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摘要：本文主要运用MATLAB软件实现对调Q Nd：YAG激光器的综合设计，在固体激光器设计初期完成性能预测和系统优化的目的。主要包括使用MATLAB绘制优化Q开关激光器运转的解析解，借助图像完成激光器的初步设计。其次通过对激光器速率方程组进行数值求解，推导出在激光调Q的过程中激光各粒子变化的规律，进而得到如峰值功率、脉宽、升降时间等重要参量，以满足激光器设计初期对性能掌握的要求。
关键词：激光速率方程組，MATLAB，Nd：YAG，主动调Q
中图分类号：0439 文献标识码：A
MATLAB是一款数学类科技应用软件，具有高效的数值计算及图像处理能力，广泛应用于工程计算、图像处理等领域。借助MATLAB可以较为轻易地解决与数学相关的问题，包括绘制复杂函数的图形、求解微分方程的解析解。
为优化固体激光器，达到其输出的最大效率，在设计过程中可以借助优化Q开关激光器的解析解，来实现激光器的综合设计。但由于解析解的函数形式较为复杂，难以直接判断其具体特性。而由于MATLAB软件具有如上所述的优点，可以通过MATLAB软件绘制出解析解的图像，进而帮助设计者迅速完成激光器的初步设计。另外，为了进一步了解调Q激光器的性能，可以通过求解激光器的速率方程组来实现，因为激光器速率方程可以精确地描述激光动态特性，表征激光器内光子数与工作物质各能级上原子数随时间变化的规律[1]。且通过对速率方程的求解，可以进一步得出激光器能量、功率脉宽和脉冲形成时间等重要参量，有助于了解在实际情况中固体激光器的特性。另外，由于方程组中各变量相互耦合，其速率方程组的解析解难以算出，一般运用计算机辅助得出数值解。而通过MATLAB软件求解速率方程，则可以得到不同阶段下激光器内光子数与各能级粒子数随时间变化的规律，进而求得激光器的各种性能参量。
2.理论
2.1优化Q开关激光器运转的解析解
优化Q开关激光器运转的解析解的形式由Degnan推导出，他指出最佳反射率、输出能量、峰值功率、提取效率等参量可以用函数z=2g0l/L表示，其中2g0l为对数小信号增益，L为激光器往返损耗。借助这些函数可以完成激光器初步设计，得到Q开关激光器的脉冲宽度及峰值功率等参数。
最佳反射率
（1）
输出能量
（2）
其中Esc为标度因子，包含若干常数。
（3）
脉冲宽度
（4）
其中tR为腔内的往返时间，tR=2l'/c，l'为激光器谐振腔的长度， c为光速。且a的表达式为
a=（z-1）（zlnz） （5）
能量提取效率
（6）
2.2激光器速率方程组的解析解
2.2.1一般四能级系统方程[1]
（7）
（8）
（9）
式中n1为能级1粒子数密度，n2为能级2粒子数密度，ntot为总粒子数密度，γ为简并因子，对于四能级系统通常为1。Wp为泵浦速率，Wpn0的含义表示单位时间、单位体积内由基能级向上激光上能级转移原子的数量，σ为激光受激发射截面，φ为光子密度，c为介质中的光速，τ21为能级2自发辐射寿命，τ10为下能级到基态能级的弛豫时间，τ20为上能级到基态能级的弛豫时间。其中Wpn0可表示为[2]
（10）
其中ηB为光束交叠效率，ηQ为量子效率，ηS为斯托克斯因子，ηP为泵浦源效率，ηT为有效辐射泵浦效率，ηA为吸收效率，hvl为激光辐射能量，v为光速，Pin为泵浦光功率
2.2.2泵浦阶段
由于在泵浦阶段中，激光振荡尚未形成，激光腔内光子数较少。因此在式（7）、（8）中，可近似光子数密度φ为零，于是得到泵浦阶段速率方程
（11）
（12）
2.2.3 Q开关工作阶段[1]
（13）
（14）
式中φ为光子密度，n为反转粒子数密度，c为介质中的光速，l为激活材料的长度，l为谐振腔的长度，tR=2l'/c为光子寿命，σ为受激发射截面，γ为简并因子，ε为腔内的损耗，可表示为
（15）
式中R为出射镜反射率，ξ为Q开关工作时的腔损耗。
3分析说明
调Q技术的原理是将激光能量压缩在很短的脉冲当中，从而使得到高的输出功率。因调Q激光器具有峰值功率高、脉宽窄等特点，现已广泛应用与工业加工与科研领域。因此，研究Q开关激光器设计方法，具有重要的现实意义。以下主要基于MATLAB软件绘制优化Q开关激光器的解析解，求解激光器泵浦阶段及Q开关运转时的速率方程组，并由此来完成对Q开关Nd：YAG激光器性能的初步掌握，有助于设计者的后续调整。
3.1优化Q开关激光器的解析解
优化Q开关激光器的解析解由（1）-（6）表示，分别反应激光器最佳反射率、脉宽、输出能量以及提取效率与z之间的关系。取z作为自变量，利用MATLAB软件分别绘制出各参量与z之间关系的图像。
