是数学解题的正确方向。对于一个较复杂的数学问题，当从正面思考难以奏效或用直接方法解决时，应及时突破思维定势，变换思维角度，让灵活多样的数学思维方法登堂入室。总之，恰当的变换是解决数学问题的重要思想方法，由于变换的灵活性与广泛性，这也就加大了对学生思维能力与知识掌握程度的考查，许多问题需要学生凭借灵活的思维去独立解决，培养学生思维的灵活性、广泛性。同时，数形结合思想等互相渗透，综合运用，是提高解题能力的有效途径。