（环县职业中专，甘肃环县745700）
　　
　　〔关键词〕 向量法；不等式；最值；代数定理
　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463（2008）11（Ａ）—00５8—０1
　　
　　敢于创新，就会有收获，数学学习就是如此.数学解题中，若能冲破知识网络体系的界限，则会思路顿开，妙趣横生，其乐无穷.本文通过向量法解题例析，展向量法解题之巧妙，看知识点融会之重要.
　　向量法证明不等式
　　例1：已知： a，b，x，y∈R+，且x2+y2=1.
　　求证：+≥a+b.
　　证明：令=（ax，by），=（bx，ay），则
　　+=（ax+bx，by+ay）.
　　由||+||≥|+|，得
　　+≥，
　　即+≥.
　　又∵ x2+y2=1，a，b∈R+，
　　∴ +≥a+b.
　　说明：此题用不等式性质求证较繁，但利用向量模的知识||+||≥|+|证明则简单易行.
　　例2：已知f（x）＝lg，若0　　求证：当x≠0时，有2f（x）　　证明：令=（1，2x，a·4x），=（1，1，1），则
　　·=1+2x+a·4x.
　　显然１＋２x+a·４x>0，且·<||·||，
　　即0<·<||·||.
　　∴ （·）2<||2·||2，
　　∴ （1+2x+ a·4x）2<（12+22x+ a２·42x） ·（12+12+12），
　　∴ （1+2x+ a·4x）2<3（12+22x+ a2·42x），
　　∴ ２ < ≤
　　（０　　∴ 21g < lg.
　　即2f（x）< f（2x）.
　　说明：此题合理构造向量，利用内积的性质 ·g≤||·g||解决问题，思路明晰，使人耳目一新.
　　向量法求解最值
　　例3：求函数y=+的最小值.
　　解：令=（x+3，5），=（5-x，1)，则+=（8，6）.
　　由|+|≤||+||，得
　　+≥=10.
　　∴ y≥10，即函数ymin=10.
　　向量法证明代数定理
　　例4：证明余弦定理：三角形任意一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的两倍.
　　已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.
　　求证：a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=a2+c2-2ac·cosB，c2=a2+b2-2ab·cosC.
　　证明：令=，=，=，则
　　==-=-.
　　由向量模知：||2=·=（-）·（-），
　　∴ ||2=2-2·+2，
　　即||2=||2-2||·||·cosA+||2，
　　∴ a2=b2+c2-2bc·cosA.
　　同理可证其他两个结论.
　　当然，用向量法解决立几问题，尤其是在求角和距离、判定空间直线与平面的位置关系方面的优势也是非常明显的，这里不再赘述.