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摘 要：概念是高等数学学习的基石，但是学生对概念的理解水平较低。本文介绍了概念意象的定义和特征，论述了高等数学教学中，利用数学模型建立概念意象、消除错误和解决实际问题，从而掌握概念。
关键词：概念意象 数学模型 高等数学概念
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-02
高等数学中的极限、导数与积分等概念属于高等层次的数学概念，具有高度的抽象性、逻辑的严密性和表征的复杂性等特征，使得学生难以掌握这些概念。
数学模型是对一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。[1]运用数学模型可以描述实际问题，借助数学的方法求解模型，结合背景知识可以解释或回答实际的问题。随着科学技术的发展，数学模型已经渗透到各个领域，发挥着重要的作用。在数学教学中，数学模型对概念的形成也具有促进作用。
本文根据Vinner提出的概念意向，提出了基于数学模型进行概念教学，使用数学模型建立、强化概念意象，并使用概念意象解决实际问题，从而完整掌握概念。
1 当前高等数学概念教学的问题解析
当前我国高等数学概念教学存在以下问题：
（1）教学以逻辑结构代替认知结构。错误认为“布置给学生认知任务时，学生会使用概念定义，因此无需给他们大量不同的例子”，但是，Vinner的研究指出这种想法是错误的。[2]在解决问题时概念定义往往不起任何作用。学生不了解概念定义也能在考试中得到好成绩。
（2）我国学生对高等数学概念的掌握也不高。秦德生对高三，大一和大四的学生进行了导数理解的实证研究表明，学生对极限思想理解水平较低，达到最高E级水平的大一学生仅占总体的39%，对导数的物理意义，形式化意义理解水平也较低。[3]
（3）应用概念解决实际问题的水平较低。如何让学生掌握概念是高等数学教学中的一个难题。
2 概念意象的研究
学生对概念的理解与书本上的定义往往是不同的。为研究知识的内部表征和加工方式，人们提出了意象。Shepard认为意象的实质是一种类比表征，即内部表征的机能联系与外部客体的结构联系是相似的。[4] 1981年Vinner提出“概念意象”以与书本上的“概念定义”做出区分，“用概念意象描述与概念有关的整个认知结构，包括所有的智力图形和相关的性质、过程……概念定义是用来特别说明概念的一种词语形式”。[5] 概念意象是概念的内部表征，是一种非语言的思维形式，具有不断变化、不精确且容易歪曲的特点。
在概念形成与理解的过程中，概念意象起着至关重要的作用。Tall、Rasslan、Giraldo、Rosken等人在研究导数、切线、定积分等概念的过程中揭示在多数情况下，学生不是用概念定义，而是用概念意象思考问题。[5-6]
3 基于數学模型的概念意向教学
现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。曹翰才认为：数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。[7]
数学概念的学习过程也是一个概念意象逐步强化完善的过程。学习者根据自己的经验与理解通过初步学习形成概念意象。然后，通过运用逐步消除其中的错误，建立概念之间的联系，即形成概念域和概念系，完整的掌握概念。
3.1 利用数学模型建立概念意象
罗奇（Rosch）认为，概念主要是以原型即它的最佳实例表征出来的，人们主要是从能够最好地说明一个概念的实例来理解概念。[8]学生在建立求解简单的数学模型过程中，运用辨别、抽象、概括等心理过程，通过对问题的分析，了解概念的产生背景、前提条件和思想方法等， 以概念形成和概念同化的方式，可以更好的建立概念意向。
例如导数概念与变化率密切相关，可以用变速直线运动的瞬时速度问题通过以下步骤引入导数概念。
（1）分析了解问题背景，即求瞬时速度的必要性.（2）通过抽象、联想等心理活动，将瞬时速度与平均速度建立联系，确定计算物体在区间 上的平均速度：
（3）通过对比、辨别等方式引入极限的思想，令此区间宽度 ，从而得到物体在 时刻的瞬时速度：
（4）运用抽象概括等将瞬时速度问题与瞬时变化率联系起来。结合几何直观解释，引出导数概念。在此过程中，学生建立起导数的概念意象，将导数和瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率等结合考虑。
3.2 利用数学模型消除学生在概念理解上的认知错误。
数学模型是概念在头脑中的内部表征，受到具体例子的影响，容易将例子的特性当作概念的属性，因此概念意向往往是片面的、不完整的。
例如，在传统教材中使用平面图形面积问题引入定积分定义，学生常错误的认为定积分 就表示由直线 ， ， 轴和曲线 所围成的平面图形的面积，而忽视了被积函数必须大于或者等于零这个限制条件，也容易忽视概念的本质。
数学模型通过不同的例子使学生从多角度、多层面思考，并用不断的刺激使新的概念与原有的概念意象发生冲突，从而引起反思，纠正之前的错误概念意象。
经济学中的连续收入流的现值问题需要使用定积分概念。一些大公司的付款可以看成是连续的，其收益可以用连续的收入流表示。假设某公司收入流的变化率为 元/年。采用连续复利，年利率为 ，则M年后的现值可以用定积分表示。
从而将连续收入流的现值表示成和的极限的形式，即用定积分来表示。这一过程体现了定积分定义中的分割、近似、求和与取极限四个步骤，强化了学生对定积分本质的理解与运用，纠正学生简单的用面积来解释定积分。 3.3 利用数学模型提高学生应用概念解决实际问题的能力
有一种思想认为学生在解决问题时只用概念定义，因而无需给学生讲解大量的例子。但是Vinner指出，这种想法是没有任何根据的。[1]
在概念意象阶段，学生能判定一个具体的事例是否属于这个概念，但是学生对概念的理解水平仍不高，处于形象思维的阶段。
