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摘 要：在高等数学有关极限内容中，两个重要极限具有非常重要的地位，关于它们的理论证明亦很完备；本文从函数图形的变化趋势，说明了两个重要极限结论的正确性；函数图形具有直观简洁的特点，这对于初学者于两个重要极限的概念的理解掌握十分有益。通过两个例子，说明了两个重要极限在实际中的应用。关键词：两个重要极限 函数图形 研究应用
1.问题的提出
在高等数学分析中，有关极限的内容中，常见的两个重要极限： 。及 。它们不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石；关于它们的理论证明很多的教科书中都有，这里不在赘述。
大家知道，极限的实质反映的就是函数变量的变化趋势。因此这两个重要极限的过程也即反映了函数的变化过程；而函数变化过程是可以用图形加以反映的， 作为抽样信号（函数），其图形在一般教科书上都有描绘，如图1.1所示。但是对于第
二个重要极限，其函数的图形在一般教科书上都少有见到。它们的图形是怎样的？黄炜主编，高等教育出版社2013年7月第一版，全国高职高专教育规划教材：《高等数学》P15页关于 图形，笔者认为是错误的。下面分析第二个重要极限函数的图形特点。通过图形分析，这给初学者，尤其是对高职学生对两个重要极限的理解掌握会大有益处，使其能得到直观与深刻的印象。
2. 的图形分析
函数作图最基本的方法就是描点作图法。对于 ，其定义域为x≠-1，x≠0；显然 ，因此x=-1为其图形的垂直渐近线；又由于： ，所以曲线过（0，1）点；由罗比达法则易知： ，所以，y=e为其水平渐近线；求 一阶导数y/，令y/=0，解得x≈-0.11，易证：y≈0.79取得极小值；易证：x≈0.4，y≈1.6为拐点；再选取若干点如表1所示。
需要指出的是，当x在（-1，0）内取值时，函数y有时为正，有时可能为虚数，均取绝对值计算。在平面直角坐标系下逐点描绘，对应区间（-1，0）用虚线表示，如图2.1所示。
同理， ，定义域为x≠0，x≠-1；显然， ，因此x=-1也为其垂直渐近线；又 ，所以，y=1为其水平渐近线；由罗比达法则易知： ，即曲线过（0，e）点；再选取若干点如表2所示。
当x在（-∞，-1）内取值时，函数y有时为正，有时可能为虚数，均取绝对值计算。在平面直角坐标系下逐点描绘，对应区间（-∞，-1）用虚线表示，如图2.2所示。由上两图可以看出，两个函数的变化趋势：
3.实际应用
3.1 银行复利问题的计算
假设P0为本金，年利率为r，那么第一年末的利息为P0 r，本利的和为：P1=P0 +r P0= P0（1+r）；第二年末的本利和为：P2= P1 r+ P1= P0（1+r）2；…第n年末的本利和就有：Pn= P0（1+r）n。若每月把利息加入到本金一次，一年分为12次加入利息，那么第一年末的本利的和将是：P1=P0（1+r/12）12；当存款本金为100元，年利率为0.05，则按Pn= P0（1+r）n计算，第一年末的本金加利息的和为105元；若按P1=P0（1+r/12）12计算，第一年末的本金加利息的和为105.12元。显然加入到本金一次的时间间隔越短利息越多。利息会随时间间隔的变小而无限增多吗？假设一年中利息分n次加到本金，则一年末的本利和将是：P1=P0（1+r/n）n；令n=mr，则P1=P0（1+1/m）mr= P0[（1+1/m）m]r；当一年中加息次数n趋于很大很大的时候，上述关系就归结为一个求 的值的问题，其实这就是第二个重要极限，其值是一个常量e。因此，当n趋于无限大后，其利息是不会趋于无穷多的。
3.2 由正多边形计算圆的面积问题
为了求出半径为R的面积，做圆的内接正n边形如图3.1。利用三角形和多边形的面积公式容易计算出半径为R的圆内接正n边形的面积为： ；
直观告诉我们，当n越大时，内接正n边形与圆的差别就越小，An作为圆的面积S的近似值也就越精确，显然n→∞时， 即： 。这即是第一个重要极限的应用。
4.结语
两个重要极限在高等数学极限内容中占有十分重要的地位，它们在实际中也有着广泛的应用；知道了它们的图形，也即了解了函数的变化趋势，这对于初学者尤其是对于高职高专学生对两个重要极限的掌握与理解，具有很大帮助，使之更直观，更深刻。
