论文部分内容阅读
[概率事件]
例[1] 如图1，并联电路中元件[a，b]在某段时间内接通的概率分别为[p1，p2，]且元件[a，b]接通与否互不影响，求此并联电路接通的概率.
解析 设在某段时间内元件[a，b]接通的事件分别为[A，B，]因为元件[a，b]接通与否互不影响，所以[A，B]相互独立，且[P（A）=p1，P（B）=p2].
方法一：（利用互斥事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a，b]至少一个接通，则此电路被接通的事件为[A?B+A?B+A?B.]
由于[A?B，A?B，A?B]互斥，
则[P（A?B+A?B+A?B）][=P（A?B）][+P（A?B）+P（A?B）]
[=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）]
[=p1（1-p2）+（1-p2）p1+p1p2][=p1+p2-p1p2].
方法二：（利用和事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a]通或元件[b]通，故此并联电路被接通的事件为[A+B，]则[P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A?B）=P（A）+P（B）-P（A）?][P（B）][=p1+p2-p1p2].
方法三：（利用对立事件解题）此并联电路被断开的事件为[A?B]，由于[A，B]相互独立，则[A，B]也相互独立，从而此并联电路被接通的概率为[1-P（A?B）=1-P（A）?P（B）][=1-（1-p1）（1-p2）=p1+p2-p1p2.]
点拨 本题三种解法体现了集合“容斥原理”“互斥事件”“和事件”等知识的交融. 从结构化的角度看“集合”“简易逻辑”与“概率”，三者在概念、运算及其性质等方面有一定的对应关系. 研究它们之间的联系，有益于我们从不同角度观察数学的各个模块或分支，深化对数学知识的认知.
变式1 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先串联后并联（如图2）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p].求此系统正常工作的概率[P].
解析 [n]个相同元件串联构成的“子系统”正常工作时必须每一个元件都正常，故此“子系统”正常工作的概率为[pn.] 由此可知，由两个这样的“子系统”并联组成的该系统正常工作的概率为[P=1-（1-pn）2=2pn-p2n].
变式2 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先并联后串联（如图3）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p]. 求此系统正常工作的概率[P].
解析 由例1知，两个元件并联构成的“子系统”能正常工作的概率为[1-（1-p）2=2p-p2][=p（2-p）]，所以[n]个这样的“子系统”串联组成的该系统正常工作的概率为[P=[p（2-p）]n].
点拨 将[n]个元件串联而成的子系统分别当作例1中的元件[a，b]就成了变式1. 因此，变式1是例1的引申，而变式2则是例1的应用.
[概率模型]
例2 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正整数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.
分析 从[1，2，3，4，5]中取出的两个数可以相等，故这是一个有放回的抽样，“随意写出”说明事件是等可能的，故本题是一个“古典概型”.
解 设取出的两个数为[（m，n），]则[m，n∈1，2，3，4，5]，共有[5×5=25]种取法，即[（1，1）]，[（1，2）][（1，3）]，[（1，4）]，[（1，5）]，[（2，1）][（2，2）]，…，[（5，5）]，取到每一种的可能性相同，能够构成锐角三角形的只有[（4，5）]，[（5，4）]，[（5，5）]三种，所以这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率为[P=325.]
变式1 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正实数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.
解析 设写的两个数为[x，y]，依题意知[x，y]要满足[0 而[x，y，6]能构成锐角三角形（其中[6]为最大的边），应满足的条件是[06，x2+y2>62.]
作出上述不等式表示的几何区域，如图4，则[x，y，6]能构成锐角三角形的概率为
[P=S阴影S正方形=S正方形-14S圆S正方形=1-14π×6262=1-π4.]
[图4][图5]
变式2 给定一个正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正实数（这两个数可以相等），求其中一个数的平方大于另一个数的8倍且这两个数与[6]一起能构成三角形的概率.
解析 设两个数为[x，y]，则[06，x2>8y，]
作出上述不等式表示的几何区域，如图5，则阴影部分的面积为[46[18x2-（6-x）]dx=（124x3-6x+12x2）64=133，]
则所求概率为[P=S阴影S正方形=13362=13108].
点拨 古典概型与几何概型是必修[3]概率章节中的基础内容，它们都是“等可能事件”. 变式[1]是基本事件从有限到无限、古典概型到几何概型的延拓；变式[2]则是几何概型与定积分的有机结合，也是近年来高考的“新常态”.
[概率与统计]
例3 为调查来自南方的某大学生新生的身高水平与差异，该大学从[2015]级大学生中随机抽取了来自南方的大学生[10]名作为样本，测量出他们的的身高如下（单位：cm）：[158，170，166，][169，180]，[175，171，][176，162，][163，]求这[10]名同学的身高均值与方差.