数学模型通过较多的例子使学生产生足够的概念意象，帮助学生在解决实际问题过程中，将原始条件进行符号化，并与相关的概念定义、概念意象进行重组和加工，将各个独立的概念、性质联系起来，最终形成概念域和概念系，以适应实际问题的需要，从而完整的掌握概念。
在学习了高等数学的内容后，学生建立了导数、微分、积分和微分方程等的概念意向，达到了符号化的水平。但是掌握的是独立概念，仍不足以使用基本概念解决实际问题。例如在人口增长模型或者传染病模型中，我们虽然已经有了导数的定义，但是我们并不是直接使用导数定义建立模型，而是根据导数的意义建立模型，这就需要了解导数的概念、意义和相关的性质。在分析求解驗证模型过程中，学生将导数、积分、微分方程、极限等概念及其性质连接起来，形成概念域和概念系。经历这一过程，学生能更加深刻的理解概念，达到应用概念解决问题的水平。
概念的内部存储和表征并不等同于知识的逻辑体系。本文从概念意象的角度，论述了数学模型在高等数学教学中，建立概念意象、消除错误概念意象和综合运用概念解决问题阶段的重要作用。由于概念表征的复杂性，概念意象形成的细节仍需要进一步研究。
参考文献
[1] 颜文勇.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2011：6.
[2] Shlomo VINNER.Concept definition， concept image and the notion of function[J].The international journal of mathematical education in science and technology，1983，14（3）：293-305.
[3] 秦德生.学生对导数的理解水平及其发展规律研究[D].长春：东北师范大学，2007.
[4] 李善良.关于概念意象的研究[J].数学教育学报，2004，13（3）：13-15.
[5] David TALL，Shlomo VINNER.Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity[J].Educational studies in mathematics，1981，12（2）：151-169.
[6] Rasslan S，Tall D.Definitions and images for the definite integral concept[M].Proceedings of the 26th conderence PME.Norwich：PME，2002：89-96.
[7] 武锡环，连四清，宋宏伟.学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响[J].数学教育学报，2009，18（1）：31-33.
[8] 喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2012：233-234.
关键词：概念意象 数学模型 高等数学概念
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）01（b）-0000-02
高等数学中的极限、导数与积分等概念属于高等层次的数学概念，具有高度的抽象性、逻辑的严密性和表征的复杂性等特征，使得学生难以掌握这些概念。
数学模型是对一个实际问题，按照其内在规律做出一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。[1]运用数学模型可以描述实际问题，借助数学的方法求解模型，结合背景知识可以解释或回答实际的问题。随着科学技术的发展，数学模型已经渗透到各个领域，发挥着重要的作用。在数学教学中，数学模型对概念的形成也具有促进作用。
本文根据Vinner提出的概念意向，提出了基于数学模型进行概念教学，使用数学模型建立、强化概念意象，并使用概念意象解决实际问题，从而完整掌握概念。
1 当前高等数学概念教学的问题解析
当前我国高等数学概念教学存在以下问题：
（1）教学以逻辑结构代替认知结构。错误认为“布置给学生认知任务时，学生会使用概念定义，因此无需给他们大量不同的例子”，但是，Vinner的研究指出这种想法是错误的。[2]在解决问题时概念定义往往不起任何作用。学生不了解概念定义也能在考试中得到好成绩。
（2）我国学生对高等数学概念的掌握也不高。秦德生对高三，大一和大四的学生进行了导数理解的实证研究表明，学生对极限思想理解水平较低，达到最高E级水平的大一学生仅占总体的39%，对导数的物理意义，形式化意义理解水平也较低。[3]
（3）应用概念解决实际问题的水平较低。如何让学生掌握概念是高等数学教学中的一个难题。
2 概念意象的研究
学生对概念的理解与书本上的定义往往是不同的。为研究知识的内部表征和加工方式，人们提出了意象。Shepard认为意象的实质是一种类比表征，即内部表征的机能联系与外部客体的结构联系是相似的。[4] 1981年Vinner提出“概念意象”以与书本上的“概念定义”做出区分，“用概念意象描述与概念有关的整个认知结构，包括所有的智力图形和相关的性质、过程……概念定义是用来特别说明概念的一种词语形式”。[5] 概念意象是概念的内部表征，是一种非语言的思维形式，具有不断变化、不精确且容易歪曲的特点。
在概念形成与理解的过程中，概念意象起着至关重要的作用。Tall、Rasslan、Giraldo、Rosken等人在研究导数、切线、定积分等概念的过程中揭示在多数情况下，学生不是用概念定义，而是用概念意象思考问题。[5-6]
3 基于數学模型的概念意向教学
现代学习理论表明，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。曹翰才认为：数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。[7]
