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中图分类号：TP3-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0001-04
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重点内容，也是高考重点考查的内容之一，该类题型难度较大，相对具有一定的综合性，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变等特点。直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，其运算过程复杂，解题效率低。而解圆锥曲线的中点弦问题的巧妙方法是用“点差法”来进行求解，利用该方法可以达到“设而不求”的目的，使解题过程化繁为简，出奇制胜的效果，优化解题过程。
在直线和圆锥曲线的题目中，涉及弦的中点有关的问题时，常用“点差法”来处理，即设直线与圆锥曲线的交点（弦的两个端点）坐标为 ， ，弦AB中点为 ，将这两点坐标代人圆锥曲线的方程，两式相减后分解因式，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称这种代点作差的方法为“点差法”，具体地：
⑴ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，有 ， ，又 两点在椭圆上，则 ， ，两式相减得 ，于是 ，所以 ，即 ；
⑵ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，则有 ，即 ；
⑶ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，则有 ，即 。
下面主要从4个方面举例说明“点差法”的应用。
1. 求曲线方程
例1.（2013课标Ⅰ理）已知椭圆 的右焦点为 ，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为 ，求椭圆E的方程。
解： 与直线l相交于 ， 两点，则有 ， ，
① ②
①-②得 ，
∴ = = = ，又 = = ，∴ = ，又9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为 。
点评：本题利用“点差法”，建立直线AB的斜率与弦AB的中点坐标之间的关系，得出a、b的一个关系，再根据椭圆方程中 的关系得出方程组从而求出a、b。利用该方法达到“设而不求”的目的，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。
例2. （2011北京文）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 。斜率为1的直线l与椭圆G交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 。
⑴求椭圆G的方程；⑵求 的面积。
解：⑴由已知得 解得 又
所以椭圆G的方程为
⑵法一：设直线l的方程为 由 得
设A、B的坐标分别为 AB中点为E ，
则 因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率 解得m=2。
此时方程①为 解得 所以 所以|AB|= 。
此时，点P（—3，2）到直线AB： 的距离
所以△PAB的面积S=
法二：设A、B的坐标分别为 ，AB中点为 ，由椭圆的“点差法”可知， ，即 ，所以
①
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以 ，即
②
由①②，得 ，所以直线AB的方程为： ，以下解法同法一。
2. 求弦中点的轨迹方程
例3. 已知椭圆 ，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。
解：设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 ，由椭圆的“点差法”可知， ，即 ，
弦中点轨迹在已知椭圆内， 所求弦中点的轨迹方程为 （在已知椭圆内）。
点评：求轨迹的问题主要难点在于得出动点的坐标 所要满足的关系式，如果适当运用点差法求解，通常是将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，从而得到动点坐标所要满足的关系，进而可求出有动点的轨迹方程。
3. 确定参数的范围
例4. 若拋物线 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数m的取值范围。
解：当 时，显然满足。
当 时，设抛物线C上关于直线 对称的两点分别为 ，且 的中点为 ，则 ，（1） ，（2）
得： ，
又 ， .
中点 在直线 上， ，于是 .
中点M在抛物线 区域内
，即 ，解得 .
综上可知，所求实数m的取值范围是 。
点评：解析几何中求一些参数的范围是难点问题，在条件允许的情形下，应用“点差法”将有利于挖掘参数满足的条件，更方便于求参数的取值范围。
4. 求证定值、定点问题
例5. 已知点Q是抛物线 上异于坐标原点O的点，
（上接2页）
过点Q与抛物线 相切的两条直线分别交抛物线 于点A，B。
⑴若点Q的坐标为 ，求直线AB的方程及弦AB的长；
⑵判断直线 与抛物线 的位置关系，并说明理由。
解：⑴由 在抛物线 上，可得 ，
所以抛物线 的方程为 。
设抛物线 的切线方程为 ，
联立 ，消去y，
得 ，
由于直线与抛物线 相切，故 ，解得 或 。
由 ，得 ；由 ，得 ；
所以直线AB的方程为 ，弦AB的长为 。
⑵设 ， ， ，因为三点都在抛物线 上，所以 ， ， ，作差整理，得 ， ， 。
所以直线 ，所以直线 ，因为直线 均是抛物线 的切线，故分别与抛物线 的方程联立，令 ，可得 ， ，两式相减整理，得 ，可知 ，所以直线AB的方程为 ，抛物线 联立，消去y，得，其判别式 ，故直线AB与抛物线 相切。
点评：解析几何中解决定值和定点问题一般比较困难，并且解题过程复杂，运算量较大。然而，在涉及到弦的中点时若能利用“点差法”，将简化解题过程，降低运算量，从而使解题过程变得简捷而轻松。
