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摘要：数学教育，让学生学习如何解决问题重于让学生解决问题，因为前者才能给学生真正“带得走”、能终身受益的东西。对于怎样引导学生“学解”，贲友林老师执教的《“鸡兔同笼”问题》一课给我们的启发有：通过学习单让学生充分地“先学”，优先选择“学困生”汇报，从学生作品入手读懂学生，用连续追问驱动学生步步思考，关注“学优生”的学习提升。
关键词：解决问题思想方法学生主体《“鸡兔同笼”问题》
“解”是指解决问题，得到最终正确的结果。而“学解”是指学习如何解决问题，即学习解决问题的思路、策略和思想、方法等。当下的数学教育，无论从“四基”的角度看，还是从“四能”的角度看，无论从三维目标的角度看，还是从核心素养的角度看，显然都有“学解”重于“解”。因为让学生“学解”，才能给学生真正“带得走”、能终身受益的东西，才是教育最终的目的、旨趣——一如怀特海、米山国藏所言。
那么，如何让学生“学解”呢？笔者有幸听了贲友林老师执教的《“鸡兔同笼”问题》一课，受到了不少启发。
一、通过学习单让学生充分地“先学”
前置学习单由于将一些学习内容和活动前置，既能节约课堂时间，又有利于教师了解学情，所以备受教师们的推崇。这节课，贲老师也安排了前置学习单，具体内容如下页图1所示。
这份学习单的设计非常巧妙：
（一）解题之前先做选择
基于当下的社会和家庭教育环境，对于“鸡兔同笼”这个问题，会有一部分学生在课外提前学习过。那么，如何更好地了解学生的认知水平？贲老师设计了关于“我会做这道题”和“我感觉我不太会做这道题”的选择。看似只是个小细节，实则能为后面的课堂调整与推进埋下很好的伏笔。因为它让教师不仅能看到学生的解题结果，而且能想象出学生的解题过程，更能通过学生的选择，分析出哪些学生是已经学过的、哪些学生是从零开始的。
（二）解题之后再做思考
完成题目后，贲老师还让学生进一步给出解题过程中的体会和疑问，并思考“鸡和兔会关在一个笼子里吗？”以及“为什么要学习‘鸡兔同笼’问题？”，然后再编一道类似的问题。由此，引导学生在反思中积累基本的数学活动经验，提炼解决一类问题的方法，并提出自己的疑问;进一步思考问题的数学本质和模型意义;将方法和模型迁移应用到其他问题情境。贲老师提出的每一个问题或要求，都指向学生的高阶思维能力，指向“学解”。
二、优先选择“学困生”汇报
课上，贲老师特别指出：“在收上来的学习单里，有两份是空白的，让人感到非常遗憾。无论如何，都可以尝试着写下自己的思考。”从这个细节能够看到，贲老师关注每一位学生，并且注重从情感上对学生进行鼓励，因为这是学生“学解”的基础。
然后，贲老师将学习单中选择“会做”的学生随机编号为1—17，选择“不太会做”的学生随机编号为18—44。征得学生的同意后，贲老师决定先让“不太会做”的学生来汇报自己的学习成果。而在与听课教师互动的基础上，贲老师选择了29号学生。于是，贲老师将29号学生的作品投影到大屏幕上，如图2所示。
分析数据可以看出，全班38.6%左右的学生是“会做”的，61.4%左右的学生是“不太会做”的，说明学生总体的学习起点不太高。因此，贲老师更关注那些“不太会做”的学生，让他们真学习，有变化，所以先让他们汇报，重点帮助他们“學解”。