数学概念的学习过程也是一个概念意象逐步强化完善的过程。学习者根据自己的经验与理解通过初步学习形成概念意象。然后，通过运用逐步消除其中的错误，建立概念之间的联系，即形成概念域和概念系，完整的掌握概念。
3.1 利用数学模型建立概念意象
罗奇（Rosch）认为，概念主要是以原型即它的最佳实例表征出来的，人们主要是从能够最好地说明一个概念的实例来理解概念。[8]学生在建立求解简单的数学模型过程中，运用辨别、抽象、概括等心理过程，通过对问题的分析，了解概念的产生背景、前提条件和思想方法等， 以概念形成和概念同化的方式，可以更好的建立概念意向。
例如导数概念与变化率密切相关，可以用变速直线运动的瞬时速度问题通过以下步骤引入导数概念。
（1）分析了解问题背景，即求瞬时速度的必要性.（2）通过抽象、联想等心理活动，将瞬时速度与平均速度建立联系，确定计算物体在区间 上的平均速度：
（3）通过对比、辨别等方式引入极限的思想，令此区间宽度 ，从而得到物体在 时刻的瞬时速度：
（4）运用抽象概括等将瞬时速度问题与瞬时变化率联系起来。结合几何直观解释，引出导数概念。在此过程中，学生建立起导数的概念意象，将导数和瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率等结合考虑。
3.2 利用数学模型消除学生在概念理解上的认知错误。
数学模型是概念在头脑中的内部表征，受到具体例子的影响，容易将例子的特性当作概念的属性，因此概念意向往往是片面的、不完整的。
例如，在传统教材中使用平面图形面积问题引入定积分定义，学生常错误的认为定积分 就表示由直线 ， ， 轴和曲线 所围成的平面图形的面积，而忽视了被积函数必须大于或者等于零这个限制条件，也容易忽视概念的本质。
数学模型通过不同的例子使学生从多角度、多层面思考，并用不断的刺激使新的概念与原有的概念意象发生冲突，从而引起反思，纠正之前的错误概念意象。
经济学中的连续收入流的现值问题需要使用定积分概念。一些大公司的付款可以看成是连续的，其收益可以用连续的收入流表示。假设某公司收入流的变化率为 元/年。采用连续复利，年利率为 ，则M年后的现值可以用定积分表示。
从而将连续收入流的现值表示成和的极限的形式，即用定积分来表示。这一过程体现了定积分定义中的分割、近似、求和与取极限四个步骤，强化了学生对定积分本质的理解与运用，纠正学生简单的用面积来解释定积分。 3.3 利用数学模型提高学生应用概念解决实际问题的能力
有一种思想认为学生在解决问题时只用概念定义，因而无需给学生讲解大量的例子。但是Vinner指出，这种想法是没有任何根据的。[1]
在概念意象阶段，学生能判定一个具体的事例是否属于这个概念，但是学生对概念的理解水平仍不高，处于形象思维的阶段。
数学模型通过较多的例子使学生产生足够的概念意象，帮助学生在解决实际问题过程中，将原始条件进行符号化，并与相关的概念定义、概念意象进行重组和加工，将各个独立的概念、性质联系起来，最终形成概念域和概念系，以适应实际问题的需要，从而完整的掌握概念。
在学习了高等数学的内容后，学生建立了导数、微分、积分和微分方程等的概念意向，达到了符号化的水平。但是掌握的是独立概念，仍不足以使用基本概念解决实际问题。例如在人口增长模型或者传染病模型中，我们虽然已经有了导数的定义，但是我们并不是直接使用导数定义建立模型，而是根据导数的意义建立模型，这就需要了解导数的概念、意义和相关的性质。在分析求解驗证模型过程中，学生将导数、积分、微分方程、极限等概念及其性质连接起来，形成概念域和概念系。经历这一过程，学生能更加深刻的理解概念，达到应用概念解决问题的水平。
概念的内部存储和表征并不等同于知识的逻辑体系。本文从概念意象的角度，论述了数学模型在高等数学教学中，建立概念意象、消除错误概念意象和综合运用概念解决问题阶段的重要作用。由于概念表征的复杂性，概念意象形成的细节仍需要进一步研究。
参考文献
[1] 颜文勇.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2011：6.
[2] Shlomo VINNER.Concept definition， concept image and the notion of function[J].The international journal of mathematical education in science and technology，1983，14（3）：293-305.
[3] 秦德生.学生对导数的理解水平及其发展规律研究[D].长春：东北师范大学，2007.
[4] 李善良.关于概念意象的研究[J].数学教育学报，2004，13（3）：13-15.
[5] David TALL，Shlomo VINNER.Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity[J].Educational studies in mathematics，1981，12（2）：151-169.
[6] Rasslan S，Tall D.Definitions and images for the definite integral concept[M].Proceedings of the 26th conderence PME.Norwich：PME，2002：89-96.
[7] 武锡环，连四清，宋宏伟.学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响[J].数学教育学报，2009，18（1）：31-33.
[8] 喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2012：233-234.