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一、填空题
1．设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}，若P={0,2,5}，Q={1,2,6}，则P+Q中元素的个数为．
2．若命题“x∈R,使得x2+(1-a)x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．
3．若将函数y=sin(ωx+π4)(ω＞0)的图像向右平移π6个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为．
4．若数列{an}满足1an+1-1an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．记数列{1xn}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=．
5．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM[TX→-*4]=16CB[TX→-*4]+23CA[TX→-*4]，则MA[TX→-*4]•MB[TX→-*4]=．
6．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，则f′(0)=．
7．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S6S3=．
8．若椭圆C焦点和顶点分别是双曲线x25-y24=1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．
9．[JP3]如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A，测得A、C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为米。
10．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1、2、3、4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是．
11．关于直线m,n和平面α，β,有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β,α∥β,则m∥n；
②若m∥n,mα,n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β=m，m∥n,则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m,则n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是．
12．设m,n∈Z,已知函数f(x)=log2(-|x|+4)的定义域是[m,n]，值域是[0,2]，若关于x的方程2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=.
13．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切，其中m，n∈N*，0＜|m-n|≤1,若函数f(x)=mx+1-n的零点x0∈(k,k+1)，k∈Z,则k＝．
14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x,y∈R，都有f(x•y)=xf(y)+yf(x)成立．数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*)，且a1=2．则数列的通项公式an=．
二、解答题
15．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a+c)•BC[TX→-*4]•BA[TX→-*4]+c•CA[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=0.
（1）求角B的大小；
（2）若b=23，试求AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的最小值．
16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
17．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
18．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2,t)(t＞0)在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
19．已知f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3。
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若存在x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(xex-2e)成立。
20．已知数列{an}为正常数，其前n项和为Sn,满足（p-1）Sn=p2-an,其中p为正常数，且p≠1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=12-logpan(n∈N*)，求数列{bnbn+1}的前n项和Tn的取值范围；
（3）是否存在正整数M，使得n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、填空题
14．n2n
二、解答题
15．解：（1）因为(2a+c)BC[TX→-*4]•BA[TX→-*4]+cCA[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=0，所以（2a+c）accos B+cabcos C=0，
即(2a+c)cos B+bcos C=0，则(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0。
所以2sin Acos B+sin(C+B)=0，即cos B=-12，所以B=2π3。
（2）因为b2=a2+c2-2accos 2π3，所以12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4，
当且仅当a=c时取等号，此时ac最大值为4。
所以AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=accos 2π3=-12ac≥-2，即AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的最小值为-2。
16．（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.
取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为CD的中点，所以GF∥ED∥BA，GF＝12ED＝BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.
因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．
（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.
又AC=AD，所以AF⊥CD.
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．
17．解：（1）t=5×10050x-100=10x-2，
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费
[JP3]y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）＝125•x•10x-2+100x+30000+60000x-2
＝1250•x-2+2x-2+100(x-2+2)+30000+6000x-2
＝31450+100(x-2)+62500x-2≥31450+2100×62500=36450
当且仅当100(x-2)=62500x-2，即x＝27时，y有最小值36450．
答：略
18．解：（1）由2b=2，得b=1，又由点M在准线上，得a2c=2，
[JP3]故1+c2c=2，∴c=1从而a=2，所以椭圆方程为x22+y2=1.
（2）[JP3]以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0，即(x-1)2+(y-t2)2=t24+1，
[JP3]其圆心为(1,t2),半径r=t24+1，因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=r2-1=t2，
所以|3-2t-5|5=t2，解得t=4，所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
（3）方法一：由平几知：|ON|2=|OK||OM|，直线OM：y=t2x，直线FN：y=-2t(x-1)，
由y=t2xy=-2t(x-1)得xK=4t2+4，∴|ON|2=1+t24xK•1+t24xM=(1+t24)•4t2+4•2=2
所以线段ON的长为定值2.
方法二、设N(x0,y0)，则FN[TX→-*4]=(x0-1,y0),OM[TX→-*4]=(2,t)，
MN[TX→-*4]=(x0-2,y0-t),ON[TX→-*4]=(x0,y0)，
∵FN[TX→-*4]⊥OM[TX→-*4],∴2(x0-1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2.
[JP3]又∵MN[TX→-*4]⊥ON[TX→-*4],∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴x20+y20=2x0+ty0=2
所以，|ON[TX→-*4]|=x20+y20=2为定值.
19．解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2(ln x+1)，令f′(x)=0，得x=1e，
当x∈(0,1e)时，f′(x)＜0；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在x∈(0,1e)上单调递减；在x∈(1e,+∞)上单调递增，故当x=1e时f(x)取最小值为-2e.