看到29号学生的作品后，笔者大吃一惊。这是一位典型的“学困生”，他对“鸡兔同笼”问题的理解存在很大的障碍。经过一番涂涂改改，他在学习单左上方留下了最后的答案：5×4+5+1=26。一般上公开课的教师，都不太会选择这样的作品来汇报交流。然而，就是这样的一个选择，成了后面课堂上的最大亮点，让笔者对如何引导学生“学解”有了深刻的认识，也体会到贲老师的用心良苦。
三、从学生作品入手读懂学生
（教师投影出示29号学生的作品后，全班学生一片哗然并小声议论起来。）
师（对29号学生）×××，我想刚才大家的声音是想提醒你下次写得认真一点，好吧。（对全班）但是，老师在他的作品里看到他是有想法的。你看到了吗？掌声有请×××和我们分享他的想法。
生（29号学生上台，手拿话筒）我就是想的……嗯……反正……我就是想的多少、怎么加起来可以凑成26……
师（对29号学生）大声一点说，我觉得你说得非常好，用笔指着说。
生（29号学生比较犹豫）我就是想的怎么凑起来可以等于26。
师（对全班）他的发言说到了一个字——
生（全班）凑。
师（对全班）你觉得这是不是方法？（稍停）有人说是，有人说不是。
……
引导学生“学解”，首先要读懂学生的“解”。虽然29号学生的学习单比较乱，也不正确，但是贲老师仍然通过仔细分析，看到了29号学生是有一定想法的，并且一直处于不断尝试与调整的状态。所以，贲老师鼓励29号学生大胆说出自己的想法，并且逼出了有价值的东西——作为初学者，对于“鸡兔同笼”问题，“凑”不就是很好的解题方法吗？不就是假设策略的通俗化表达吗？这让暂时找不到答案的“学困生”找到了学习的信心。
四、用连续追问驱动学生步步思考
接下来，贲老师用一连串的追问，引导29号学生对自己的错误答案“5×4+5+1=26”一步步展开思考，从而获得正确的思考方法，并最终正确地解决问题。在这个将近15分钟的过程中，贲老师对29号学生（以及全班）提出了如下问题：
1.他说要凑成26，为什么不凑成28、24、22呢？
2.对啊，因为题目上说了是26。那你接着说你是怎么凑的？ 3.嗯，你怎么会用5乘4呢？
4.这个4能解释吗？那个5又是什么意思呢？
5.我觉得你很好，你之前说5是5只鸡，这会儿发现不对，应该是5只兔，因为5只兔乘1只兔有4条腿才有道理。乘下来是20，20是什么意思呢？
6.有5只兔，剩下的就是鸡。你想一下鸡应该是多少？
7.回头看题目，你看到腿有26条，还看到什么？你看，这兔有5个头，那鸡是多少？
8.学习就是不断尝试、调整我们的想法。你之前说鸡是1，你觉得哪儿不对？
9.你听懂同学们的意思了吗？我们要验证一下，头是9个，还要看腿是不是有26条，会算吗？兔有多少条腿？鸡有多少条腿？
10.你听懂这位同学的意思了吗？我觉得他这里考虑得很好：28条腿多了，所以减少1只鸡，这样腿就够了，可是头却不够了，只剩8了。看来这样改还不行，那你有办法改吗？如果你能改，你就说。如果实在改不了，没关系，可以请同学帮忙。
11.（29号学生思考许久，尝试性地说，可以把兔减少1只，鸡增加1只）你能把这个答案写下来吗？
12.（29号学生完成板书，如图3）这个16表示什么意思？10呢？
13.算算腿一共多少条，写在旁边。现在你发现了什么？
14.不能只看腿，还要看什么？
15.现在你可以向全班宣布，我凑出来了……对吗？
16.他的方法是什么？
17.（教师板书“凑”）你们觉得×××同学怎么样？
