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摘要：数学多元表征就是指同一数学学习对象的言语化表征、视觉化表征、操作化表征等多种外在表征形式。在研究中，言语化表征主要是指：口头语言、书面语言、形式化的符号语言等；视觉化表征主要是指：教具模型、实物情景、形态手势、图形、图表、图像、组织结构图等；操作化表征是指：学生自己动手操作的数学实验、日常生活实践、教师有目的地组织体验等活动。数学教学中往往需要借助多元表征来提高小学生的数学理解能力。
关键词：数学；多元表征；理解力
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）04-0113
在日常教学中，有些概念看似很简单，生活中很常见，或者一道数量关系并不复杂的问题，教师在课堂上反反复复说了很多遍，学生在学习过程中依然似懂非懂，最后，有些教师没办法了，就强行学生进行模仿或者大量的机械训练从而达到正确解决问题的目的。如此的教学，从学习心理学角度，教师发现学生并没有从认知的本质角度去理解知识，更谈不上利用自己已有的信息去主动建构知识；从课堂效益角度，这样的课堂显然是低效的，学生思维发展的空间受到极大的抑制，无法生成学生自己的数学智慧。
研究显示，对数学知识的理解大体上经历了经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段和观念型认识阶段4个层次水平。也可用以下数学理解层次模型来描述学习者数学理解逐步深入的过程。
在教学中在查阅文献的基础上，发现多元表征能帮助学生提高数学理解力。多元表征是数学学习对象的各种不同具体形式，内在表征是学生对外在表征内化的各种心智表征。外在表征与内在表征之间存在着密切关联，外在表征的形式与结构深刻影响着学生对数学的理解，内在表征的水平影响外在表征的内化程度。
一、借助多元表征提高学生对数感的认识的方法
数感是小学生必须具备的数学能力之一，是指数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。良好的数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感是对数的一种感悟，它不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个建立、发展、感悟的过程。为此，在日常教学中帮助学生建立良好的数感十分重要。
比如在一年级《数字规律》这一课中，这节课的数学本质就是发展学生的数感。对于一年级的学生来讲，如何更好地理解“数感”这一抽象的数学概念，无疑借助多元表征，帮助学生感悟数感将会是一个非常好的教学手段。
上课伊始，笔者创设了这样一个情境：小兔子在家玩拼图形的游戏。
然后问学生：小兔子这几次拼的图形一样吗？有什么变化？大部分同学的第一反映都是直观的看出拼的图形也越来越多了。少部分同学能够关注到正方形的个数，当学生关注到正方形的个数的时候，笔者会带着学生数一数，读一读。这一环节主要是通过图形表征、语言表征使学生对数列的规律有一个初步的感悟。接着让学生通过不同的表征形式把自己所理解的多3表示出来。可以圈一圈、涂一涂、写一写、算一算。在这里面学生的理解水平也是不同的。
水平1：只能在图中圈出多3。
水平2：能在图中和数列中找到3，但表达不清、不全。
水平3：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来。
水平4：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来，能比较清楚地加以概括。
当学生通过不同的表征形式找到这列数的规律后，教师组织学生大声的朗读规律，分组读、重点读，帮助学生更加深刻地记忆变化数列中不变的规律，潜移默化的发展学生的数感。
二、借助多元表征理解数学概念的方法
数学概念揭示物质的本质、属性与共同特征，具有抽象性、复杂性、严密性，并蕴含着丰富的内涵，具有固定和同化新知识的功能。一切的数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念，它是数学的基础，是学生计算能力提高，空间观念形成，思维能力发展的前提和重要保证。学习数学的过程就是一个不断运用数学概念进行比较、分析、综合、概括、判断、推理的思维过程。因此数学概念的教学是数学教学的核心，有着极其重要的地位。
《有余数的除法》是一节概念教学的课。概念教学不仅要帮助学生建立概念的多元表征，而且要根据需要与情境在外在表征的不同成分之间做出灵活的转换。
在教学中，教师是借助动作、语言、符号等多种表征方式之间的转化来帮助学生理解余数及有余数除法的含义的。