（2）存在x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤-x2+ax-3在x∈(0,+∞)能成立，等价于a≥2ln x+x+3x在x∈(0,+∞)能成立；等价于a≥(2ln x+x+3x)min，
记h(x)=2ln x+x+3x,x∈(0,+∞)
则h′(x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2.
[JP3]当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1,+∞)时，h′(x)＞0，
所以当x=1时h(x)取最小值为4，故a≥4.
（3）记f(x)=2(xex-2e)x∈(0,+∞)，则f′(x)=2(1-xex)，
[JP3]当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)＜0，所以当x=1时j(x)取最大值为-2e.
又由（1）知当x=1e时f(x)取最小值为-2e，故对一切x∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(xex-2e)成立。
20．解：（1）由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得a1=p.
同时(p-1)Sn=p2-an,(p-1)Sn+1=p2-an+1,
[JP3]两式作差得(p-1)(Sn+1-Sn)=an-an+1.所以(p-1)an+1=an-an+1,即an+1=1pan,
可见，数列{an}是首项为p,公比为1p的等比数列.an=p(1p)n-1=(1p)n-2.
（2）bn=12-logpp2-n=12-(2-n)=1n,
bnbb+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1
=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1，所以，Tn∈[12,1).
（3）a1a4a7…a3n-2=(1p)-1+2+5…(3n-4)=(1p)n(3n-5)2
a78=(1p)76,由题意，要求(1p)n(3n-5)2＞(1p)76.
①当p＞1时，n(3n-5)2＜76,即3n2-5n-152＜0.
解得-193＜n＜8.符合题意，此时不存在符合题意的M。
②[JP3]当0＜p＜1时，n(3n-5)2＜76，即3n2-5n-152＞0.
解得n＞8,或n＜-193（舍去）.此时存在的符合题意的M=8.
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1．设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}，若P={0,2,5}，Q={1,2,6}，则P+Q中元素的个数为．
2．若命题“x∈R,使得x2+(1-a)x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．
3．若将函数y=sin(ωx+π4)(ω＞0)的图像向右平移π6个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则ω的最小值为．
4．若数列{an}满足1an+1-1an=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列．记数列{1xn}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=．
5．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM[TX→-*4]=16CB[TX→-*4]+23CA[TX→-*4]，则MA[TX→-*4]•MB[TX→-*4]=．
6．等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，则f′(0)=．
7．若Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则S6S3=．
8．若椭圆C焦点和顶点分别是双曲线x25-y24=1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．
9．[JP3]如图，某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC为35米，在地面上有一点A，测得A、C间的距离为91米，从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为45°，则这座电视发射塔的高度CD为米。
10．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1、2、3、4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是．
11．关于直线m,n和平面α，β,有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β,α∥β,则m∥n；
②若m∥n,mα,n⊥β，则α⊥β；
③若α∩β=m，m∥n,则n∥α且n∥β；
④若m⊥n，α∩β=m,则n⊥α或n⊥β.
其中假命题的序号是．
12．设m,n∈Z,已知函数f(x)=log2(-|x|+4)的定义域是[m,n]，值域是[0,2]，若关于x的方程2|1-x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n=.
13．在平面直角坐标系xOy中，设直线y=3x+2m和圆x2+y2=n2相切，其中m，n∈N*，0＜|m-n|≤1,若函数f(x)=mx+1-n的零点x0∈(k,k+1)，k∈Z,则k＝．
14．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x,y∈R，都有f(x•y)=xf(y)+yf(x)成立．数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*)，且a1=2．则数列的通项公式an=．
二、解答题
15．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足(2a+c)•BC[TX→-*4]•BA[TX→-*4]+c•CA[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=0.
（1）求角B的大小；
（2）若b=23，试求AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的最小值．
16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD，DE＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
17．某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．
（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？
（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
18．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2,t)(t＞0)在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
19．已知f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3。
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若存在x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(xex-2e)成立。
20．已知数列{an}为正常数，其前n项和为Sn,满足（p-1）Sn=p2-an,其中p为正常数，且p≠1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=12-logpan(n∈N*)，求数列{bnbn+1}的前n项和Tn的取值范围；
（3）是否存在正整数M，使得n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、填空题
14．n2n
二、解答题
15．解：（1）因为(2a+c)BC[TX→-*4]•BA[TX→-*4]+cCA[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=0，所以（2a+c）accos B+cabcos C=0，
即(2a+c)cos B+bcos C=0，则(2sin A+sin C)cos B+sin Bcos C=0。
所以2sin Acos B+sin(C+B)=0，即cos B=-12，所以B=2π3。
（2）因为b2=a2+c2-2accos 2π3，所以12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4，
当且仅当a=c时取等号，此时ac最大值为4。
所以AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]=accos 2π3=-12ac≥-2，即AB[TX→-*4]•CB[TX→-*4]的最小值为-2。
16．（1）因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.
