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摘 要：本文记录了在一节《函数的概念》教学中，如何体现学生主体性的多样化学习方式，整个教学过程以问题为载体，让学生经历了函数概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构．
关键词：函数；集合；变量；对应
函数是中学数学的主要内容之一，函数思想作为基本的数学思想，贯穿于中学数学教学的始终．那么，我们应该怎样从函数概念的重要性的角度重视此概念的教学，在具体的教学过程中又该如何实施对函数概念的教学?笔者于教学中进行了一些思考和实践，在此谈谈心得．
创设问题——激发学生主动学习兴趣
问题1 初中我们学习过哪些函数？请列举说明．
学生：一次函数、二次函数、反比例函数……
教师：我们列举出具体的函数，（板书），y=x+1，y=x2，y=■
教师：观察这三个具体的函数，它们各自含有几个变量？
学生：两个．
教师：如果给定x=1，那么y的值能确定吗？
学生：能，而且是唯一的．
教师：也就是说，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应． 这就是初中我们学习的函数的定义． （PPT给出初中函数的定义）在这个定义中，你能告诉大家“关键字”有哪些吗？（右侧板书）
学生：两个变量x和y；每一个值；唯一的值．
设计意图：从学生最近发展区出发，让学生回忆初中的函数概念，使其体会到用解析式刻画变量之间的对应关系，把握内涵．
确定问题——引导学生主动观察思考
教师：事物总是运动变化着的，我们可以感觉到它们的变化：
早晨，太阳从东方冉冉升起；
气温随时间在悄悄改变；
我国的人口随时间的变化而变化；
……
实例1 表1给出的是我国1949~1999年的人口数据表（单位：十万）：
教师：你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
学生：通过表格体现了我国人口随年份的变化而变化，对于每一个年份，都会有唯一的人口数与之对应．
教师：根据我们初中学习的函数的定义，这些实际问题都涉及一个函数． 上一章，我们学习了《集合》，你能用集合的语言来刻画两个变量之间的关系吗？
学生：年份数组成集合A，人口数组成集合B，1949对应到542，1954对应到603，……也就是对于A中的每一个值，B中都有唯一的元素与之对应．
教师：很好！我们继续看两个实例．
实例2 一物体从静止开始从490 m的高空下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2．
教师：你能得出物体下落5秒、10秒、20秒时的距离吗？其中时间x的变化范围是什么？物体下落的距离y的变化范围是什么？
学生：物体下落时间x的变化范围是数集 A=｛x0≤x≤100｝，下落的距离y的变化范围是数集B=｛y0≤y≤490｝．
教师：A与B之间有关系吗？
学生：我觉得应该有一种对应关系．
教师：对！从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间x按照对应关系y=4.9x2，在数集B中是否都有唯一确定的下落距离y和它对应．
学生：是！
实例3 图1为某市一天24小时的气温变化图：
教师：时间t与气温θ的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这种关系？
……
设计意图：在这里精选与本节课主题密切相关的三个实际问题，通过集合的观点直接引出函数的定义，这就给学生创造了主动观察思考的条件和空间，充分体现运用教材的新课程理念． 教师主要引导和组织学生观察和思考，不仅让学生分别体会到了用表格刻画变量之间的对应关系、用解析式刻画变量之间的对应关系和用图象刻画变量之间的对应关系，初步感知了函数中蕴涵着集合与对应关系的属性，而且激活了学生的思维，调动了学习的主动性．
提炼问题——引导学生主动合作交流
问题2 如何用集合语言阐述上述3个实例中两个变量之间的关系？
（学生活动：先让学生自主探究，再分小组讨论交流）
学生1：每个问题均涉及两个非空数集A、B．
学生2：存在某种对应法则，对于A中的任意元素x，B中总有一个元素y与之对应．
问题3：你能用集合与对应的语言来刻画函数的概念吗？
（首先让学生尝试归纳，然后师生共同概括）
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为
y=f（ｘ），x∈A
其中，所有的输入值x叫自变量，集合A叫做函数y=f（ｘ）的定义域． 集合｛ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ｝叫函数ｙ＝ｆ（ｘ）的值域．
设计意图：能否用集合与对应的语言来刻画函数的概念是学生能否从集合的观点理解函数的关键，在这里笔者为学生创设了先自主探究，再分小组讨论、交流的学习情境，既有效地化解了学习的难点，又调动了全体学生学习的主动性；使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解，真正成为知识的意义建构者，而且进一步体会到数形结合的方法，从而丰富了解决数学问题的经验和方法．
延伸问题——引导学生主动尝试归纳
问题4 在函数的定义中，你认为哪些是关键点？怎样理解这个概念呢？
学生：在函数的定义中有下面三个要点：
（1）函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；
（2）集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性；
（3）值域由定义域和对应关系唯一确定．
设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，以达到抓住本质的要求．同时，指出函数的要素为定义域、对应关系、值域． 对于一个函数，当定义域和对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相同的等价条件是定义域以及对应关系相同．
反思整堂课，在新课标的指引下，首先是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台，通过这个平台，不但激发了学习主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原来单一的、被动的学习行为，构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式，充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者，学生是活动的主体的现代教学理念．其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳，概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解，让学生经历了函数概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构．
