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一、填空题
1．若1+7i2-i=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则乘积ab的值为.
2．已知集合A=｛x|lg|x|=0｝，B=｛x|12＜2x+1＜4｝,则A∩B=．
3．已知函数f(x)＝6x+7,x＜0,10x,x≥0,则f(0)＋f(－1)＝.
4．[JP3]在等差数列{an}中，a2+a5=19,S5=40，则a10=．
5．若函数f(x)=(1+3tan x)cos x，0≤x＜π2，则f(x)的最大值为．
6．[JP3]在△ABC中,AB=3,AC=1,D为BC的中点，则AD[TX→-*4]•BC[TX→-*4]=．
7．已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠-1a}，则a2+b2+7a-b的最小值．
8．已知单位向量[WTHX]α，β，满足(α＋2β)•(2α－β)＝1，则α与β的夹角的余弦值为．
9．设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点,点A是抛物线与双曲线C2：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．
10．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有下列命题：①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α；②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或lα；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或lβ.则下列命题正确的序号是．
11．已知等差数列{an}满足a2=3,a5=9，若数列{bn}满足b1=3,bn+1=abn,则{bn}的通项公式bn=．
12．设函数f(x)=-x3+bx(b为常数)，若函数f(x)在区间（0，1）上单调递增，且方程f(x)=0的根都在区间[-2,2]内，则b的取值范围是．
13．[JP3]设函数f(x)=xln(ex+1)-12x2+3,x∈[-t,t](t＞0)，若函数f(x)的最大值是M，最小值是m，则M+m=.
14．如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=(12,x,y),且1x+ay≥8恒成立,则正实数a的最小值为.
[TPS5.TIF;X*2,BP]
二、解答题
15．在锐角△ABC中，cos B＋cos (A－C)＝3sin C．
(1)求角A的大小；
(2)当BC＝2时，求△ABC面积的最大值．
16．设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a7＝－2，S5＝30．
(1)求a1及d；
(2)若数列{bn}满足an＝b1+2b2+3b3+…+nbnn(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．
17．直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
[TPS6.TIF;X*2,BP]
18．已知等边三角形的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径．
（1）判断BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；
（2）求BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]的最大值．
[TPS7.TIF;X*2,BP]
19．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2其半焦距为c，圆M的方程为(x-5c3)2+y2=169c2.
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：PF1PF2为定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=1116，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若OQ=313（O为坐标原点），求圆M的方程.
20．已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝13x3－a+12x2＋ax．
(1)当a＝2时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同．
求证：g(x)的极大值小于等于54．
[XC0997.TIF][HT4”L]参考答案
一、填空题
1．－3
2．{-1}
3．2
4．29
5．2
6．－4
7．6
8．13
9．5
10．②
11．2n+1
12．3≤b≤4
13．6
14．1
二、解答题
15．(1)解：因为cos B＋cos (A－C)＝3sin C所以-cos(A＋C)＋cos (A－C)＝3sin C，得
2sin A sin C＝3sin C，故sin A＝32．
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．
(2)解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由题意知a＝2，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc≥bc，
所以△ABC面积＝12bcsin 60°≤3，且当△ABC为等边三角形时取等号，
所以△ABC面积的最大值为．
16．(1)解：由题意可知5a1+5×42d=30,a1+6d=-2,得a1=10,d=-2.
(2)解：由(Ⅰ)得an＝10＋(n－1)(－2)＝12－2n，
所以b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝nan＝n(12－2n)，
当n＝1时，b1＝10，当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝(n－1)[12－2(n－1)]，
[JP3]所以nbn＝n(12－2n)－(n－1)[12－2(n－1)]＝14－4n，
[JP3]故bn＝14n－4．当n＝1时也成立．所以bn＝14n－4(n∈N*)．
17．证明：（1）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC．
又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=2，∠CAB＝45°，∴BC=2，∴BC⊥AC．
又BB1∩BC=B，BB1,BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C．
（2）存在点P，P为A1B1的中点．
证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝12AB．
又∵DC∥AB，DC＝12AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，
∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP．
又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1．同理，DP∥面BCB1．
18．[JP3]解：（1）∵BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=(AP[TX→-*4]-AB[TX→-*4])•(AQ[TX→-*4]-AC[TX→-*4])-(AB[TX→-*4]-AC[TX→-*4])，
=(AP[TX→-*4]-AB[TX→-*4])•(-AP[TX→-*4]-AC[TX→-*4])-AP[TX→-*4]•(AB[TX→-*4]-AC[TX→-*4])=-AP[TX→-*4]2+AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]
∵AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]=|AB[TX→-*4]||AC[TX→-*4]|cos∠ABC=2，AP[TX→-*4]2=|AP[TX→-*4]|2=1，
∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=-AP[TX→-*4]2+AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]=1，即BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的值不会随点P的变化而变化．
（2）[JP3]∵BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=1，∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]=1+AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]．又∵AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=|AP[TX→-*4]||CB[TX→-*4]|cos<AP[TX→-*4],CB[TX→-*4]>，
∴AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]≤|AP[TX→-*4]||CB[TX→-*4]|=2（当且仅当AP[TX→-*4]与CB[TX→-*4]同向时等号成立）．∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]的最大值为3．
19．解：（1）设P(x,y)是圆M上的任意一点，则PF21PF22=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=(x+c)2+169c2-(x-5c3)2(x-c)2+169c2-(x-5c3)2=4.
