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【摘要】 用数学开放题培养学生的创新意识和能力，已经成了教改的热点，数学开放题是数学教学中的一种新题型. 在初中数学教学中，要切实培养学生发散性思维，培养创新意识，我们有必要对数学开放题型进行探索.
【关键词】 开放题型；动手操作；条件开放；变式训练；教学疑问；空间；创新
美国数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏. ”我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革. ”“教科书及教材”应体现科学性、基础性和开放性.可见开放题型的教学是教改的需要. 素质教育的核心是培养学生的创新精神和实践能力. 教师要能创造性地处理教材，针对学生生活实际，引用学生喜闻乐见的生活内容作为新知学习的内容，树立开放的教学意识，提高学生学习的兴趣，引导学生发现数学问题，把知识灵活运用到摸得着、看得见、听得到的生活实际中去，提高综合应用数学知识的本领，体现数学学习的价值. 所谓开放题型，是指条件不完备，结论不确定，解题策略多样化的特点，具有不确定性是开放题的本质特征，正是由于这个特征，更能激发学生的探索欲望，从不同角度出发思考分析问题，尝试用多种方法解决问题，学生的思维能力得到了很好的锻炼，创造性能力得到不断提升. 开放性问题的引进能真正适应不同知识基础和智力水平的学生，才能满足个别教育的需要，使全体学生都能得到发展. 以下是笔者在探索开放题型教学中的几点体会：
1. 问题情景开放，激发学生探索、发现新知识的激情
开放题型教学是教师根据教学目标精心设计的一个“开放”而“有序”的动态过程，为学生从传统教学的束缚中解脱出来成为学习的主人，为教师从“主角”变为“主导”搭建了平台. 在问题情境中创设开放性问题能激发学生的学习活力，不断激起学生的探索、发现、想象和表现的愿望，让学生的思维、心态处于开放状态，让学生在解决问题的过程中发现新知，再现知识的产生过程，以便学生更好地理解掌握新知.
例1 一名同学在一条东西向的跑道上，先走了10米，又走了20米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向？与原来的位置相距多少米？
（1）有幾种走法？让学生分组讨论，由小组的代表说出本组成员的想法.
首先进行分类：
① 先向东走10米，再向东走20米；
② 先向东走10米，再向西走20米；
③ 先向西走10米，再向东走20米；
④ 先向西走10米，再向西走20米.
（2）讨论如何根据实际意义转化为数学表达式.
其次通过讨论，很快有四名同学说出下面四个等式：
（+10） + （+20） = +30 （+10） + （-20） = -10
（-10） + （+20） = +10 （-10） + （-20） = -30
设置上面的问题和活动，目的就是培养学生发现新问题的能力.
（3）最后观察上述四个等式，学生分组讨论，并总结归纳出有理数的加减法则.
设计这样的问题情景，能紧密联系生活实际，又是结论开放型，能很好地激发学生的学习兴趣和探索欲望，学生通过积极思考、合作交流，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，并从问题的解决中发现新知识，获取新知识. 学生的发散思维能力得到了较好的训练，学习的主动性、积极性得到了充分的发挥.
2. 设计一些条件开放的题目，培养学生对知识的归纳和应用
条件开放：即问题中所提供的条件不完备，需要在解题过程中不断充实和增添假设. 这类题目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一. 这类题常以基本知识为背景加以设计而成，主要考查学生的基础知识的掌握程度和归纳能力. 例如：教学完三角形相似的判定方法及三角形全等的判定方法后，给出如下条件开放的题目：
例2 在△ABC中，AB>AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行. 请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC.
例3 如图1，如果AB = AC，添加一个适当的条件，使得△ABD ≌ △ACE.则添加的条件是 .
像这样的开放题，根据不同的判定方法，有不同的答案，能很好地检验学生对相应图形的判定方法的掌握情况，加深了学生对所学基础知识的理解，并能熟练应用.
再如，在教用十字相乘法因式分解后，我设计了这样一道题目：
例4 为了使下列式子可以因式分解（在整数范围内），a，b分别可取哪些整数？
（1）x2 + ax - 6 （2）x2 + 5x + b
结果发现，学生的思维相当活跃，出现了不同的答案，经老师引导，学生自己完整地归纳出这道题的答案，而且加深了对公式x2 + （a + b）x + ab = （x + a）（x + b）的本质特点的理解，并能正确、熟练地掌握十字相乘法因式分解的方法，学生的主体性得到了充分发挥.