通过MATLAB软件所绘制出的以上图像，我们可清晰得出随着增益的增加，激光器各参量变化的规律。其中由图1及图4可知，随着增益的增加，激光器的提取效率以及输出能量也在不断提升，其次由图2及图3可知，激光器输出镜的最佳反射率及激光脉宽随着增益的不断增加，而呈现出下降趋势。
借助以上图像，可以完成激光器的初步设计。例如设计产生0.1J能量输出的Q开关Nd：YAG激光器，选定激光晶体的直径为8mm，长度为100mm，且激光器谐振腔的长度为30cm，腔内往返损耗为1%。通过式3可求得ESC为1.68×10-2J。为使输出能量能达到1J，则Eout/ESC=60，由图4可得z=65。通过所求得的z值，以及图1所示提取效率与z的关系，可以得到此Q开关激光器的提取效率约为92%。并且通过图2所示最佳反射率与z的关系，得到激光器输出镜的反射率为0.86。光束在腔内往返行走的时间为tR=2.5485×10-9s，激光器的脉冲宽度可由图3得到，其值tp=3.8652×10-8S。根据激光器输出能量以及计算得出的脉冲宽度，进而求得激光器脉冲的峰值为P=Eout/tp=2MW。由上所述，最终完成对激光器输出镜反射率的选择，激光器脉冲宽度及峰值功率的计算。 3.2泵浦阶段
为进一步了解调Q Nd：YAG激光器工作过程，此节主要对激光器泵浦阶段速率方程进行求解，以掌握泵浦阶段腔内各粒子数变化情况。由上述计算得出的激光脉冲峰值功率为2MW，经调整选择二极管侧面泵浦，泵浦功率Pin=10KW。另外已知腔内往返损耗為0.01，激光晶体ND：YAG受激发射截面为2.8×10-23m2，激光能级间辐射寿命τ21=200μs，下能级弛豫时间τ10=30ns，上能级荧光寿命τf为230μs，光子能量hv=1.87×10-19J，光束交叠效率ηB为0.6，辐射传输效率ηT为0.8，ηA吸收效率为0.8，ηP泵浦源效率为0.7，ηS斯托克斯因子为0.7，量子效率ηQ为0.95。
利用MATLAB软件求解微分方程5、6[3]，核心代码如下：
wpn0=nq*ns*nb*nt*np*na*P/（v*h*vl）；%wpn0为向亚稳态能级输送粒子的速率
tf=230*（10^-6）；%上能级荧光寿命
t21=200*（10^-6）；%激光能级间辐射寿命
t10=30*（10^-9）；%下能级弛豫时间
dy=zeros（2，1）；
dy（2）=wpn0-y（2）/tf；
dy（1）=y（2）/t21-y（1）/t10；
并将数值解绘制出，可得激光上能级和基态粒子数随时间变换的规律
由图4可知在泵浦阶段上下能级粒子数密度的变化情况，粒子数密度随时间增加呈上升趋势，并稳定到某一固定值，且上能级粒子数密度增长速度大于下能级粒子数密度。经过约80ms粒子数密度稳定，上能级粒子数密度稳定值为1.5×1023m-3，而下能级粒子数密度稳定值为2×1019m-3。
3.3 Q开关工作阶段
Q开关工作可用微分方程7、8表示，利用泵浦阶段上能级粒子数密度稳定值作为其初始条件，并用MATLAB软件进行求解[3]。核心代码如下：
dy=zeros（2，1）；
dy（1）=-y（1）.*c.*ec.*y（2）；%c为真空中光速，ec为增益介质受激发射截面
dy（2）=（2.*y（1）.*y（2）.*ec.*l./tr）-y（2）./tc；%tr光在腔中往返一周的时间
3.4性能参数
激光器其输出功率可用以下公式表示[4]
（16）
其中v为激光发射频率，A为腔内光束截面，R代表激光器输出镜的透射率。
将此方程与Q开关工作阶段微分方程联立，通过求解Q开关工作阶段的光子数密度变化规律得到激光器的输出功率。核心代码如下：
dy（3）=1.1892*10^（-16）*dy（2）；%输出功率
由图7可知上能级粒子数密度、光子数密度以及激光输出功率之间的关系，随着时间增长，上能级粒子数密度快速减小，而光子数密度及激光输出功率变化规律相同，在某一时刻出现峰值，随即趋于平稳。此外在图7中可以初步了解激光器输出功率出现峰值的时间以及峰值功率的大小，有利于设计者掌握激光器整体性能，对于以后激光器的调整起到促进作用。
结论
通过利用MATLAB可以解出激光速率方程组的数值解，有利于了解激光器在泵浦及Q开关运作期间激光内各级原子和光子数的变化规律，进而得到激光器各种性能参数，仿真结果对于优化脉冲激光器起到指导作用。
参考文献：
[1]（美）W.克希耐尔（WalterKoechner），固体激光工程[M].科学出版，2002
[2]田兆硕，陈卫标，胡企铨.考虑激光下能级弛豫过程的调Q Nd∶YAG速率方程理论分析[J].光子学报，2005（03）：325-328.