取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为CD的中点，所以GF∥ED∥BA，GF＝12ED＝BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.
因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE．
（2）因为AB⊥平面ACD，AF平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.
又AC=AD，所以AF⊥CD.
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，即AF⊥平面CDE.因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE．
17．解：（1）t=5×10050x-100=10x-2，
（2）总损失为y，则y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械和装备费＋森林损失费
[JP3]y＝125tx＋100x＋60（500＋100t）＝125•x•10x-2+100x+30000+60000x-2
＝1250•x-2+2x-2+100(x-2+2)+30000+6000x-2
＝31450+100(x-2)+62500x-2≥31450+2100×62500=36450
当且仅当100(x-2)=62500x-2，即x＝27时，y有最小值36450．
答：略
18．解：（1）由2b=2，得b=1，又由点M在准线上，得a2c=2，
[JP3]故1+c2c=2，∴c=1从而a=2，所以椭圆方程为x22+y2=1.
（2）[JP3]以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0，即(x-1)2+(y-t2)2=t24+1，
[JP3]其圆心为(1,t2),半径r=t24+1，因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d=r2-1=t2，
所以|3-2t-5|5=t2，解得t=4，所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
（3）方法一：由平几知：|ON|2=|OK||OM|，直线OM：y=t2x，直线FN：y=-2t(x-1)，
由y=t2xy=-2t(x-1)得xK=4t2+4，∴|ON|2=1+t24xK•1+t24xM=(1+t24)•4t2+4•2=2
所以线段ON的长为定值2.
方法二、设N(x0,y0)，则FN[TX→-*4]=(x0-1,y0),OM[TX→-*4]=(2,t)，
MN[TX→-*4]=(x0-2,y0-t),ON[TX→-*4]=(x0,y0)，
∵FN[TX→-*4]⊥OM[TX→-*4],∴2(x0-1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2.
[JP3]又∵MN[TX→-*4]⊥ON[TX→-*4],∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴x20+y20=2x0+ty0=2
所以，|ON[TX→-*4]|=x20+y20=2为定值.
19．解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2(ln x+1)，令f′(x)=0，得x=1e，
当x∈(0,1e)时，f′(x)＜0；当x∈(1e,+∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在x∈(0,1e)上单调递减；在x∈(1e,+∞)上单调递增，故当x=1e时f(x)取最小值为-2e.
（2）存在x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xln x≤-x2+ax-3在x∈(0,+∞)能成立，等价于a≥2ln x+x+3x在x∈(0,+∞)能成立；等价于a≥(2ln x+x+3x)min，
记h(x)=2ln x+x+3x,x∈(0,+∞)
则h′(x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2.
[JP3]当x∈(0,1)时，h′(x)＜0；当x∈(1,+∞)时，h′(x)＞0，
所以当x=1时h(x)取最小值为4，故a≥4.
（3）记f(x)=2(xex-2e)x∈(0,+∞)，则f′(x)=2(1-xex)，
[JP3]当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)＜0，所以当x=1时j(x)取最大值为-2e.
又由（1）知当x=1e时f(x)取最小值为-2e，故对一切x∈(0,+∞)，都有f(x)＞2(xex-2e)成立。
20．解：（1）由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得a1=p.
同时(p-1)Sn=p2-an,(p-1)Sn+1=p2-an+1,
[JP3]两式作差得(p-1)(Sn+1-Sn)=an-an+1.所以(p-1)an+1=an-an+1,即an+1=1pan,
可见，数列{an}是首项为p,公比为1p的等比数列.an=p(1p)n-1=(1p)n-2.
（2）bn=12-logpp2-n=12-(2-n)=1n,
bnbb+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1
=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1，所以，Tn∈[12,1).
（3）a1a4a7…a3n-2=(1p)-1+2+5…(3n-4)=(1p)n(3n-5)2
a78=(1p)76,由题意，要求(1p)n(3n-5)2＞(1p)76.
①当p＞1时，n(3n-5)2＜76,即3n2-5n-152＜0.
解得-193＜n＜8.符合题意，此时不存在符合题意的M。
②[JP3]当0＜p＜1时，n(3n-5)2＜76，即3n2-5n-152＞0.
解得n＞8,或n＜-193（舍去）.此时存在的符合题意的M=8.
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意.
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