解析 根据均值与方差的定义，容易计算出：
平均身高为[158+170+…+16310=169；]
身高方差为
[（158-169）2+（170-169）2+…+（163-169）210=42.6.]
变式1 若从以上抽测的[10]名南方大学生中随机抽取[3]名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为[X]，求[X]的分布列及数学期望[EX].
解析 从题中可以看出“随意”“一次性地取”及“不放回”抽取，是古典概型.
[10]名同学的平均身高为[169cm]，不低于平均身高的有[6]人，从抽测的[10]名南方大学生中随机抽取[3]名同学，身高不低于平均身高的同學的人数[X]可取[0，1，2，3]，则[P（X=k）=Ck6?C3-k4C310，（k=0，1，2，3）]，所以[X]的分布列为
点拨 显然随机变量[X]服从“超几何分布”，可以验证得，[EX=n?MN=][3×610=95].
变式2 若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的大学生中随机抽取[3]名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为[X，]求[X]的分布列及数学期望[E
解析 [10]名同学的平均身高为[169]cm，不低于平均身高的有6人，从中任取一名，身高不低于平均身高的概率为[610=35]，因为是从[2015]级大学生中取[3]人，随机变量[X]服从“二项分布”，即[X～B（3，35）]， 其分布列为
点拨 若有[N]件产品，其中[M]件是废品，无返回地任意抽取[n]件，则其中恰有废品的件数[X]是服从超几何分布的. 但若将超几何分布的概率模型改成：若有[N]件产品，其中[M]件是废品，有返回地任意抽取[n]件，则其中恰有废品的件数[X]是服从二项分布. 显然 “无返回”和“有返回”是区别这两种分布的关键. 一般说来，有返回与无返回抽样计算的概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是如此；但当被抽取的对象数目较大时，有返回抽样与无返回抽样所计算的概率相差不大. 因此现实中往往把抽取对象数量较大时的无返回抽样当作有返回来处理，所以变式1中[X]服从超几何分布，而变式2中[X]服从二项分布.
例[1] 如图1，并联电路中元件[a，b]在某段时间内接通的概率分别为[p1，p2，]且元件[a，b]接通与否互不影响，求此并联电路接通的概率.
解析 设在某段时间内元件[a，b]接通的事件分别为[A，B，]因为元件[a，b]接通与否互不影响，所以[A，B]相互独立，且[P（A）=p1，P（B）=p2].
方法一：（利用互斥事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a，b]至少一个接通，则此电路被接通的事件为[A?B+A?B+A?B.]
由于[A?B，A?B，A?B]互斥，
则[P（A?B+A?B+A?B）][=P（A?B）][+P（A?B）+P（A?B）]
[=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）]
[=p1（1-p2）+（1-p2）p1+p1p2][=p1+p2-p1p2].
方法二：（利用和事件解题）此并联电路要被接通，则元件[a]通或元件[b]通，故此并联电路被接通的事件为[A+B，]则[P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A?B）=P（A）+P（B）-P（A）?][P（B）][=p1+p2-p1p2].
方法三：（利用对立事件解题）此并联电路被断开的事件为[A?B]，由于[A，B]相互独立，则[A，B]也相互独立，从而此并联电路被接通的概率为[1-P（A?B）=1-P（A）?P（B）][=1-（1-p1）（1-p2）=p1+p2-p1p2.]
点拨 本题三种解法体现了集合“容斥原理”“互斥事件”“和事件”等知识的交融. 从结构化的角度看“集合”“简易逻辑”与“概率”，三者在概念、运算及其性质等方面有一定的对应关系. 研究它们之间的联系，有益于我们从不同角度观察数学的各个模块或分支，深化对数学知识的认知.
变式1 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先串联后并联（如图2）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p].求此系统正常工作的概率[P].
解析 [n]个相同元件串联构成的“子系统”正常工作时必须每一个元件都正常，故此“子系统”正常工作的概率为[pn.] 由此可知，由两个这样的“子系统”并联组成的该系统正常工作的概率为[P=1-（1-pn）2=2pn-p2n].
变式2 用[2n]个相同的元件组成一个系统，按先并联后串联（如图3）的方式连接，如果每个元件能否正常工作是相互独立的，且每个元件能正常工作的概率为[p]. 求此系统正常工作的概率[P].
解析 由例1知，两个元件并联构成的“子系统”能正常工作的概率为[1-（1-p）2=2p-p2][=p（2-p）]，所以[n]个这样的“子系统”串联组成的该系统正常工作的概率为[P=[p（2-p）]n].
