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【摘要】如何在数学教学中渗透数学思想是数学教育界关注的重要问题之一，对小学数学教育来说，数学思想的渗透至关重要。本文以刘德武老师讲授的“小数的意义”一课为素材，分析他如何将数学思想的渗透落实到数学教育当中。
【关键词】小数的意义 数学思想
渗透 赏析
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）11A-0067-02
学生在三年级初步认识了小数，但并没有进行系统的学习。人教版数学四年级下册第四单元第一课时《小数的意义》，在学生原有的知识、经验基础上，帮助学生更好地理解小数的意义和性质，为学生以后学习小数四则运算打好基础。刘德武老师的教学，向我们诠释了什么是数学思想、为什么要在数学课堂中渗透数学思想以及如何在小学数学课堂中渗透数学思想等一直困绕着不少教师的问题。笔者现将刘老师所讲授的课堂内容整理如下，与读者共赏。
一、感悟数学思想，体验抽象过程
师：（幻灯片展示）用一个正方体表示整数1，如果把它平均分成三份，每一份表示多少？
生：[13]或者0.333…
师：看来同学们用小数表示[13]有点困难。那么，把整数1平均分成多少份，才能方便我们用小数表示每一份呢？
生：十份，一百份，一千份……（板书：把“1”平均分成10份）
师：把“1”平均分成10份，就是把一个正方体平均分成10份。如果第一份涂红色、第二份涂黄色，涂红色的是多少？表示什么数？涂色的部分表示什么数？
生：涂红色的是0.1，0.1表示[110];涂色的是0.2，表示[210]。
师：0.1表示[110]，0.2表示[210]这就是小数的意义。只不过[110]，[210]是很具体的意义。接着（幻灯片展示）把正方体平分成10份，其中三份涂色，涂色部分表示多少？继续涂下去，说给同桌听听。（板书：0.2表示[210]）
生：三份是0.3，0.3可以表示[310]，0.4表示[410]，0.5表示[510]，0.6表示[610]，0.7表示[710]......
师：我们能不能用一句话把这所有的情况都概括进去？
生：把整数分成10份，取其中的几份就表示零点几。
师：很好。（板书：概括）咱们前面写的0.1表示[110]，0.2表示[210]……这些都是很具体的，刚才这位同学说，把整数分成10份，取其中的几份就表示零点几，是用概括的话语把所有情况都表示出来了。那大家想一想，0.1表示[110]，0.2表示[210]……那么零点几表示什么？
生：零点几就表示十分之几。（板书：零点几就表示十分之几）
师：同学们，咱们由具体的“0.1表示[110]，0.2表示[210]……”，概括为“零点几就表示十分之几”这个过程，叫做抽象。
【赏析】
数学思想指现实世界的空间形式和数量关系反应到人们意识之中，经过思维活动而产生的结果，其覆盖面广、内容繁多，具体的数学思想包括函数方程思想、数形结合思想、分类思想等，数学思想都来源于抽象、推理与建模等。笔者认为，抽象分为两次，第一次抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程，第二次抽象是符号化的过程。刘老师首先让学生用小数表示[13]，学生体会到困难，造成了学生认知上的冲突。为了方便用小数表示分数，学生主动提出“把整数1平均分成10份，100份，1000份……”。刘老师充分贯彻了以学生为本的新课程理念，培养了学生发现问题、解决问题的能力。有了良好的开端，刘老师进一步引导学生体验数学思想的挖掘过程，针对学生回答“涂红色的是多少？表示什么数？”时，总结“0.1表示[110]，这就是小数的意义”，“小数的意义就是小数表示什么”，这句话让学生体会到小数的意义并不是遥不可及的，使抽象的数学概念具体化，有助于学生进一步理解、把握这节课。其次，刘老师通过巧妙设疑，“如何用一句话把0.1表示[110]，0.2表示[210]，0.3表示[310]……这些情况都概括进去？”引导学生总结归纳，进而概括出“零点几就表示十分之几”，并将这个过程称为抽象。学生顿时觉得抽象原来这么简单，自己已经独立完成了抽象这一过程，很有成就感。最后，刘老师为了加深学生们的印象，特意带领学生回顾旧知，并指出诸如“10个苹果，10个和平鸽，10个手指头等，都可以用‘10’来表示，这个过程就是抽象”;学生发现：原来自己早已接触过抽象，只是那时候没有明确提出抽象这个概念而已。刘老师在设计这个环节时，充分利用了“最近发展区”理论，在学生现有的发展水平上，点燃学生的求知热情，慢慢增加难度，逐步引导学生探索新知，学生一步一级台阶往上走，既没有觉得目标很遥远，又没有觉得目标过于简单，缺少挑战性。
二、追溯数学本源，渗透推理思想
师：请一位同学来说说，把整数1平均分成100份，其中的一份是多少？
生：其中一份是0.01，0.01表示[0.110]，不对，应该是[0.1100]，也不是，应该是[1100].