本节课中，以学生熟悉的用小棒摆图形的情境引入新课并把这个活动贯穿始终。教学中，每组学生拿到的小棒根数是不同的，有10根的、11根的和12根的。学生通过小组分工来摆图形，摆完后和小组交流自己用了几根小棒摆了什么图形，有没有剩余。在这一环节，学生主要是通过动作表征和语言表征来初步感受余数的含义。
接着在分组汇报阶段，主要分了三个层次。
第一个层次是用10根小棒摆图形的同学，边摆边说。用10根小棒摆图形时，如果摆五边形，小棒正好用完，没有剩余。
第二个层次是让用12根小棒摆图形的同学交流汇报。学生在交流的过程中，通过语言描述自己的操作过程。
第三个层次是用11根小棒摆图形的同学进行汇报。
当三组同学都汇报完以后，教师引导学生对摆图形的结果进行分类。因为有了前面的学习基础，学生很自然的分成两类，一类正好分完，没有剩余。一类有剩余。当学生通过操作表征摆了图形，借助语言表征描述摆图形的过程以后，进入到算式表征。当学生用除法算式表达完自己的想法以后，追问：“为什么用除法计算呢？”因为是平均分，揭示了本节课的数学本质。
这样通过构建图形、语言、符号三种表征之间的联系，多种表征之间相互转换，帮助学生理解余数及有余数除法的含义。
三、借助多元表征帮助学生理解算理的方法
长期以来，在应试的背景下，数学教学往往偏重于以达到立竿见影的显性效果为目的的熟练性训练（如题型的强化训练），而忽略促使学生生动活泼地学习与发展的长效性目标。特别是在计算教学中，教师往往是通过大量的练习来帮助学生掌握算法，而忽视了计算的真谛——算理的理解。
以《两位数加一位数进位加法》为例，本节课为了帮助学生理解算理，笔者不仅为他们提供了小棒，这一他们非常熟悉的学习工具，还提供了方格纸。看似简单的两种学具的介入，实际上是在向学生渗透学习数学的方法。而计算方法的多样，使学生的思维处于活跃的状态，并且计算方法是学生通过操作得到的，而不是教师填鸭式地讲授，学生机械的记忆，这样的学习为后续学习两位数加两位数的计算积累数学活动的经验，学会独立探究和迁移。
总之，多元表征对学生的数学理解是重要的。视觉化多元表征，如果不配合强有力的教学设计或教学提示，内化表征的生成，也会大打折扣。数学理解离不开多元表征的学习，更离不开多元表征的教学，使得“教学多元表征有效地转化为学生内在的多元表征，形成良好的认知结构”。
参考文献：
[1] 黄燕玲，喻 平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（3）.
[2] 李淑文，张同君.超回归数学理解模型及其启示[J].数学教育学报，2002（1）.
[3] 于新华，杨 之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005（2）.
（作者單位：北京市京源学校小学部 100000）
关键词：数学；多元表征；理解力
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）04-0113
在日常教学中，有些概念看似很简单，生活中很常见，或者一道数量关系并不复杂的问题，教师在课堂上反反复复说了很多遍，学生在学习过程中依然似懂非懂，最后，有些教师没办法了，就强行学生进行模仿或者大量的机械训练从而达到正确解决问题的目的。如此的教学，从学习心理学角度，教师发现学生并没有从认知的本质角度去理解知识，更谈不上利用自己已有的信息去主动建构知识；从课堂效益角度，这样的课堂显然是低效的，学生思维发展的空间受到极大的抑制，无法生成学生自己的数学智慧。
研究显示，对数学知识的理解大体上经历了经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段和观念型认识阶段4个层次水平。也可用以下数学理解层次模型来描述学习者数学理解逐步深入的过程。
在教学中在查阅文献的基础上，发现多元表征能帮助学生提高数学理解力。多元表征是数学学习对象的各种不同具体形式，内在表征是学生对外在表征内化的各种心智表征。外在表征与内在表征之间存在着密切关联，外在表征的形式与结构深刻影响着学生对数学的理解，内在表征的水平影响外在表征的内化程度。
一、借助多元表征提高学生对数感的认识的方法
数感是小学生必须具备的数学能力之一，是指数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。良好的数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感是对数的一种感悟，它不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个建立、发展、感悟的过程。为此，在日常教学中帮助学生建立良好的数感十分重要。
比如在一年级《数字规律》这一课中，这节课的数学本质就是发展学生的数感。对于一年级的学生来讲，如何更好地理解“数感”这一抽象的数学概念，无疑借助多元表征，帮助学生感悟数感将会是一个非常好的教学手段。