引导学生“学解”，其次要对学生不好的“解”进行追问，帮助学生“拨乱反正”。贲老师的每一个追问都包含着智慧。首先，指向意义理解。對看起来是错误的算式，贲老师不断追问每个数字、每个运算符号的意义，从而让学生推翻自我，重新建构。其次，指向学法指导。比如，“你怎么会用5乘4呢？”引导学生思考自己列式的意义;“回头看题目，你看到腿有26条，还看到什么？”引导学生读取题目中的信息;“学习就是不断尝试、调整我们的想法。你之前说鸡是1，你觉得哪儿不对？”引导学生注意验证所得结果是否符合条件;“28条腿多了，所以减少1只鸡，这样腿就够了，可是头却不够了，只剩8了。看来这样改还不行，那你有办法改吗？”引导学生体会“凑”的精髓是尝试、调整。这些问题都是在教给学生学习的方法，也就是引导学生一步步“学解”。这不也正符合“鸡兔同笼”问题“假设—验证—调整”的解题思路吗？
此外，贲老师的问题还具有开放性，更多的并不是给定答案的是非、判断问，而是“还可以怎么思考？”“还可以怎样改进？”等探究、导向问，可以充分激活学生的思维，使得答案的获得不在问题本身，而在对问题的思考。
五、关注“学优生”的学习提升
29号学生完成汇报后，贲老师让“会做”的学生进行分享。2号学生用的是“正规”的假设法：
先假设全部是鸡，腿有9×2=18（条）。
然后，26-18=8（条），8÷2=4（只），9-4=5（只）。
答：兔有4只，鸡有5只。
贲老师注意到，这名学生解法中的后三步缺少理由，于是要求他解释。在解释8÷2=4（只）时，2号学生暴露出理解不到位的情况，其他学生表示没有听懂。在贲老师不停地引导和“逼迫”下，他才终于结合鸡和兔的示意图讲解清楚了：假设全是鸡时，只有18条腿，还差8条腿，于是给一些鸡再添上2条腿，让它们“变成”兔子;而只要给4只鸡添上2条腿，就是26条腿了，可知兔子是4只，于是鸡有5只。
可见，“学优生”有时虽然能正确地“解”，但也需要“学”：说清楚背后的“理”，充分体会解题的“法”。引导学生“学解”，还要对学生“标准”的“解”进行追问，帮助学生获得提升。
最后，需要指出的是，因为时间关系，本节课，贲老师没有来得及组织学生汇报交流学习单中解题之后的思考。这是一个小小的遗憾。
关键词：解决问题思想方法学生主体《“鸡兔同笼”问题》
“解”是指解决问题，得到最终正确的结果。而“学解”是指学习如何解决问题，即学习解决问题的思路、策略和思想、方法等。当下的数学教育，无论从“四基”的角度看，还是从“四能”的角度看，无论从三维目标的角度看，还是从核心素养的角度看，显然都有“学解”重于“解”。因为让学生“学解”，才能给学生真正“带得走”、能终身受益的东西，才是教育最终的目的、旨趣——一如怀特海、米山国藏所言。
那么，如何让学生“学解”呢？笔者有幸听了贲友林老师执教的《“鸡兔同笼”问题》一课，受到了不少启发。
一、通过学习单让学生充分地“先学”
前置学习单由于将一些学习内容和活动前置，既能节约课堂时间，又有利于教师了解学情，所以备受教师们的推崇。这节课，贲老师也安排了前置学习单，具体内容如下页图1所示。
这份学习单的设计非常巧妙：
（一）解题之前先做选择
基于当下的社会和家庭教育环境，对于“鸡兔同笼”这个问题，会有一部分学生在课外提前学习过。那么，如何更好地了解学生的认知水平？贲老师设计了关于“我会做这道题”和“我感觉我不太会做这道题”的选择。看似只是个小细节，实则能为后面的课堂调整与推进埋下很好的伏笔。因为它让教师不仅能看到学生的解题结果，而且能想象出学生的解题过程，更能通过学生的选择，分析出哪些学生是已经学过的、哪些学生是从零开始的。
（二）解题之后再做思考
