【摘 要】
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数学题浩如烟海，我们不可能把所有题都做到，与其做很多题，不如把一道题做透，用多种不同的方法解决同一道题，对解题者的思维锻炼效果极佳。下面针对一道不等式问题采用多种不同的方法加以证明，與大家共享。 题目：设a，b，c都是正数，求证： . 证法一：（比较法） 左边 右边= ] 所以原不等式成立. 评注：只需要证明左边 右边 . 证法二：（综合法） 由基本不等式得： ） c， ） a，
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数学题浩如烟海，我们不可能把所有题都做到，与其做很多题，不如把一道题做透，用多种不同的方法解决同一道题，对解题者的思维锻炼效果极佳。下面针对一道不等式问题采用多种不同的方法加以证明，與大家共享。
题目：设a，b，c都是正数，求证： .
证法一：（比较法）
左边 右边= ]
所以原不等式成立.
评注：只需要证明左边 右边 .
证法二：（综合法）
由基本不等式得： ） c，
） a， ） b
三式相加得： . 故原不等式成立.
评注：利用均值不等式 （a>0，b>0）证明.
证法三：（利用柯西不等式证明）
=
两边开方得： . 故原不等式成立.
评注：柯西不等式是经典不等式，其基本形式为：
本题中将待证的不等式左边配方，使之成为柯西不等式的形式，再加以证明.
证法四：（利用排序不等式证明）
式中a，b，c轮换对称，不妨设a ，则有
a ， ，由排序不等式得：
a （顺序和） （乱序和）
化简得： . 故原不等式成立.
评注：排序不等式也是经典不等式，它具有明确的大小顺序（或者大小顺序不明确但具有轮换对称性），且字母个数相同的两列数，在考虑它们对应项乘积之和的大小关系时经常使用，证本题的关键是：发现a，b，c具有轮换对称性，并构造出两列具有明确大小关系的式子，再依据“反序和 乱序和 ”证明.
作者简介
李金莲，女，生于1980年，于2004年毕业于西北师范大学数学系，2008年取得教育硕士学位，现在古浪一中担任数学教学工作，中学一级教师。
（作者单位：甘肃省古浪县第一中学）
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