师：你能再完整地说一下吗？
生：0.01表示[1100];0.02表示[2100];0.03表示[3100];0.04表示[4100]……
师：对。那接下来咱们应该怎么抽象呢？
生：零点零几就表示百分之几。
师：（板书：零点零几就表示百分之几）考考大家，0.07表示什么？0.08呢？0.09呢？
生：[7100];[8100];[9100]。
师：0.27表示什么？
生：0.27表示[27100]。
师：对的。但是，同学们，这里有个小小的问题，我们刚才抽象出的结论叫做“零点零几就表示百分之几”，但是0.27不是零点零几，既然要概括，就应该把0.27也包括进去。那又应该怎么说呢？ 生：零点几几就表示百分之几。
师：很好。咱们请这位同学到前面来，把这句话改一改。（零点零几就表示百分之几改为零点几几就表示百分之几）抽象是一种数学思想，数学思想有很多，但并不都是抽象。我们来看看另一个数学思想。（板书：推理）推理是什么？怎么推？由“零点零几表示十分之几，零点几几表示百分之几，”推出一个新的结论，这就叫推理。你能推出什么结论呢？
生：零点几几几就表示千分之几。
师：掌声送给他，咱们又完成了一次新的任务，叫做推理。（板书：零点几几几就表示千分之几）咱们来验证一下“零点几几几就表示千分之几”是否正确，应该将一个正方形分成多少份？
【赏析】
为什么要在数学课堂中渗透数学思想？《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课程标准”）的课程基本理念部分指出，数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。由此，我们可以看出数学思想在数学学习中的重要地位。东北师范大学史宁中教授说过，归纳推理是在抽象的基础上形成的。刘老师在引导学生抽象、概括的基础上，又引导学生进行推理，从“百分之几表示零点几几”到“千分之几表示零点几几几”，不断地给学生增加难度，但是学生在学习的过程中并没有觉得困难，而是学以致用，越推理，学习热情越高涨，这个过程实在是难能可贵。一线教师都知道这节课要渗透数学思想，但是怎么渗透就有点摸不着头脑了。刘老师在这个环节中，知识之间过渡得很好，每一步都是稳扎稳打，学生不仅获取了知识，而且学会了如何去思考，提升了数学素养。这正符合新课程标准所要求的，作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，也要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用;教师不仅要教会学生知识，更要让学生自己学会去思考，学会怎样去处理问题。
三、把好教学脉搏，彰显数学思想的价值
师：你知道哪些计数单位？
生：个、十、百、千、万、十万、百万、千万……
师：这些都是整数的计数单位，小数也有计数单位，它是什么呢？大家请看0.1，0.2，0.3，0.4，0.5……你觉得这些数中，哪一个是最小的？
生：0.1最小。
师：我们称0.1是这些小数的计数单位，也可以说零点几表示十分之几，它的计数单位是十分之一，也就是0.1。同样的，零点几几的计数单位是多少？零点几几几的计数单位是多少？孩子们，你们会推理吗？
生：零点几几的计数单位是百分之一，零点几几几的计数单位是千分之一。
【赏析】
爱因斯坦曾经说过，教育就是忘记了在学校所学的一切之后剩下的东西。在数学教育中，我们希望学生能在生活中用学过的数学思想去思考问题。数学思想是数学文化的核心，而数学文化贯穿数学教育的始终，所以，数学思想领悟得是否透彻对小学生今后解决问题的能力影响很大。刘老师在这节课上，注重让学生在体验中获取知识，培养学生抽象、概括、推理能力，渗透了数学的基本思想，不仅让学生学会了迁移知识，而且学会了数学思想方法;从学生的已有经验出发设计由易到难的问题，循序渐进，既关注了学生的发展水平，又关注了学生的个体差异。
（责编 刘小瑗）
【关键词】小数的意义 数学思想
渗透 赏析
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）11A-0067-02