3. 设计动手操作开放的问题情景，培养学生的动手操作能力
教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动. 教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲. 只有达到这样的境地，才会真正实现主动参与. 例如在教学一元一次方程的时候，我给出下面一道设计型开放题：
例5 有一块长方形的场地，现要在其中建造一个花坛，使得花坛的总面积恰好为原场地的一半，试尽量美观而准确地做好设计. 这类问题与实际相结合，有很强的操作性和应用性，学生很感兴趣，参与意识较强，设计出的方案亦是多种多样. 这类题型有助于培养学生的动手操作能力和实践能力，拓宽学生的想象空间.
4. 加强命题的变式训练，在教学中积极渗透开放题的教学
教师在平时的数学教学中要加强变式训练，可以改变设问的方式，让学生在探索的过程中去体会、去思考.
例6 在教学“求证：顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形”后就问学生：当条件变化时，结论如何变化？如矩形各边中点依次连接成什么样的四边形？改成菱形、正方形、梯形、等腰梯形、对角线垂直的四边形、对角线相等的四边形等又如何呢？另外，还可以设计为：当结论变化时要求条件如何？即要依次连接四边中点得到的四边形为矩形（菱形、正方形）时，条件应如何变化？最后，可以问学生：结论能否为梯形，为什么？
这样随着问题的深入，让学生产生一种好奇心，去思考、去探究，使原来的一道题变成一类题，并通过对变式题的研究、解决，形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性，达到举一反三、触类旁通、熟一片、通一类的效果.
5. 制造教学疑问，引发学生开展研讨和争论，创新思维能力
“开放教育是学生自主的学习行为，在学习中充分认同，发挥学生个体的能动性……所以，最有效的方法是学生之间即时的讨论、互助. ”教者巧妙地制造“疑问”，引发学生开展多种形式的课堂教学讨论、交流、辩论、竞赛等活动.
例7 教学“一元二次方程根的判别式”一课时，我设计了这么一道练习：当k取何值时，一元二次方程kx2 + （4 - 2k）x + k + 1 = 0有解？
问题一出，马上有同学举手解题如下：
∵方程有解，∴ Δ ≥ 0. ∴解得k ≤ ■. 这时教师提问：有不同意见吗？引出思考，同学积极思考最终得出还要加上k ≠ 0这一条件. 接着又问：假如是“当k取何值时，方程kx2 + （4 - 2k）x + k + 1 = 0有解”這一题呢？教室里顿时鸦雀无声，同学们积极思考，两分钟后同学们讨论得热火朝天.
6. 开放探索空间，让学生在探索的过程中形成分析问题和解决问题的能力
开放式教学不能仅仅局限于课堂教学，还应开放学习空间，让学生走出教室，走向社会，去参加丰富多彩的课外活动与实践活动，开阔他们的视野，在感受新知的过程中，根据已有的数学知识，去发现，去思考，去探索，从而解决问题. 如教到测量时，教师和同学们一起制作测量工具，一起测量国旗旗杆、教学楼、校园古树的高度等；再如教到利息和利润问题时，可以让学生自己到附近的银行和商场进行实地调查和了解. 这些实际活动不仅丰富学生的课外活动，还可以培养学生观察、应用、分析及解决问题的能力，激活他们的创造潜能，最终使他们达到灵活创造的境界.
总之，开放题型教学是培养学生创新精神和实践能力的一种较为有效的教学模式，新课程理念下的开放题型教学，是教育改革和发展的方向. 开放题型教学的实施，充分发挥了学生学习的主动性，满足了每名学生的学习心理需求，使学生的良好个性品质得到充分的发展，有效提高了学生的学习能力，培养了学生的创新意识.
【参考文献】
[1]刘兼，孙晓庆.数学新课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社.
[2]王亚萍.初中数学开放题编制的原则和方法[J].新课程研究，2007（6）.
[3]任升录，张远增. 对数学开放性问题的认识及其教学尝试[J].数学教学.