完成题目后，贲老师还让学生进一步给出解题过程中的体会和疑问，并思考“鸡和兔会关在一个笼子里吗？”以及“为什么要学习‘鸡兔同笼’问题？”，然后再编一道类似的问题。由此，引导学生在反思中积累基本的数学活动经验，提炼解决一类问题的方法，并提出自己的疑问;进一步思考问题的数学本质和模型意义;将方法和模型迁移应用到其他问题情境。贲老师提出的每一个问题或要求，都指向学生的高阶思维能力，指向“学解”。
二、优先选择“学困生”汇报
课上，贲老师特别指出：“在收上来的学习单里，有两份是空白的，让人感到非常遗憾。无论如何，都可以尝试着写下自己的思考。”从这个细节能够看到，贲老师关注每一位学生，并且注重从情感上对学生进行鼓励，因为这是学生“学解”的基础。
然后，贲老师将学习单中选择“会做”的学生随机编号为1—17，选择“不太会做”的学生随机编号为18—44。征得学生的同意后，贲老师决定先让“不太会做”的学生来汇报自己的学习成果。而在与听课教师互动的基础上，贲老师选择了29号学生。于是，贲老师将29号学生的作品投影到大屏幕上，如图2所示。
分析数据可以看出，全班38.6%左右的学生是“会做”的，61.4%左右的学生是“不太会做”的，说明学生总体的学习起点不太高。因此，贲老师更关注那些“不太会做”的学生，让他们真学习，有变化，所以先让他们汇报，重点帮助他们“學解”。
看到29号学生的作品后，笔者大吃一惊。这是一位典型的“学困生”，他对“鸡兔同笼”问题的理解存在很大的障碍。经过一番涂涂改改，他在学习单左上方留下了最后的答案：5×4+5+1=26。一般上公开课的教师，都不太会选择这样的作品来汇报交流。然而，就是这样的一个选择，成了后面课堂上的最大亮点，让笔者对如何引导学生“学解”有了深刻的认识，也体会到贲老师的用心良苦。
三、从学生作品入手读懂学生
（教师投影出示29号学生的作品后，全班学生一片哗然并小声议论起来。）
师（对29号学生）×××，我想刚才大家的声音是想提醒你下次写得认真一点，好吧。（对全班）但是，老师在他的作品里看到他是有想法的。你看到了吗？掌声有请×××和我们分享他的想法。
生（29号学生上台，手拿话筒）我就是想的……嗯……反正……我就是想的多少、怎么加起来可以凑成26……
师（对29号学生）大声一点说，我觉得你说得非常好，用笔指着说。
生（29号学生比较犹豫）我就是想的怎么凑起来可以等于26。
师（对全班）他的发言说到了一个字——
生（全班）凑。
师（对全班）你觉得这是不是方法？（稍停）有人说是，有人说不是。
……
引导学生“学解”，首先要读懂学生的“解”。虽然29号学生的学习单比较乱，也不正确，但是贲老师仍然通过仔细分析，看到了29号学生是有一定想法的，并且一直处于不断尝试与调整的状态。所以，贲老师鼓励29号学生大胆说出自己的想法，并且逼出了有价值的东西——作为初学者，对于“鸡兔同笼”问题，“凑”不就是很好的解题方法吗？不就是假设策略的通俗化表达吗？这让暂时找不到答案的“学困生”找到了学习的信心。
四、用连续追问驱动学生步步思考
接下来，贲老师用一连串的追问，引导29号学生对自己的错误答案“5×4+5+1=26”一步步展开思考，从而获得正确的思考方法，并最终正确地解决问题。在这个将近15分钟的过程中，贲老师对29号学生（以及全班）提出了如下问题：
1.他说要凑成26，为什么不凑成28、24、22呢？
2.对啊，因为题目上说了是26。那你接着说你是怎么凑的？ 3.嗯，你怎么会用5乘4呢？
4.这个4能解释吗？那个5又是什么意思呢？