学生在三年级初步认识了小数，但并没有进行系统的学习。人教版数学四年级下册第四单元第一课时《小数的意义》，在学生原有的知识、经验基础上，帮助学生更好地理解小数的意义和性质，为学生以后学习小数四则运算打好基础。刘德武老师的教学，向我们诠释了什么是数学思想、为什么要在数学课堂中渗透数学思想以及如何在小学数学课堂中渗透数学思想等一直困绕着不少教师的问题。笔者现将刘老师所讲授的课堂内容整理如下，与读者共赏。
一、感悟数学思想，体验抽象过程
师：（幻灯片展示）用一个正方体表示整数1，如果把它平均分成三份，每一份表示多少？
生：[13]或者0.333…
师：看来同学们用小数表示[13]有点困难。那么，把整数1平均分成多少份，才能方便我们用小数表示每一份呢？
生：十份，一百份，一千份……（板书：把“1”平均分成10份）
师：把“1”平均分成10份，就是把一个正方体平均分成10份。如果第一份涂红色、第二份涂黄色，涂红色的是多少？表示什么数？涂色的部分表示什么数？
生：涂红色的是0.1，0.1表示[110];涂色的是0.2，表示[210]。
师：0.1表示[110]，0.2表示[210]这就是小数的意义。只不过[110]，[210]是很具体的意义。接着（幻灯片展示）把正方体平分成10份，其中三份涂色，涂色部分表示多少？继续涂下去，说给同桌听听。（板书：0.2表示[210]）
生：三份是0.3，0.3可以表示[310]，0.4表示[410]，0.5表示[510]，0.6表示[610]，0.7表示[710]......
师：我们能不能用一句话把这所有的情况都概括进去？
生：把整数分成10份，取其中的几份就表示零点几。
师：很好。（板书：概括）咱们前面写的0.1表示[110]，0.2表示[210]……这些都是很具体的，刚才这位同学说，把整数分成10份，取其中的几份就表示零点几，是用概括的话语把所有情况都表示出来了。那大家想一想，0.1表示[110]，0.2表示[210]……那么零点几表示什么？
生：零点几就表示十分之几。（板书：零点几就表示十分之几）
师：同学们，咱们由具体的“0.1表示[110]，0.2表示[210]……”，概括为“零点几就表示十分之几”这个过程，叫做抽象。
【赏析】
数学思想指现实世界的空间形式和数量关系反应到人们意识之中，经过思维活动而产生的结果，其覆盖面广、内容繁多，具体的数学思想包括函数方程思想、数形结合思想、分类思想等，数学思想都来源于抽象、推理与建模等。笔者认为，抽象分为两次，第一次抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程，第二次抽象是符号化的过程。刘老师首先让学生用小数表示[13]，学生体会到困难，造成了学生认知上的冲突。为了方便用小数表示分数，学生主动提出“把整数1平均分成10份，100份，1000份……”。刘老师充分贯彻了以学生为本的新课程理念，培养了学生发现问题、解决问题的能力。有了良好的开端，刘老师进一步引导学生体验数学思想的挖掘过程，针对学生回答“涂红色的是多少？表示什么数？”时，总结“0.1表示[110]，这就是小数的意义”，“小数的意义就是小数表示什么”，这句话让学生体会到小数的意义并不是遥不可及的，使抽象的数学概念具体化，有助于学生进一步理解、把握这节课。其次，刘老师通过巧妙设疑，“如何用一句话把0.1表示[110]，0.2表示[210]，0.3表示[310]……这些情况都概括进去？”引导学生总结归纳，进而概括出“零点几就表示十分之几”，并将这个过程称为抽象。学生顿时觉得抽象原来这么简单，自己已经独立完成了抽象这一过程，很有成就感。最后，刘老师为了加深学生们的印象，特意带领学生回顾旧知，并指出诸如“10个苹果，10个和平鸽，10个手指头等，都可以用‘10’来表示，这个过程就是抽象”;学生发现：原来自己早已接触过抽象，只是那时候没有明确提出抽象这个概念而已。刘老师在设计这个环节时，充分利用了“最近发展区”理论，在学生现有的发展水平上，点燃学生的求知热情，慢慢增加难度，逐步引导学生探索新知，学生一步一级台阶往上走，既没有觉得目标很遥远，又没有觉得目标过于简单，缺少挑战性。
二、追溯数学本源，渗透推理思想
师：请一位同学来说说，把整数1平均分成100份，其中的一份是多少？
生：其中一份是0.01，0.01表示[0.110]，不对，应该是[0.1100]，也不是，应该是[1100].