从以上例子可以看出：在解析几何中，“点差法”作为设而不求的一种经典方法，它避免了联立方程组所带来的运算上面的一系列麻烦，大大地降低了运算量，同时也使得解题的思路变得更简捷明了。当题目中出现曲线、直线的斜率、相交弦的中点时，这三个条件一般情况下是知二求一，巧妙应用“点差法”解题的适用条件，套用本文的格式步骤，将此类型的题模式化，可以又快又对的解决问题，有利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重点内容，也是高考重点考查的内容之一，该类题型难度较大，相对具有一定的综合性，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变等特点。直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，其运算过程复杂，解题效率低。而解圆锥曲线的中点弦问题的巧妙方法是用“点差法”来进行求解，利用该方法可以达到“设而不求”的目的，使解题过程化繁为简，出奇制胜的效果，优化解题过程。
在直线和圆锥曲线的题目中，涉及弦的中点有关的问题时，常用“点差法”来处理，即设直线与圆锥曲线的交点（弦的两个端点）坐标为 ， ，弦AB中点为 ，将这两点坐标代人圆锥曲线的方程，两式相减后分解因式，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称这种代点作差的方法为“点差法”，具体地：
⑴ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，有 ， ，又 两点在椭圆上，则 ， ，两式相减得 ，于是 ，所以 ，即 ；
⑵ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，则有 ，即 ；
⑶ 与直线l相交于 ， 两点，设弦AB中点为 ，则有 ，即 。
下面主要从4个方面举例说明“点差法”的应用。
1. 求曲线方程
例1.（2013课标Ⅰ理）已知椭圆 的右焦点为 ，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为 ，求椭圆E的方程。
解： 与直线l相交于 ， 两点，则有 ， ，
① ②
①-②得 ，
∴ = = = ，又 = = ，∴ = ，又9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为 。
点评：本题利用“点差法”，建立直线AB的斜率与弦AB的中点坐标之间的关系，得出a、b的一个关系，再根据椭圆方程中 的关系得出方程组从而求出a、b。利用该方法达到“设而不求”的目的，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。
例2. （2011北京文）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 。斜率为1的直线l与椭圆G交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 。
⑴求椭圆G的方程；⑵求 的面积。
解：⑴由已知得 解得 又
所以椭圆G的方程为
⑵法一：设直线l的方程为 由 得
设A、B的坐标分别为 AB中点为E ，
则 因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率 解得m=2。
此时方程①为 解得 所以 所以|AB|= 。
此时，点P（—3，2）到直线AB： 的距离
所以△PAB的面积S=
法二：设A、B的坐标分别为 ，AB中点为 ，由椭圆的“点差法”可知， ，即 ，所以
①
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以 ，即
②
由①②，得 ，所以直线AB的方程为： ，以下解法同法一。
2. 求弦中点的轨迹方程
例3. 已知椭圆 ，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。
解：设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 ，由椭圆的“点差法”可知， ，即 ，
弦中点轨迹在已知椭圆内， 所求弦中点的轨迹方程为 （在已知椭圆内）。
点评：求轨迹的问题主要难点在于得出动点的坐标 所要满足的关系式，如果适当运用点差法求解，通常是将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，从而得到动点坐标所要满足的关系，进而可求出有动点的轨迹方程。
3. 确定参数的范围
例4. 若拋物线 上存在不同的两点关于直线 对称，求实数m的取值范围。
解：当 时，显然满足。
当 时，设抛物线C上关于直线 对称的两点分别为 ，且 的中点为 ，则 ，（1） ，（2）
得： ，
又 ， .
中点 在直线 上， ，于是 .
中点M在抛物线 区域内
，即 ，解得 .
综上可知，所求实数m的取值范围是 。
点评：解析几何中求一些参数的范围是难点问题，在条件允许的情形下，应用“点差法”将有利于挖掘参数满足的条件，更方便于求参数的取值范围。
4. 求证定值、定点问题
例5. 已知点Q是抛物线 上异于坐标原点O的点，
（上接2页）
过点Q与抛物线 相切的两条直线分别交抛物线 于点A，B。
⑴若点Q的坐标为 ，求直线AB的方程及弦AB的长；
⑵判断直线 与抛物线 的位置关系，并说明理由。
解：⑴由 在抛物线 上，可得 ，
所以抛物线 的方程为 。
设抛物线 的切线方程为 ，
联立 ，消去y，
得 ，
由于直线与抛物线 相切，故 ，解得 或 。
由 ，得 ；由 ，得 ；
所以直线AB的方程为 ，弦AB的长为 。
⑵设 ， ， ，因为三点都在抛物线 上，所以 ， ， ，作差整理，得 ， ， 。
所以直线 ，所以直线 ，因为直线 均是抛物线 的切线，故分别与抛物线 的方程联立，令 ，可得 ， ，两式相减整理，得 ，可知 ，所以直线AB的方程为 ，抛物线 联立，消去y，得，其判别式 ，故直线AB与抛物线 相切。
点评：解析几何中解决定值和定点问题一般比较困难，并且解题过程复杂，运算量较大。然而，在涉及到弦的中点时若能利用“点差法”，将简化解题过程，降低运算量，从而使解题过程变得简捷而轻松。
从以上例子可以看出：在解析几何中，“点差法”作为设而不求的一种经典方法，它避免了联立方程组所带来的运算上面的一系列麻烦，大大地降低了运算量，同时也使得解题的思路变得更简捷明了。当题目中出现曲线、直线的斜率、相交弦的中点时，这三个条件一般情况下是知二求一，巧妙应用“点差法”解题的适用条件，套用本文的格式步骤，将此类型的题模式化，可以又快又对的解决问题，有利于培养学生的解题能力和解题兴趣。