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【摘要】本文用对称性解释了高等数学中的一个常见定积分等式，且从几何体形变的观点给出了这个等式的几何意义，还推广这个等式到更一般的两个新形式，并运用这个一般形式简化较复杂定积分的计算.
【关键词】对称性;定积分;几何意义
【中图分类号】O177.5【文献标识码】A
【基金项目】重庆工商大学教育教学改革研究项目（2019224）
一、引言
我们在解题时利用被积函数在积分区间上具有的某些对称性，往往能够起到化繁为简的作用，甚至能够计算被积函数没有初等原函数的某些定积分.本文关注高等数学中的一个常见等式∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.这个等式一般是用变量代换加以证明的.首先，我们从对称性的角度来推导这个等式.然后通过适当的变形，等式的两边可以分别看作旋转体的体积和柱体的体积，旋转体的体积可用套筒法求得，从而获得这个等式的几何意义.最后给出这个等式更具一般性的新形式，并通过一个例子来说明推广的一般形式在定积分计算中的应用.
二、对称性解释及几何意义
回顾函数奇偶性的几个性质：
1.若函数f（x）定义在区间[0，a]上，且有f（x）=f（a-x），则函数是关于区间中点的偶函数;
2.若有f（x）=-f（a-x），则函数是关于区间中点的奇函数;
3.奇函数乘偶函数是奇函数.
比如，在[0，π]上f（sinx）是关于区间中点的偶函数.由定积分的几何意义可知，若被积函数关于积分区间中点是奇函数，则定积分为0，如图1所示.
图1被积函数关于积分区间中点为奇函数
由f（sinx）在[0，π]上关于区间中点是偶函数，π2-x在[0，π]上关于区间中点是奇函数，可知π2-xf（sinx）在[0，π]上关于区间中点是奇函数，从而由定积分的几何意义可知
∫π0π2-xf（sinx）dx=0，
展开立得[1]
∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.
（1）
（1）式在《微积分》《高等数学》《数学分析》等教材中用来解决被积函数没有初等原函数的某些定积分.在（1）式两边都乘2π，等式变为
∫π02πxf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.
上式的左边可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积（旋转体的体积用套筒法即得），如图2，上式的右邊可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形为底，高为π2的柱体的体积，如图3.
（1）式的几何意义为：图2的旋转体沿着某条半径切开可以展开为如图3的柱体.
三、等式的一般形式及应用
（1）式的结果可以进一步推广：
命题1设f（x）是定义在区间[0，a]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有
∫a0xf（x）dx=a2∫a0f（x）dx.（2）
证明作变换，t=a-x.注意到f（x）是关于区间[0，a]中点的偶函数，从而有f（t）=f（a-t），立得.
更一般地，有：
命题2设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有
∫baxf（x）dx=a b2∫baf（x）dx.（3）
例1求定积分∫0-1xx2 x 1dx.
解一般解法是采用三角代换求解被积函数的原函数.
∫xx2 x 1dx=∫xx 122 34dx，
令x 12=32tant，代入上式可得
∫xx 122 34dx
=34∫32tant-12sec3tdt
=34·32∫tantsec3tdt-34·12∫sec3tdt
=38sec3t-316secttant ∫sectdt
=38sec3t-316secttant ln|sect tant| C，
由x 12=32tant可得
tant=2x 13，sect=2x2 x 13，
代入上式即得
∫xx2 x 1dx=13（x2 x 1）32-
14x 12x2 x 1
34lnx 12 x2 x 1 C，
因此，
∫0-1xx2 x 1dx=-141 34ln3.
利用命题2可简化计算.
另解：由命题2可知
∫0-1xx2 x 1dx=-12∫0-1x2 x 1dx，
令x 12=32tant，代入上式易得
∫x2 x 1dx=34∫sec3tdt
=38[secttant ln|sect tant|] C.
把tant=2x 13，sect=2x2 x 13代入上式即得
∫x2 x 1dx=12x 12x2 x 1
34lnx 12 x2 x 1 C，
同样可得，
∫0-1xx2 x 1dx=-141 34ln3.
另外，若f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，但它关于区间中点不具有奇偶性，但是
f（x） f（a b-x）=g（x）（3）
是一个关于区间中点的偶函数，则易得下面的结论：
命题3设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，f（x） f（a b-x）=g（x）是关于区间中点的偶函数，则有
∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx.（4）
证明令F（x）=f（x）-12g（x），可知
F（x） F（a b-x）
=f（x）-12g（x） f（a b-x）-
12g（a b-x）=f（x） f（a b-x）-
12[g（x）-g（a b-x）]=0.
最后一步由g（x）是关于区间中点的偶函数以及f（x） f（a b-x）=g（x）得到.从而可知F（x）是关于区间中点对称的奇函数，积分即得结论.
例2求∫10xex e1-xdx.
解令f（x）=xex e1-x，易知f（1-x） f（x）=1-xex e1-x xex e1-x=1ex e1-x是关于区间[0，1]中点上的偶函数，从而由（4）式可知
∫10xex e1-xdx=12∫101ex e1-xdx
=12∫10exe2x edx
=12e∫10dexeexe2 1
=12earctane-arctan1e.
四、结论
本文用对称性性质重新推证一个定积分等式.在等式两边同乘2π后等式左右两边可以分别看作是旋转体和柱体的体积，从而获得这个等式的几何意义.我们还导出这个等式的一般形式并运用它来简化某些定积分的计算.
【参考文献】
[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）第二版[M].北京：高等教育出版社.2004.