参考文献：《青岛远洋船员学院学报》李明君：对两个重要极限的再认识和应用， 2000年第4期
作者简介：孔凡东，男，河北徐水人，本科，副教授，主要从事电路理论、高等数学的教学与研究工作。
1.问题的提出
在高等数学分析中，有关极限的内容中，常见的两个重要极限： 。及 。它们不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石；关于它们的理论证明很多的教科书中都有，这里不在赘述。
大家知道，极限的实质反映的就是函数变量的变化趋势。因此这两个重要极限的过程也即反映了函数的变化过程；而函数变化过程是可以用图形加以反映的， 作为抽样信号（函数），其图形在一般教科书上都有描绘，如图1.1所示。但是对于第
二个重要极限，其函数的图形在一般教科书上都少有见到。它们的图形是怎样的？黄炜主编，高等教育出版社2013年7月第一版，全国高职高专教育规划教材：《高等数学》P15页关于 图形，笔者认为是错误的。下面分析第二个重要极限函数的图形特点。通过图形分析，这给初学者，尤其是对高职学生对两个重要极限的理解掌握会大有益处，使其能得到直观与深刻的印象。
2. 的图形分析
函数作图最基本的方法就是描点作图法。对于 ，其定义域为x≠-1，x≠0；显然 ，因此x=-1为其图形的垂直渐近线；又由于： ，所以曲线过（0，1）点；由罗比达法则易知： ，所以，y=e为其水平渐近线；求 一阶导数y/，令y/=0，解得x≈-0.11，易证：y≈0.79取得极小值；易证：x≈0.4，y≈1.6为拐点；再选取若干点如表1所示。
需要指出的是，当x在（-1，0）内取值时，函数y有时为正，有时可能为虚数，均取绝对值计算。在平面直角坐标系下逐点描绘，对应区间（-1，0）用虚线表示，如图2.1所示。
同理， ，定义域为x≠0，x≠-1；显然， ，因此x=-1也为其垂直渐近线；又 ，所以，y=1为其水平渐近线；由罗比达法则易知： ，即曲线过（0，e）点；再选取若干点如表2所示。
当x在（-∞，-1）内取值时，函数y有时为正，有时可能为虚数，均取绝对值计算。在平面直角坐标系下逐点描绘，对应区间（-∞，-1）用虚线表示，如图2.2所示。由上两图可以看出，两个函数的变化趋势：
3.实际应用
3.1 银行复利问题的计算
假设P0为本金，年利率为r，那么第一年末的利息为P0 r，本利的和为：P1=P0 +r P0= P0（1+r）；第二年末的本利和为：P2= P1 r+ P1= P0（1+r）2；…第n年末的本利和就有：Pn= P0（1+r）n。若每月把利息加入到本金一次，一年分为12次加入利息，那么第一年末的本利的和将是：P1=P0（1+r/12）12；当存款本金为100元，年利率为0.05，则按Pn= P0（1+r）n计算，第一年末的本金加利息的和为105元；若按P1=P0（1+r/12）12计算，第一年末的本金加利息的和为105.12元。显然加入到本金一次的时间间隔越短利息越多。利息会随时间间隔的变小而无限增多吗？假设一年中利息分n次加到本金，则一年末的本利和将是：P1=P0（1+r/n）n；令n=mr，则P1=P0（1+1/m）mr= P0[（1+1/m）m]r；当一年中加息次数n趋于很大很大的时候，上述关系就归结为一个求 的值的问题，其实这就是第二个重要极限，其值是一个常量e。因此，当n趋于无限大后，其利息是不会趋于无穷多的。
3.2 由正多边形计算圆的面积问题
为了求出半径为R的面积，做圆的内接正n边形如图3.1。利用三角形和多边形的面积公式容易计算出半径为R的圆内接正n边形的面积为： ；
直观告诉我们，当n越大时，内接正n边形与圆的差别就越小，An作为圆的面积S的近似值也就越精确，显然n→∞时， 即： 。这即是第一个重要极限的应用。
4.结语
两个重要极限在高等数学极限内容中占有十分重要的地位，它们在实际中也有着广泛的应用；知道了它们的图形，也即了解了函数的变化趋势，这对于初学者尤其是对于高职高专学生对两个重要极限的掌握与理解，具有很大帮助，使之更直观，更深刻。
参考文献：《青岛远洋船员学院学报》李明君：对两个重要极限的再认识和应用， 2000年第4期
作者简介：孔凡东，男，河北徐水人，本科，副教授，主要从事电路理论、高等数学的教学与研究工作。