关键词：函数；集合；变量；对应
函数是中学数学的主要内容之一，函数思想作为基本的数学思想，贯穿于中学数学教学的始终．那么，我们应该怎样从函数概念的重要性的角度重视此概念的教学，在具体的教学过程中又该如何实施对函数概念的教学?笔者于教学中进行了一些思考和实践，在此谈谈心得．
创设问题——激发学生主动学习兴趣
问题1 初中我们学习过哪些函数？请列举说明．
学生：一次函数、二次函数、反比例函数……
教师：我们列举出具体的函数，（板书），y=x+1，y=x2，y=■
教师：观察这三个具体的函数，它们各自含有几个变量？
学生：两个．
教师：如果给定x=1，那么y的值能确定吗？
学生：能，而且是唯一的．
教师：也就是说，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应． 这就是初中我们学习的函数的定义． （PPT给出初中函数的定义）在这个定义中，你能告诉大家“关键字”有哪些吗？（右侧板书）
学生：两个变量x和y；每一个值；唯一的值．
设计意图：从学生最近发展区出发，让学生回忆初中的函数概念，使其体会到用解析式刻画变量之间的对应关系，把握内涵．
确定问题——引导学生主动观察思考
教师：事物总是运动变化着的，我们可以感觉到它们的变化：
早晨，太阳从东方冉冉升起；
气温随时间在悄悄改变；
我国的人口随时间的变化而变化；
……
实例1 表1给出的是我国1949~1999年的人口数据表（单位：十万）：
教师：你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？
学生：通过表格体现了我国人口随年份的变化而变化，对于每一个年份，都会有唯一的人口数与之对应．
教师：根据我们初中学习的函数的定义，这些实际问题都涉及一个函数． 上一章，我们学习了《集合》，你能用集合的语言来刻画两个变量之间的关系吗？
学生：年份数组成集合A，人口数组成集合B，1949对应到542，1954对应到603，……也就是对于A中的每一个值，B中都有唯一的元素与之对应．
教师：很好！我们继续看两个实例．
实例2 一物体从静止开始从490 m的高空下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2．
教师：你能得出物体下落5秒、10秒、20秒时的距离吗？其中时间x的变化范围是什么？物体下落的距离y的变化范围是什么？
学生：物体下落时间x的变化范围是数集 A=｛x0≤x≤100｝，下落的距离y的变化范围是数集B=｛y0≤y≤490｝．
教师：A与B之间有关系吗？
学生：我觉得应该有一种对应关系．
教师：对！从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间x按照对应关系y=4.9x2，在数集B中是否都有唯一确定的下落距离y和它对应．
学生：是！
实例3 图1为某市一天24小时的气温变化图：
教师：时间t与气温θ的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这种关系？
……
设计意图：在这里精选与本节课主题密切相关的三个实际问题，通过集合的观点直接引出函数的定义，这就给学生创造了主动观察思考的条件和空间，充分体现运用教材的新课程理念． 教师主要引导和组织学生观察和思考，不仅让学生分别体会到了用表格刻画变量之间的对应关系、用解析式刻画变量之间的对应关系和用图象刻画变量之间的对应关系，初步感知了函数中蕴涵着集合与对应关系的属性，而且激活了学生的思维，调动了学习的主动性．
提炼问题——引导学生主动合作交流
问题2 如何用集合语言阐述上述3个实例中两个变量之间的关系？
（学生活动：先让学生自主探究，再分小组讨论交流）
学生1：每个问题均涉及两个非空数集A、B．
学生2：存在某种对应法则，对于A中的任意元素x，B中总有一个元素y与之对应．
问题3：你能用集合与对应的语言来刻画函数的概念吗？
（首先让学生尝试归纳，然后师生共同概括）
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为
y=f（ｘ），x∈A
其中，所有的输入值x叫自变量，集合A叫做函数y=f（ｘ）的定义域． 集合｛ｆ（ｘ）ｘ∈Ａ｝叫函数ｙ＝ｆ（ｘ）的值域．
设计意图：能否用集合与对应的语言来刻画函数的概念是学生能否从集合的观点理解函数的关键，在这里笔者为学生创设了先自主探究，再分小组讨论、交流的学习情境，既有效地化解了学习的难点，又调动了全体学生学习的主动性；使学生深化了对函数概念中的集合与对应关系的理解，真正成为知识的意义建构者，而且进一步体会到数形结合的方法，从而丰富了解决数学问题的经验和方法．
延伸问题——引导学生主动尝试归纳
问题4 在函数的定义中，你认为哪些是关键点？怎样理解这个概念呢？
学生：在函数的定义中有下面三个要点：
（1）函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；
（2）集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性；
（3）值域由定义域和对应关系唯一确定．
设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，以达到抓住本质的要求．同时，指出函数的要素为定义域、对应关系、值域． 对于一个函数，当定义域和对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相同的等价条件是定义域以及对应关系相同．
反思整堂课，在新课标的指引下，首先是教师扮演着组织、引导和与学生合作的角色，注重为学生搭建自主探究、讨论、交流的平台，通过这个平台，不但激发了学习主体的探索精神和创造力，而且有效地促进了学习方式的转变，改变了原来单一的、被动的学习行为，构建了旨在发挥学生主体性的多样化学习方式，充分体现了教师是学生学习的组织者、引导者、促进者和合作者，学生是活动的主体的现代教学理念．其次是整个教学过程以问题为载体，紧紧围绕函数概念的本质引导学生分析、探究、归纳，概括出用集合与对应的观点描述函数的定义和深化对函数概念的理解，让学生经历了函数概念形成的四个阶段：感知认识阶段、分析本质属性阶段、概括形成定义阶段、应用与强化阶段，有效地实现了学生对函数概念和本质的意义建构．