【关键词】对称性;定积分;几何意义
【中图分类号】O177.5【文献标识码】A
【基金项目】重庆工商大学教育教学改革研究项目（2019224）
一、引言
我们在解题时利用被积函数在积分区间上具有的某些对称性，往往能够起到化繁为简的作用，甚至能够计算被积函数没有初等原函数的某些定积分.本文关注高等数学中的一个常见等式∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.这个等式一般是用变量代换加以证明的.首先，我们从对称性的角度来推导这个等式.然后通过适当的变形，等式的两边可以分别看作旋转体的体积和柱体的体积，旋转体的体积可用套筒法求得，从而获得这个等式的几何意义.最后给出这个等式更具一般性的新形式，并通过一个例子来说明推广的一般形式在定积分计算中的应用.
二、对称性解释及几何意义
回顾函数奇偶性的几个性质：
1.若函数f（x）定义在区间[0，a]上，且有f（x）=f（a-x），则函数是关于区间中点的偶函数;
2.若有f（x）=-f（a-x），则函数是关于区间中点的奇函数;
3.奇函数乘偶函数是奇函数.
比如，在[0，π]上f（sinx）是关于区间中点的偶函数.由定积分的几何意义可知，若被积函数关于积分区间中点是奇函数，则定积分为0，如图1所示.
图1被积函数关于积分区间中点为奇函数
由f（sinx）在[0，π]上关于区间中点是偶函数，π2-x在[0，π]上关于区间中点是奇函数，可知π2-xf（sinx）在[0，π]上关于区间中点是奇函数，从而由定积分的几何意义可知
∫π0π2-xf（sinx）dx=0，
展开立得[1]
∫π0xf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.
（1）
（1）式在《微积分》《高等数学》《数学分析》等教材中用来解决被积函数没有初等原函数的某些定积分.在（1）式两边都乘2π，等式变为
∫π02πxf（sinx）dx=π2∫π0f（sinx）dx.
上式的左边可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积（旋转体的体积用套筒法即得），如图2，上式的右邊可以看作是以直线x=0，x=π，曲线y=f（sinx）以及x轴围成的平面图形为底，高为π2的柱体的体积，如图3.
（1）式的几何意义为：图2的旋转体沿着某条半径切开可以展开为如图3的柱体.
三、等式的一般形式及应用
（1）式的结果可以进一步推广：
命题1设f（x）是定义在区间[0，a]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有
∫a0xf（x）dx=a2∫a0f（x）dx.（2）
证明作变换，t=a-x.注意到f（x）是关于区间[0，a]中点的偶函数，从而有f（t）=f（a-t），立得.
更一般地，有：
命题2设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，且是关于区间中点的偶函数，则有
∫baxf（x）dx=a b2∫baf（x）dx.（3）
例1求定积分∫0-1xx2 x 1dx.
解一般解法是采用三角代换求解被积函数的原函数.
∫xx2 x 1dx=∫xx 122 34dx，
令x 12=32tant，代入上式可得
∫xx 122 34dx
=34∫32tant-12sec3tdt
=34·32∫tantsec3tdt-34·12∫sec3tdt
=38sec3t-316secttant ∫sectdt
=38sec3t-316secttant ln|sect tant| C，
由x 12=32tant可得
tant=2x 13，sect=2x2 x 13，
代入上式即得
∫xx2 x 1dx=13（x2 x 1）32-
14x 12x2 x 1
34lnx 12 x2 x 1 C，
因此，
∫0-1xx2 x 1dx=-141 34ln3.
利用命题2可简化计算.
另解：由命题2可知
∫0-1xx2 x 1dx=-12∫0-1x2 x 1dx，
令x 12=32tant，代入上式易得
∫x2 x 1dx=34∫sec3tdt
=38[secttant ln|sect tant|] C.
把tant=2x 13，sect=2x2 x 13代入上式即得
∫x2 x 1dx=12x 12x2 x 1
34lnx 12 x2 x 1 C，
同样可得，
∫0-1xx2 x 1dx=-141 34ln3.
另外，若f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，但它关于区间中点不具有奇偶性，但是
f（x） f（a b-x）=g（x）（3）
是一个关于区间中点的偶函数，则易得下面的结论：
命题3设f（x）是定义在区间[a，b]上的可积函数，f（x） f（a b-x）=g（x）是关于区间中点的偶函数，则有
∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx.（4）
证明令F（x）=f（x）-12g（x），可知
F（x） F（a b-x）
=f（x）-12g（x） f（a b-x）-
12g（a b-x）=f（x） f（a b-x）-
12[g（x）-g（a b-x）]=0.
最后一步由g（x）是关于区间中点的偶函数以及f（x） f（a b-x）=g（x）得到.从而可知F（x）是关于区间中点对称的奇函数，积分即得结论.
例2求∫10xex e1-xdx.
解令f（x）=xex e1-x，易知f（1-x） f（x）=1-xex e1-x xex e1-x=1ex e1-x是关于区间[0，1]中点上的偶函数，从而由（4）式可知
∫10xex e1-xdx=12∫101ex e1-xdx
=12∫10exe2x edx
=12e∫10dexeexe2 1
=12earctane-arctan1e.
四、结论
本文用对称性性质重新推证一个定积分等式.在等式两边同乘2π后等式左右两边可以分别看作是旋转体和柱体的体积，从而获得这个等式的几何意义.我们还导出这个等式的一般形式并运用它来简化某些定积分的计算.
【参考文献】
[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）第二版[M].北京：高等教育出版社.2004.