线性空间的定义

来源 :文理导航 | 被引量 : 0次 | 上传用户:deqiangranran
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  【摘 要】线性空间的定义是代数中一个较为抽象但又十分重要的概念,在认识代数关于空间上具有基础性的作用,而线性空间的定义中涉及代数运算与代数结构,本文从代数运算的角度给出线性空间的定义,并在此基础上引入平常意义上线性空间加法的定义,与通常意义上的加法做出区分。
  【关键词】运算;代数运算;线性空间
  现实世界的空间形式中表现为线性的有直线、平面。研究直线、平面的工具是向量。把线性空间又可称为向量空间,把线性空间的加法与纯量乘法称为线性运算。因此,一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统),以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源,在引入定义之前,先看几个熟知的例子。
  例1.几何空间中的向量、n维向量、矩阵等例子有一个共同之处:就是一个集合,一个数域,两种运算加法和纯量乘法,再加8条运算法则。由此可以抽象出一个线性空间的定义。
  例2.为了解线性方程组,我们讨论过以n元有序数组(a■,a■,…,a■)作为元素的n维向量空间。对于它们,也有加法和数量乘法,那就是:
  (a■,a■,…,a■)+(b■,b■,…,b■)=(a■+b■,a■+b■,…,a■+b■)
  k(a■,a■,…,a■)=(ka■,ka■,…,ka■)
  从这些例子中我们可以看到,所考虑的对象虽然不同,但它们有一个共同点,那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。
  研究线性空间,必须理解他的定义和简单性质,以及线性相关和线性无关,极大线性无关组和向量组的秩的定义和性质之后,就着重研究线性空间的结构,指出任一线性空间的结构由它的一个基所决定,而维数对于研究有限维线性空间的结构起着重要作用。
  定义1 设V是一非空集合,F是数域(本书特指实数域),对V中任意两个元α,β,定义一个加法运算,记为“+”:α+β∈V(元α+β称为α与β的和);定义一个数乘运算:kα∈V,k∈F(元kα称为k与α的数积)。这两种运算(也称为V的线性运算),满足下列规则,则称V为数域F上的线性空间(或向量空间)。加法满足下面四条规则:
  (1)α+β=β+α;
  (2)(α+β)+γ=α+(β+γ);
  (3)在V中存在零元素0;对任何α∈V,都有α+0=α;
  (4)对任何α∈V,都有α的负元素β∈V,使α+β=0,记β=-α;
  数量乘法满足下面两条规则:
  (5)1α=α;
  (6)λ(μα)=(λμ)α;数量乘法与加法满足下面两条规则;
  (7)(λ+μ)α=λα+μα;
  (8)λ(α+β)=λα+λβ。
  数域F上的线性空间V,记为V(F),V中的元称为向量;当F是实数域时,称V为实线性空间;当F是复数域时,称V为复线性空间。在不需要强调数域时,就称V为线性空间。
  例3. 由数域F上的元素构成的全体mxn矩阵所成的集合,称为矩阵空间,记为F■,其中R■为由一切mxn实矩阵构成的实线性空间。但秩为r(r>0)的全体矩阵所构成的集合F■不构成线性空间。事实上,零矩阵0∈F■。
  例4.设X为实数域R的任一非空子集,定义域为X的所有实值函数组成的集合,它对于函数的加法,以及实数与函数的数量乘法,成为实数域上的一个线性空间。
  例5.数域K上所有一元多项式组成的集合,它对多项式的加法,以及k中元素与多项式的数量乘法,成为k上的一个线性空间。把复数域C可以看成是实数域R上的一个线性空间,其加法是复数的加法,其数量乘法是实数a与复数z的乘法。
  例6.数域F按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间。设x是任意一个非空集合,F是一个数域,从X到F的每一个映射称为X上的一个F值函数。X上的所有F值函数组成的集合。对函数的加法与数与函数的纯量乘法。容易验证它们满足加法交换律、结合律等8条运算法则。因此可以形成一个线性空间,零元是零函数。这时既可用实数乘向量,从而构成实线性空间;又可以用复数乘向量,構成复线性空间,记为C■。