上课伊始，笔者创设了这样一个情境：小兔子在家玩拼图形的游戏。
然后问学生：小兔子这几次拼的图形一样吗？有什么变化？大部分同学的第一反映都是直观的看出拼的图形也越来越多了。少部分同学能够关注到正方形的个数，当学生关注到正方形的个数的时候，笔者会带着学生数一数，读一读。这一环节主要是通过图形表征、语言表征使学生对数列的规律有一个初步的感悟。接着让学生通过不同的表征形式把自己所理解的多3表示出来。可以圈一圈、涂一涂、写一写、算一算。在这里面学生的理解水平也是不同的。
水平1：只能在图中圈出多3。
水平2：能在图中和数列中找到3，但表达不清、不全。
水平3：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来。
水平4：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来，能比较清楚地加以概括。
当学生通过不同的表征形式找到这列数的规律后，教师组织学生大声的朗读规律，分组读、重点读，帮助学生更加深刻地记忆变化数列中不变的规律，潜移默化的发展学生的数感。
二、借助多元表征理解数学概念的方法
数学概念揭示物质的本质、属性与共同特征，具有抽象性、复杂性、严密性，并蕴含着丰富的内涵，具有固定和同化新知识的功能。一切的数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念，它是数学的基础，是学生计算能力提高，空间观念形成，思维能力发展的前提和重要保证。学习数学的过程就是一个不断运用数学概念进行比较、分析、综合、概括、判断、推理的思维过程。因此数学概念的教学是数学教学的核心，有着极其重要的地位。
《有余数的除法》是一节概念教学的课。概念教学不仅要帮助学生建立概念的多元表征，而且要根据需要与情境在外在表征的不同成分之间做出灵活的转换。
在教学中，教师是借助动作、语言、符号等多种表征方式之间的转化来帮助学生理解余数及有余数除法的含义的。
本节课中，以学生熟悉的用小棒摆图形的情境引入新课并把这个活动贯穿始终。教学中，每组学生拿到的小棒根数是不同的，有10根的、11根的和12根的。学生通过小组分工来摆图形，摆完后和小组交流自己用了几根小棒摆了什么图形，有没有剩余。在这一环节，学生主要是通过动作表征和语言表征来初步感受余数的含义。
接着在分组汇报阶段，主要分了三个层次。
第一个层次是用10根小棒摆图形的同学，边摆边说。用10根小棒摆图形时，如果摆五边形，小棒正好用完，没有剩余。
第二个层次是让用12根小棒摆图形的同学交流汇报。学生在交流的过程中，通过语言描述自己的操作过程。
第三个层次是用11根小棒摆图形的同学进行汇报。
当三组同学都汇报完以后，教师引导学生对摆图形的结果进行分类。因为有了前面的学习基础，学生很自然的分成两类，一类正好分完，没有剩余。一类有剩余。当学生通过操作表征摆了图形，借助语言表征描述摆图形的过程以后，进入到算式表征。当学生用除法算式表达完自己的想法以后，追问：“为什么用除法计算呢？”因为是平均分，揭示了本节课的数学本质。
这样通过构建图形、语言、符号三种表征之间的联系，多种表征之间相互转换，帮助学生理解余数及有余数除法的含义。
三、借助多元表征帮助学生理解算理的方法
长期以来，在应试的背景下，数学教学往往偏重于以达到立竿见影的显性效果为目的的熟练性训练（如题型的强化训练），而忽略促使学生生动活泼地学习与发展的长效性目标。特别是在计算教学中，教师往往是通过大量的练习来帮助学生掌握算法，而忽视了计算的真谛——算理的理解。
以《两位数加一位数进位加法》为例，本节课为了帮助学生理解算理，笔者不仅为他们提供了小棒，这一他们非常熟悉的学习工具，还提供了方格纸。看似简单的两种学具的介入，实际上是在向学生渗透学习数学的方法。而计算方法的多样，使学生的思维处于活跃的状态，并且计算方法是学生通过操作得到的，而不是教师填鸭式地讲授，学生机械的记忆，这样的学习为后续学习两位数加两位数的计算积累数学活动的经验，学会独立探究和迁移。
总之，多元表征对学生的数学理解是重要的。视觉化多元表征，如果不配合强有力的教学设计或教学提示，内化表征的生成，也会大打折扣。数学理解离不开多元表征的学习，更离不开多元表征的教学，使得“教学多元表征有效地转化为学生内在的多元表征，形成良好的认知结构”。
参考文献：
[1] 黄燕玲，喻 平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（3）.
[2] 李淑文，张同君.超回归数学理解模型及其启示[J].数学教育学报，2002（1）.
[3] 于新华，杨 之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005（2）.
（作者單位：北京市京源学校小学部 100000）