5.我觉得你很好，你之前说5是5只鸡，这会儿发现不对，应该是5只兔，因为5只兔乘1只兔有4条腿才有道理。乘下来是20，20是什么意思呢？
6.有5只兔，剩下的就是鸡。你想一下鸡应该是多少？
7.回头看题目，你看到腿有26条，还看到什么？你看，这兔有5个头，那鸡是多少？
8.学习就是不断尝试、调整我们的想法。你之前说鸡是1，你觉得哪儿不对？
9.你听懂同学们的意思了吗？我们要验证一下，头是9个，还要看腿是不是有26条，会算吗？兔有多少条腿？鸡有多少条腿？
10.你听懂这位同学的意思了吗？我觉得他这里考虑得很好：28条腿多了，所以减少1只鸡，这样腿就够了，可是头却不够了，只剩8了。看来这样改还不行，那你有办法改吗？如果你能改，你就说。如果实在改不了，没关系，可以请同学帮忙。
11.（29号学生思考许久，尝试性地说，可以把兔减少1只，鸡增加1只）你能把这个答案写下来吗？
12.（29号学生完成板书，如图3）这个16表示什么意思？10呢？
13.算算腿一共多少条，写在旁边。现在你发现了什么？
14.不能只看腿，还要看什么？
15.现在你可以向全班宣布，我凑出来了……对吗？
16.他的方法是什么？
17.（教师板书“凑”）你们觉得×××同学怎么样？
引导学生“学解”，其次要对学生不好的“解”进行追问，帮助学生“拨乱反正”。贲老师的每一个追问都包含着智慧。首先，指向意义理解。對看起来是错误的算式，贲老师不断追问每个数字、每个运算符号的意义，从而让学生推翻自我，重新建构。其次，指向学法指导。比如，“你怎么会用5乘4呢？”引导学生思考自己列式的意义;“回头看题目，你看到腿有26条，还看到什么？”引导学生读取题目中的信息;“学习就是不断尝试、调整我们的想法。你之前说鸡是1，你觉得哪儿不对？”引导学生注意验证所得结果是否符合条件;“28条腿多了，所以减少1只鸡，这样腿就够了，可是头却不够了，只剩8了。看来这样改还不行，那你有办法改吗？”引导学生体会“凑”的精髓是尝试、调整。这些问题都是在教给学生学习的方法，也就是引导学生一步步“学解”。这不也正符合“鸡兔同笼”问题“假设—验证—调整”的解题思路吗？
此外，贲老师的问题还具有开放性，更多的并不是给定答案的是非、判断问，而是“还可以怎么思考？”“还可以怎样改进？”等探究、导向问，可以充分激活学生的思维，使得答案的获得不在问题本身，而在对问题的思考。
五、关注“学优生”的学习提升
29号学生完成汇报后，贲老师让“会做”的学生进行分享。2号学生用的是“正规”的假设法：
先假设全部是鸡，腿有9×2=18（条）。
然后，26-18=8（条），8÷2=4（只），9-4=5（只）。
答：兔有4只，鸡有5只。
贲老师注意到，这名学生解法中的后三步缺少理由，于是要求他解释。在解释8÷2=4（只）时，2号学生暴露出理解不到位的情况，其他学生表示没有听懂。在贲老师不停地引导和“逼迫”下，他才终于结合鸡和兔的示意图讲解清楚了：假设全是鸡时，只有18条腿，还差8条腿，于是给一些鸡再添上2条腿，让它们“变成”兔子;而只要给4只鸡添上2条腿，就是26条腿了，可知兔子是4只，于是鸡有5只。
可见，“学优生”有时虽然能正确地“解”，但也需要“学”：说清楚背后的“理”，充分体会解题的“法”。引导学生“学解”，还要对学生“标准”的“解”进行追问，帮助学生获得提升。
最后，需要指出的是，因为时间关系，本节课，贲老师没有来得及组织学生汇报交流学习单中解题之后的思考。这是一个小小的遗憾。