∴PF1PF2=2（定值）
（2）[JP3]在△F1QF1中，F1F2=2c,点Q在圆上，设QF1=2m,QF2=m,则a=32m,
即m=23a.由4c2=4m2+m2-2•2m•m•cos∠F1QF2,
得4c2=94m2,∴4c2=a2,∴离心率为e=ca=12.
(3)∵2QO[TX→-*4]=QF1[TX→-*4]+QF2[TX→-*4],
4|QO[TX→-*4]|2=|QF1[TX→-*4]|2+|QF2[TX→-*4]|2+2|QF1[TX→-*4]|•|QF2[TX→-*4]|•cos∠F1QF2,
∴4•319=4m2+m2+2•2m•m•1116,解得m2=169,m=43,
∴c=12a=34m=1,所求圆方程为(x-53)2+y2=169.
20．(1)[JP3]解:当a＝2时，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
[HT6SS][BG(!][BHDFG2,FK2*2,K5*2,K3,K4*2,K4,K5*2F]
x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)
[BHDG2]
f′(x)＋0－0＋
[BH]
f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增[BG)F]
所以，f(x)极小值为f(2)＝23．
(2)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
g′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋1x＝(x-1)[3x2+(2b+3)x-1]x．
令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，
(1)当1＜a≤2时，
f(x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，即3a2＋(2b＋3)a－1＝0，即b＝1-3a2-3a2a，
此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b
＝－3＋3a2+3a-12a＝32a-12a-32．
[JP6]由于1＜a≤2，故32a-12a-32≤32×2－14－32＝54．
(2)当0＜a＜1时，
f(x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，
由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，
所以0＜x1＜1，即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－52．
此时g(x)的极大值点x＝x1，
有g(x1)＝x31＋bx21－(2b＋4)x1＋ln x1
＜1＋bx21－(2b＋4)x1＝(x21－2x1)b－4x1＋1 (x21－2x1＜0)
＜－52(x21－2x1)－4x1＋1＝－52x21＋x1＋1
＝－52(x1－15)2＋1＋110
≤1110＜54(0＜x1＜1)．
综上所述，g(x)的极大值小于等于54．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1．若1+7i2-i=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则乘积ab的值为.
2．已知集合A=｛x|lg|x|=0｝，B=｛x|12＜2x+1＜4｝,则A∩B=．
3．已知函数f(x)＝6x+7,x＜0,10x,x≥0,则f(0)＋f(－1)＝.
4．[JP3]在等差数列{an}中，a2+a5=19,S5=40，则a10=．
5．若函数f(x)=(1+3tan x)cos x，0≤x＜π2，则f(x)的最大值为．
6．[JP3]在△ABC中,AB=3,AC=1,D为BC的中点，则AD[TX→-*4]•BC[TX→-*4]=．
7．已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠-1a}，则a2+b2+7a-b的最小值．
8．已知单位向量[WTHX]α，β，满足(α＋2β)•(2α－β)＝1，则α与β的夹角的余弦值为．
9．设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点,点A是抛物线与双曲线C2：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．
10．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有下列命题：①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α；②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或lα；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或lβ.则下列命题正确的序号是．
11．已知等差数列{an}满足a2=3,a5=9，若数列{bn}满足b1=3,bn+1=abn,则{bn}的通项公式bn=．
12．设函数f(x)=-x3+bx(b为常数)，若函数f(x)在区间（0，1）上单调递增，且方程f(x)=0的根都在区间[-2,2]内，则b的取值范围是．
13．[JP3]设函数f(x)=xln(ex+1)-12x2+3,x∈[-t,t](t＞0)，若函数f(x)的最大值是M，最小值是m，则M+m=.
14．如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=(12,x,y),且1x+ay≥8恒成立,则正实数a的最小值为.
[TPS5.TIF;X*2,BP]
二、解答题
15．在锐角△ABC中，cos B＋cos (A－C)＝3sin C．
(1)求角A的大小；
(2)当BC＝2时，求△ABC面积的最大值．
16．设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a7＝－2，S5＝30．
(1)求a1及d；
(2)若数列{bn}满足an＝b1+2b2+3b3+…+nbnn(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．
17．直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
[TPS6.TIF;X*2,BP]
18．已知等边三角形的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径．
（1）判断BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；
（2）求BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]的最大值．
[TPS7.TIF;X*2,BP]
19．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2其半焦距为c，圆M的方程为(x-5c3)2+y2=169c2.
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：PF1PF2为定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=1116，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若OQ=313（O为坐标原点），求圆M的方程.