[4]洪善理. 谈初中数学开放性问题[J].中国数学教育，2009（6）.
【关键词】 开放题型；动手操作；条件开放；变式训练；教学疑问；空间；创新
美国数学家哈尔莫斯曾经说过：“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏. ”我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革. ”“教科书及教材”应体现科学性、基础性和开放性.可见开放题型的教学是教改的需要. 素质教育的核心是培养学生的创新精神和实践能力. 教师要能创造性地处理教材，针对学生生活实际，引用学生喜闻乐见的生活内容作为新知学习的内容，树立开放的教学意识，提高学生学习的兴趣，引导学生发现数学问题，把知识灵活运用到摸得着、看得见、听得到的生活实际中去，提高综合应用数学知识的本领，体现数学学习的价值. 所谓开放题型，是指条件不完备，结论不确定，解题策略多样化的特点，具有不确定性是开放题的本质特征，正是由于这个特征，更能激发学生的探索欲望，从不同角度出发思考分析问题，尝试用多种方法解决问题，学生的思维能力得到了很好的锻炼，创造性能力得到不断提升. 开放性问题的引进能真正适应不同知识基础和智力水平的学生，才能满足个别教育的需要，使全体学生都能得到发展. 以下是笔者在探索开放题型教学中的几点体会：
1. 问题情景开放，激发学生探索、发现新知识的激情
开放题型教学是教师根据教学目标精心设计的一个“开放”而“有序”的动态过程，为学生从传统教学的束缚中解脱出来成为学习的主人，为教师从“主角”变为“主导”搭建了平台. 在问题情境中创设开放性问题能激发学生的学习活力，不断激起学生的探索、发现、想象和表现的愿望，让学生的思维、心态处于开放状态，让学生在解决问题的过程中发现新知，再现知识的产生过程，以便学生更好地理解掌握新知.
例1 一名同学在一条东西向的跑道上，先走了10米，又走了20米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向？与原来的位置相距多少米？
（1）有幾种走法？让学生分组讨论，由小组的代表说出本组成员的想法.
首先进行分类：
① 先向东走10米，再向东走20米；
② 先向东走10米，再向西走20米；
③ 先向西走10米，再向东走20米；
④ 先向西走10米，再向西走20米.
（2）讨论如何根据实际意义转化为数学表达式.
其次通过讨论，很快有四名同学说出下面四个等式：
（+10） + （+20） = +30 （+10） + （-20） = -10
（-10） + （+20） = +10 （-10） + （-20） = -30
设置上面的问题和活动，目的就是培养学生发现新问题的能力.
（3）最后观察上述四个等式，学生分组讨论，并总结归纳出有理数的加减法则.
设计这样的问题情景，能紧密联系生活实际，又是结论开放型，能很好地激发学生的学习兴趣和探索欲望，学生通过积极思考、合作交流，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，并从问题的解决中发现新知识，获取新知识. 学生的发散思维能力得到了较好的训练，学习的主动性、积极性得到了充分的发挥.
2. 设计一些条件开放的题目，培养学生对知识的归纳和应用
条件开放：即问题中所提供的条件不完备，需要在解题过程中不断充实和增添假设. 这类题目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一. 这类题常以基本知识为背景加以设计而成，主要考查学生的基础知识的掌握程度和归纳能力. 例如：教学完三角形相似的判定方法及三角形全等的判定方法后，给出如下条件开放的题目：
例2 在△ABC中，AB>AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行. 请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC.
例3 如图1，如果AB = AC，添加一个适当的条件，使得△ABD ≌ △ACE.则添加的条件是 .
像这样的开放题，根据不同的判定方法，有不同的答案，能很好地检验学生对相应图形的判定方法的掌握情况，加深了学生对所学基础知识的理解，并能熟练应用.
再如，在教用十字相乘法因式分解后，我设计了这样一道题目：
例4 为了使下列式子可以因式分解（在整数范围内），a，b分别可取哪些整数？
（1）x2 + ax - 6 （2）x2 + 5x + b
结果发现，学生的思维相当活跃，出现了不同的答案，经老师引导，学生自己完整地归纳出这道题的答案，而且加深了对公式x2 + （a + b）x + ab = （x + a）（x + b）的本质特点的理解，并能正确、熟练地掌握十字相乘法因式分解的方法，学生的主体性得到了充分发挥.
