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摘要：对柯西不等式基本形式、推论作了归纳，然后给出了其推论的应用。
关键词：不等式；应用；柯西不等式
1.引言
柯西不等式[1]是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.它的推论也比较多，本文主要介绍其四个推论及其应用.
2.柯西不等式的推论
2.1柯西不等式的基本形式
柯西不等式已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，则∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n时等号成立.
2.2柯西不等式的推论
下面给出它常见的四个推论.
推论1[2]设a1，a2，…，an是实数，则n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.
推论2[2]设a1，a2，…，an是正实数，则∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.
推论3[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则
∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.
推论4[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则
∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.
3.主要结果
3.1应用推论一
例1已知：x1，x2，…，xn∈R，满足
x1+x2+…+xn=aa>0，且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2，n∈N，
求证：0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
证明由x1+x2+…+xn=a得，a-xn=x1+x2+…+xn-1，由推论一得，
a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n
故（a-xn）2a2-（n-1）x2n，所以0xn2an。
由x1，x2，…，xn的对称性，有0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
3.2应用推论二
例2非零实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=1，求证：
y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1
有最小值并求之。
解a1+a2+…+an=1由，得
a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1
同理可得
a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2
an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.
将上面n个等式相加得：
a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n
=22-a1+22-a2+…+22-an
即
y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai（其中i=1，2，…，n）.
又因为，故由推论二可得
∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.
所以有yn2n-1，等号当且仅当a1=a2=…=an=1n时成立，所以y有最小值n2n-1.
3.3应用推论三
例3求证：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a，b，c为ΔABC的三边。
证明：设x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，
因为a，b，c为ΔABC的三边，所以x>0，y>0，z>0且x+y+z=a+b+c，即
xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。
故
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z
=1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c，
则由推论三得
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c（上转第282页）
（a+b+c）2=a+b+c，
故原不等式得证.
3.4应用推论四
例4已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：a3+b3+c3≥a2+b2+c23
证明：由于正数a，b，c满足a+b+c=1，故由推论四可得：
a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2
≥3·13a+13b+13c2
=3·a+b+c32
=13，
而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2，故由推论四可得
a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2
=a2+b2+c22
=a2+b2+c2a2+b2+c2.
综上所述，a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得证.（作者单位：云南大学数学系）
参考文献：
[1]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学报（自然科学版）.2008，6（6）：59.
[2]蔡玉书.应用柯西不等式证明竞赛中的不等式[J].数学通讯，2010（4）：58.
[3]欧华.柯西不等式的两个推论[J].数学大世界，2002（9）.
关键词：不等式；应用；柯西不等式
1.引言
柯西不等式[1]是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.它的推论也比较多，本文主要介绍其四个推论及其应用.
2.柯西不等式的推论
2.1柯西不等式的基本形式
柯西不等式已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，则∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n时等号成立.
2.2柯西不等式的推论
下面给出它常见的四个推论.
推论1[2]设a1，a2，…，an是实数，则n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.
推论2[2]设a1，a2，…，an是正实数，则∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.
推论3[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则
∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.
推论4[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则
∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.
3.主要结果
3.1应用推论一
例1已知：x1，x2，…，xn∈R，满足
x1+x2+…+xn=aa>0，且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2，n∈N，
求证：0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
证明由x1+x2+…+xn=a得，a-xn=x1+x2+…+xn-1，由推论一得，
a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n
故（a-xn）2a2-（n-1）x2n，所以0xn2an。
由x1，x2，…，xn的对称性，有0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
3.2应用推论二
例2非零实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=1，求证：
y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1
有最小值并求之。
解a1+a2+…+an=1由，得
a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1
同理可得
a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2
an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.
将上面n个等式相加得：
a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n
=22-a1+22-a2+…+22-an
即
y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai（其中i=1，2，…，n）.
又因为，故由推论二可得
∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.
所以有yn2n-1，等号当且仅当a1=a2=…=an=1n时成立，所以y有最小值n2n-1.
3.3应用推论三
例3求证：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a，b，c为ΔABC的三边。
证明：设x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，
因为a，b，c为ΔABC的三边，所以x>0，y>0，z>0且x+y+z=a+b+c，即
xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。
故
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z
=1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c，
则由推论三得
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c（上转第282页）
（a+b+c）2=a+b+c，
故原不等式得证.
3.4应用推论四
例4已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：a3+b3+c3≥a2+b2+c23
证明：由于正数a，b，c满足a+b+c=1，故由推论四可得：
a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2
≥3·13a+13b+13c2
=3·a+b+c32
=13，
而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2，故由推论四可得
a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2
=a2+b2+c22
=a2+b2+c2a2+b2+c2.
综上所述，a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得证.（作者单位：云南大学数学系）
参考文献：
[1]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学报（自然科学版）.2008，6（6）：59.
[2]蔡玉书.应用柯西不等式证明竞赛中的不等式[J].数学通讯，2010（4）：58.
[3]欧华.柯西不等式的两个推论[J].数学大世界，2002（9）.