  上面例子告诉我们,线性空间这一数学模型适应性很广,我们将从线性空间的定义出发,作逻辑推理,深入揭示线性空间的性质,它们对于所有的具体的线性空间都成立。
  性质1 零向量是唯一的。
  性质2 负向量是唯一的。
  性质3 0α=0;(-1)α=-α;k0=0。
  性质4 若kα=0,则k=0或α=0。
  (1)线性空间V是一个集合(向量),它满足一定条件。
  (下转第31页)(上接第14页)
  (2) 线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。
  例如:在正实数集R■中,F为实数域R,定义加法和数乘运算为a b=ab,k a=a■,其中ab∈R■,k∈R,“ ”表示加法,“。”表示数乘。那么R■构成实线性空间。此时加法零元素是R■中的数1,R■中元素α的负元素是a■。
  【参考文献】
  [1]陈重穆,施武杰.高等代数.重庆:西南师范大学出版社,1987
  [2]陈重穆.有限群基础.重庆:重庆出版社,1991
其他文献
目的探讨血红素加氧酶-1(HO-1)在硫化氢(H2S)对抗顺铂(Cisplatin)诱导的听细胞损伤中的作用。方法应用顺铂处理听细胞,建立化疗药物耳毒性的体外模型。硫化氢的供体硫氢化钠(NaHS)及HO
目的研究两种不同品牌尿液干化学分析仪检验结果分级,比较不同品牌仪器检测结果差异是否存在显著性。方法对比两种不同品牌仪器检测结果分级,分析其中的异同,并平行检测病人标本
【摘 要】前置性学习,是生本教育理念的重要形式,加强前置性学习是培养学生学习能力的良好方式,充分运用这个平台,加强策略研究,让学生在前置性学习中习得方法、习得能力、形成习惯,为其以后持续发展奠定坚实基础。  【关键词】前置;习惯;自主;能力  培养学生自主学习能力,促进学生自主学习是社会发展的需要,也是终身教育的需要。因此,教师要创造条件帮助学生积极参与学习,使学生乐学、爱学、会学,既能掌握学习的
【摘 要】高中生即将成年,需要树立正确的是非观以及价值观,在新课程教学改革的过程中,通过思想政治课程向学生传递正确的思想以及价值观,在政治课程设计的过程中,教师通过思想政治课程的培养和教育让学生树立公共参与的意识,让学生在社会生活中不受到外界不良的诱惑,也不会极端功利化,本文探究了如何通过思想政治课程培养学生的公共参与素养,提出了几点优化解决的措施。  【关键词】高中;思想政治;公共参与  高中生
近日,2019年广州市交通运输工作会议暨广州地区春运工作总结会在市政府礼堂召开。广州市副市长马文田出席会议并讲话。会上,市交通运输局发布2018年的成绩单和2019年重点工作
2014年是深入贯彻党的十八届三中全会和省委十一届三次全会精神、全面深化改革的开局之年,也是全面实现“十二五”规划目标的关键一年。我省交通运输建设和管理在去年取得累累
【摘 要】在幼师教学过程中,物理教学对幼师以后的学习和教育工作都有着重要的作用,但其也是幼师教学体系中最为薄弱的课程之一。在现阶段的幼师物理教学中,教师们的教学模式不能跟上时代的发展进行创新和改革,还是沿用着中学或师范中专等使用的传统物理教学模式,不能完成社会发展对幼师物理教育的新要求,提升学生学习兴趣,从而导致了幼师物理教学出现许多问题,严重影响着幼师教学的整体质量。  【关键词】幼师教育;物理
广州地铁安检将率先试水'人脸识别'技术,日前在珠江新城站、万胜围站、嘉禾望岗站设置人工智能安检门,但暂时未向乘客启用。据技术提供方佳都科技介绍,无行李或小包
【摘 要】随着互联网时代的到来,互联网对教育教学的影响越来越大。当互联网遇见高中历史教育教学,互联网中拥有的海量信息为学生更好的学习历史知识提供了强大的信息支撑。本文通过分析互联网在高中历史教育教学中应用的意义和注意事项,以期促进互联网与高中历史教育教学更好的融合。  【关键词】互联网+;高中历史;教育教学  随着素质教育改革的不断深入推进,传统的高中历史教育教学已经不能适应时代的需求,而互联网的