3. 设计动手操作开放的问题情景，培养学生的动手操作能力
教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动. 教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲. 只有达到这样的境地，才会真正实现主动参与. 例如在教学一元一次方程的时候，我给出下面一道设计型开放题：
例5 有一块长方形的场地，现要在其中建造一个花坛，使得花坛的总面积恰好为原场地的一半，试尽量美观而准确地做好设计. 这类问题与实际相结合，有很强的操作性和应用性，学生很感兴趣，参与意识较强，设计出的方案亦是多种多样. 这类题型有助于培养学生的动手操作能力和实践能力，拓宽学生的想象空间.
4. 加强命题的变式训练，在教学中积极渗透开放题的教学
教师在平时的数学教学中要加强变式训练，可以改变设问的方式，让学生在探索的过程中去体会、去思考.
例6 在教学“求证：顺次连接四边形各边中点所得图形是平行四边形”后就问学生：当条件变化时，结论如何变化？如矩形各边中点依次连接成什么样的四边形？改成菱形、正方形、梯形、等腰梯形、对角线垂直的四边形、对角线相等的四边形等又如何呢？另外，还可以设计为：当结论变化时要求条件如何？即要依次连接四边中点得到的四边形为矩形（菱形、正方形）时，条件应如何变化？最后，可以问学生：结论能否为梯形，为什么？
这样随着问题的深入，让学生产生一种好奇心，去思考、去探究，使原来的一道题变成一类题，并通过对变式题的研究、解决，形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性，达到举一反三、触类旁通、熟一片、通一类的效果.
5. 制造教学疑问，引发学生开展研讨和争论，创新思维能力
“开放教育是学生自主的学习行为，在学习中充分认同，发挥学生个体的能动性……所以，最有效的方法是学生之间即时的讨论、互助. ”教者巧妙地制造“疑问”，引发学生开展多种形式的课堂教学讨论、交流、辩论、竞赛等活动.
例7 教学“一元二次方程根的判别式”一课时，我设计了这么一道练习：当k取何值时，一元二次方程kx2 + （4 - 2k）x + k + 1 = 0有解？
问题一出，马上有同学举手解题如下：
∵方程有解，∴ Δ ≥ 0. ∴解得k ≤ ■. 这时教师提问：有不同意见吗？引出思考，同学积极思考最终得出还要加上k ≠ 0这一条件. 接着又问：假如是“当k取何值时，方程kx2 + （4 - 2k）x + k + 1 = 0有解”這一题呢？教室里顿时鸦雀无声，同学们积极思考，两分钟后同学们讨论得热火朝天.
6. 开放探索空间，让学生在探索的过程中形成分析问题和解决问题的能力
开放式教学不能仅仅局限于课堂教学，还应开放学习空间，让学生走出教室，走向社会，去参加丰富多彩的课外活动与实践活动，开阔他们的视野，在感受新知的过程中，根据已有的数学知识，去发现，去思考，去探索，从而解决问题. 如教到测量时，教师和同学们一起制作测量工具，一起测量国旗旗杆、教学楼、校园古树的高度等；再如教到利息和利润问题时，可以让学生自己到附近的银行和商场进行实地调查和了解. 这些实际活动不仅丰富学生的课外活动，还可以培养学生观察、应用、分析及解决问题的能力，激活他们的创造潜能，最终使他们达到灵活创造的境界.
总之，开放题型教学是培养学生创新精神和实践能力的一种较为有效的教学模式，新课程理念下的开放题型教学，是教育改革和发展的方向. 开放题型教学的实施，充分发挥了学生学习的主动性，满足了每名学生的学习心理需求，使学生的良好个性品质得到充分的发展，有效提高了学生的学习能力，培养了学生的创新意识.
【参考文献】
[1]刘兼，孙晓庆.数学新课程标准解读[M].北京：北京师范大学出版社.
[2]王亚萍.初中数学开放题编制的原则和方法[J].新课程研究，2007（6）.
[3]任升录，张远增. 对数学开放性问题的认识及其教学尝试[J].数学教学.
[4]洪善理. 谈初中数学开放性问题[J].中国数学教育，2009（6）.