点拨 将[n]个元件串联而成的子系统分别当作例1中的元件[a，b]就成了变式1. 因此，变式1是例1的引申，而变式2则是例1的应用.
[概率模型]
例2 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正整数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.
分析 从[1，2，3，4，5]中取出的两个数可以相等，故这是一个有放回的抽样，“随意写出”说明事件是等可能的，故本题是一个“古典概型”.
解 设取出的两个数为[（m，n），]则[m，n∈1，2，3，4，5]，共有[5×5=25]种取法，即[（1，1）]，[（1，2）][（1，3）]，[（1，4）]，[（1，5）]，[（2，1）][（2，2）]，…，[（5，5）]，取到每一种的可能性相同，能够构成锐角三角形的只有[（4，5）]，[（5，4）]，[（5，5）]三种，所以这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率为[P=325.]
变式1 给定正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正实数（这两个数可以相等），求这两个数与[6]一起能构成锐角三角形的概率.
解析 设写的两个数为[x，y]，依题意知[x，y]要满足[0
作出上述不等式表示的几何区域，如图4，则[x，y，6]能构成锐角三角形的概率为
[P=S阴影S正方形=S正方形-14S圆S正方形=1-14π×6262=1-π4.]
[图4][图5]
变式2 给定一个正数[6]，然后随意写出两个小于[6]的正实数（这两个数可以相等），求其中一个数的平方大于另一个数的8倍且这两个数与[6]一起能构成三角形的概率.
解析 设两个数为[x，y]，则[0
作出上述不等式表示的几何区域，如图5，则阴影部分的面积为[46[18x2-（6-x）]dx=（124x3-6x+12x2）64=133，]
则所求概率为[P=S阴影S正方形=13362=13108].
点拨 古典概型与几何概型是必修[3]概率章节中的基础内容，它们都是“等可能事件”. 变式[1]是基本事件从有限到无限、古典概型到几何概型的延拓；变式[2]则是几何概型与定积分的有机结合，也是近年来高考的“新常态”.
[概率与统计]
例3 为调查来自南方的某大学生新生的身高水平与差异，该大学从[2015]级大学生中随机抽取了来自南方的大学生[10]名作为样本，测量出他们的的身高如下（单位：cm）：[158，170，166，][169，180]，[175，171，][176，162，][163，]求这[10]名同学的身高均值与方差.
解析 根据均值与方差的定义，容易计算出：
平均身高为[158+170+…+16310=169；]
身高方差为
[（158-169）2+（170-169）2+…+（163-169）210=42.6.]
变式1 若从以上抽测的[10]名南方大学生中随机抽取[3]名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为[X]，求[X]的分布列及数学期望[EX].
解析 从题中可以看出“随意”“一次性地取”及“不放回”抽取，是古典概型.
[10]名同学的平均身高为[169cm]，不低于平均身高的有[6]人，从抽测的[10]名南方大学生中随机抽取[3]名同学，身高不低于平均身高的同學的人数[X]可取[0，1，2，3]，则[P（X=k）=Ck6?C3-k4C310，（k=0，1，2，3）]，所以[X]的分布列为
点拨 显然随机变量[X]服从“超几何分布”，可以验证得，[EX=n?MN=][3×610=95].
变式2 若将样本频率视为总体的概率，现从来自南方的大学生中随机抽取[3]名同学，记其中身高不低于平均身高的同学的人数为[X，]求[X]的分布列及数学期望[E
解析 [10]名同学的平均身高为[169]cm，不低于平均身高的有6人，从中任取一名，身高不低于平均身高的概率为[610=35]，因为是从[2015]级大学生中取[3]人，随机变量[X]服从“二项分布”，即[X～B（3，35）]， 其分布列为
点拨 若有[N]件产品，其中[M]件是废品，无返回地任意抽取[n]件，则其中恰有废品的件数[X]是服从超几何分布的. 但若将超几何分布的概率模型改成：若有[N]件产品，其中[M]件是废品，有返回地任意抽取[n]件，则其中恰有废品的件数[X]是服从二项分布. 显然 “无返回”和“有返回”是区别这两种分布的关键. 一般说来，有返回与无返回抽样计算的概率是不同的，特别在抽取对象数目不大时更是如此；但当被抽取的对象数目较大时，有返回抽样与无返回抽样所计算的概率相差不大. 因此现实中往往把抽取对象数量较大时的无返回抽样当作有返回来处理，所以变式1中[X]服从超几何分布，而变式2中[X]服从二项分布.