20．已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝13x3－a+12x2＋ax．
(1)当a＝2时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同．
求证：g(x)的极大值小于等于54．
[XC0997.TIF][HT4”L]参考答案
一、填空题
1．－3
2．{-1}
3．2
4．29
5．2
6．－4
7．6
8．13
9．5
10．②
11．2n+1
12．3≤b≤4
13．6
14．1
二、解答题
15．(1)解：因为cos B＋cos (A－C)＝3sin C所以-cos(A＋C)＋cos (A－C)＝3sin C，得
2sin A sin C＝3sin C，故sin A＝32．
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．
(2)解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由题意知a＝2，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc≥bc，
所以△ABC面积＝12bcsin 60°≤3，且当△ABC为等边三角形时取等号，
所以△ABC面积的最大值为．
16．(1)解：由题意可知5a1+5×42d=30,a1+6d=-2,得a1=10,d=-2.
(2)解：由(Ⅰ)得an＝10＋(n－1)(－2)＝12－2n，
所以b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝nan＝n(12－2n)，
当n＝1时，b1＝10，当n≥2时，b1＋2b2＋3b3＋…＋(n－1)bn－1＝(n－1)[12－2(n－1)]，
[JP3]所以nbn＝n(12－2n)－(n－1)[12－2(n－1)]＝14－4n，
[JP3]故bn＝14n－4．当n＝1时也成立．所以bn＝14n－4(n∈N*)．
17．证明：（1）直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC．
又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=2，∠CAB＝45°，∴BC=2，∴BC⊥AC．
又BB1∩BC=B，BB1,BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C．
（2）存在点P，P为A1B1的中点．
证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝12AB．
又∵DC∥AB，DC＝12AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，
∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP．
又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1．同理，DP∥面BCB1．
18．[JP3]解：（1）∵BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=(AP[TX→-*4]-AB[TX→-*4])•(AQ[TX→-*4]-AC[TX→-*4])-(AB[TX→-*4]-AC[TX→-*4])，
=(AP[TX→-*4]-AB[TX→-*4])•(-AP[TX→-*4]-AC[TX→-*4])-AP[TX→-*4]•(AB[TX→-*4]-AC[TX→-*4])=-AP[TX→-*4]2+AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]
∵AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]=|AB[TX→-*4]||AC[TX→-*4]|cos∠ABC=2，AP[TX→-*4]2=|AP[TX→-*4]|2=1，
∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=-AP[TX→-*4]2+AB[TX→-*4]•AC[TX→-*4]=1，即BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的值不会随点P的变化而变化．
（2）[JP3]∵BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]-AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=1，∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]=1+AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]．又∵AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=|AP[TX→-*4]||CB[TX→-*4]|cos<AP[TX→-*4],CB[TX→-*4]>，
∴AP[TX→-*4]•CB[TX→-*4]≤|AP[TX→-*4]||CB[TX→-*4]|=2（当且仅当AP[TX→-*4]与CB[TX→-*4]同向时等号成立）．∴BP[TX→-*4]•CQ[TX→-*4]的最大值为3．
19．解：（1）设P(x,y)是圆M上的任意一点，则PF21PF22=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=(x+c)2+169c2-(x-5c3)2(x-c)2+169c2-(x-5c3)2=4.
∴PF1PF2=2（定值）
（2）[JP3]在△F1QF1中，F1F2=2c,点Q在圆上，设QF1=2m,QF2=m,则a=32m,
即m=23a.由4c2=4m2+m2-2•2m•m•cos∠F1QF2,
得4c2=94m2,∴4c2=a2,∴离心率为e=ca=12.
(3)∵2QO[TX→-*4]=QF1[TX→-*4]+QF2[TX→-*4],
4|QO[TX→-*4]|2=|QF1[TX→-*4]|2+|QF2[TX→-*4]|2+2|QF1[TX→-*4]|•|QF2[TX→-*4]|•cos∠F1QF2,
∴4•319=4m2+m2+2•2m•m•1116,解得m2=169,m=43,
∴c=12a=34m=1,所求圆方程为(x-53)2+y2=169.
20．(1)[JP3]解:当a＝2时，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：
[HT6SS][BG(!][BHDFG2,FK2*2,K5*2,K3,K4*2,K4,K5*2F]
x(-∞,1)1(1,2)2(2,+∞)
[BHDG2]
f′(x)＋0－0＋
[BH]
f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增[BG)F]
所以，f(x)极小值为f(2)＝23．
(2)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
g′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋1x＝(x-1)[3x2+(2b+3)x-1]x．
令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，
(1)当1＜a≤2时，
f(x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，即3a2＋(2b＋3)a－1＝0，即b＝1-3a2-3a2a，
此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b
＝－3＋3a2+3a-12a＝32a-12a-32．
[JP6]由于1＜a≤2，故32a-12a-32≤32×2－14－32＝54．
(2)当0＜a＜1时，
f(x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，
由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，
所以0＜x1＜1，即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－52．
此时g(x)的极大值点x＝x1，
有g(x1)＝x31＋bx21－(2b＋4)x1＋ln x1
＜1＋bx21－(2b＋4)x1＝(x21－2x1)b－4x1＋1 (x21－2x1＜0)
＜－52(x21－2x1)－4x1＋1＝－52x21＋x1＋1
＝－52(x1－15)2＋1＋110
≤1110＜54(0＜x1＜1)．
综上所述，g(x)的极大值小于等于54．
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