师：你能再完整地说一下吗？
生：0.01表示[1100];0.02表示[2100];0.03表示[3100];0.04表示[4100]……
师：对。那接下来咱们应该怎么抽象呢？
生：零点零几就表示百分之几。
师：（板书：零点零几就表示百分之几）考考大家，0.07表示什么？0.08呢？0.09呢？
生：[7100];[8100];[9100]。
师：0.27表示什么？
生：0.27表示[27100]。
师：对的。但是，同学们，这里有个小小的问题，我们刚才抽象出的结论叫做“零点零几就表示百分之几”，但是0.27不是零点零几，既然要概括，就应该把0.27也包括进去。那又应该怎么说呢？ 生：零点几几就表示百分之几。
师：很好。咱们请这位同学到前面来，把这句话改一改。（零点零几就表示百分之几改为零点几几就表示百分之几）抽象是一种数学思想，数学思想有很多，但并不都是抽象。我们来看看另一个数学思想。（板书：推理）推理是什么？怎么推？由“零点零几表示十分之几，零点几几表示百分之几，”推出一个新的结论，这就叫推理。你能推出什么结论呢？
生：零点几几几就表示千分之几。
师：掌声送给他，咱们又完成了一次新的任务，叫做推理。（板书：零点几几几就表示千分之几）咱们来验证一下“零点几几几就表示千分之几”是否正确，应该将一个正方形分成多少份？
【赏析】
为什么要在数学课堂中渗透数学思想？《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课程标准”）的课程基本理念部分指出，数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。由此，我们可以看出数学思想在数学学习中的重要地位。东北师范大学史宁中教授说过，归纳推理是在抽象的基础上形成的。刘老师在引导学生抽象、概括的基础上，又引导学生进行推理，从“百分之几表示零点几几”到“千分之几表示零点几几几”，不断地给学生增加难度，但是学生在学习的过程中并没有觉得困难，而是学以致用，越推理，学习热情越高涨，这个过程实在是难能可贵。一线教师都知道这节课要渗透数学思想，但是怎么渗透就有点摸不着头脑了。刘老师在这个环节中，知识之间过渡得很好，每一步都是稳扎稳打，学生不仅获取了知识，而且学会了如何去思考，提升了数学素养。这正符合新课程标准所要求的，作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，也要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用;教师不仅要教会学生知识，更要让学生自己学会去思考，学会怎样去处理问题。
三、把好教学脉搏，彰显数学思想的价值
师：你知道哪些计数单位？
生：个、十、百、千、万、十万、百万、千万……
师：这些都是整数的计数单位，小数也有计数单位，它是什么呢？大家请看0.1，0.2，0.3，0.4，0.5……你觉得这些数中，哪一个是最小的？
生：0.1最小。
师：我们称0.1是这些小数的计数单位，也可以说零点几表示十分之几，它的计数单位是十分之一，也就是0.1。同样的，零点几几的计数单位是多少？零点几几几的计数单位是多少？孩子们，你们会推理吗？
生：零点几几的计数单位是百分之一，零点几几几的计数单位是千分之一。
【赏析】
爱因斯坦曾经说过，教育就是忘记了在学校所学的一切之后剩下的东西。在数学教育中，我们希望学生能在生活中用学过的数学思想去思考问题。数学思想是数学文化的核心，而数学文化贯穿数学教育的始终，所以，数学思想领悟得是否透彻对小学生今后解决问题的能力影响很大。刘老师在这节课上，注重让学生在体验中获取知识，培养学生抽象、概括、推理能力，渗透了数学的基本思想，不仅让学生学会了迁移知识，而且学会了数学思想方法;从学生的已有经验出发设计由易到难的问题，循序渐进，既关注了学生的发展水平，又关注了学生的个体差异。
（责编 刘小瑗）