[3]欧攀，高等光学仿真（MATLA版）——光波导，激光[M].北京航空航天大学出版社，2014.
[4]李荣，伊厚会.Nd：YAG被动调Q激光器的研究及其设计[J].河北师范大学学报（自然科学版）[J]，2011，35（06）：589-593.
关键词：激光速率方程組，MATLAB，Nd：YAG，主动调Q
中图分类号：0439 文献标识码：A
MATLAB是一款数学类科技应用软件，具有高效的数值计算及图像处理能力，广泛应用于工程计算、图像处理等领域。借助MATLAB可以较为轻易地解决与数学相关的问题，包括绘制复杂函数的图形、求解微分方程的解析解。
为优化固体激光器，达到其输出的最大效率，在设计过程中可以借助优化Q开关激光器的解析解，来实现激光器的综合设计。但由于解析解的函数形式较为复杂，难以直接判断其具体特性。而由于MATLAB软件具有如上所述的优点，可以通过MATLAB软件绘制出解析解的图像，进而帮助设计者迅速完成激光器的初步设计。另外，为了进一步了解调Q激光器的性能，可以通过求解激光器的速率方程组来实现，因为激光器速率方程可以精确地描述激光动态特性，表征激光器内光子数与工作物质各能级上原子数随时间变化的规律[1]。且通过对速率方程的求解，可以进一步得出激光器能量、功率脉宽和脉冲形成时间等重要参量，有助于了解在实际情况中固体激光器的特性。另外，由于方程组中各变量相互耦合，其速率方程组的解析解难以算出，一般运用计算机辅助得出数值解。而通过MATLAB软件求解速率方程，则可以得到不同阶段下激光器内光子数与各能级粒子数随时间变化的规律，进而求得激光器的各种性能参量。
2.理论
2.1优化Q开关激光器运转的解析解
优化Q开关激光器运转的解析解的形式由Degnan推导出，他指出最佳反射率、输出能量、峰值功率、提取效率等参量可以用函数z=2g0l/L表示，其中2g0l为对数小信号增益，L为激光器往返损耗。借助这些函数可以完成激光器初步设计，得到Q开关激光器的脉冲宽度及峰值功率等参数。
最佳反射率
（1）
输出能量
（2）
其中Esc为标度因子，包含若干常数。
（3）
脉冲宽度
（4）
其中tR为腔内的往返时间，tR=2l'/c，l'为激光器谐振腔的长度， c为光速。且a的表达式为
a=（z-1）（zlnz） （5）
能量提取效率
（6）
2.2激光器速率方程组的解析解
2.2.1一般四能级系统方程[1]
（7）
（8）
（9）
式中n1为能级1粒子数密度，n2为能级2粒子数密度，ntot为总粒子数密度，γ为简并因子，对于四能级系统通常为1。Wp为泵浦速率，Wpn0的含义表示单位时间、单位体积内由基能级向上激光上能级转移原子的数量，σ为激光受激发射截面，φ为光子密度，c为介质中的光速，τ21为能级2自发辐射寿命，τ10为下能级到基态能级的弛豫时间，τ20为上能级到基态能级的弛豫时间。其中Wpn0可表示为[2]
（10）
其中ηB为光束交叠效率，ηQ为量子效率，ηS为斯托克斯因子，ηP为泵浦源效率，ηT为有效辐射泵浦效率，ηA为吸收效率，hvl为激光辐射能量，v为光速，Pin为泵浦光功率
2.2.2泵浦阶段
由于在泵浦阶段中，激光振荡尚未形成，激光腔内光子数较少。因此在式（7）、（8）中，可近似光子数密度φ为零，于是得到泵浦阶段速率方程
（11）
（12）
2.2.3 Q开关工作阶段[1]
（13）
（14）
式中φ为光子密度，n为反转粒子数密度，c为介质中的光速，l为激活材料的长度，l为谐振腔的长度，tR=2l'/c为光子寿命，σ为受激发射截面，γ为简并因子，ε为腔内的损耗，可表示为
（15）
式中R为出射镜反射率，ξ为Q开关工作时的腔损耗。
3分析说明
调Q技术的原理是将激光能量压缩在很短的脉冲当中，从而使得到高的输出功率。因调Q激光器具有峰值功率高、脉宽窄等特点，现已广泛应用与工业加工与科研领域。因此，研究Q开关激光器设计方法，具有重要的现实意义。以下主要基于MATLAB软件绘制优化Q开关激光器的解析解，求解激光器泵浦阶段及Q开关运转时的速率方程组，并由此来完成对Q开关Nd：YAG激光器性能的初步掌握，有助于设计者的后续调整。
3.1优化Q开关激光器的解析解
优化Q开关激光器的解析解由（1）-（6）表示，分别反应激光器最佳反射率、脉宽、输出能量以及提取效率与z之间的关系。取z作为自变量，利用MATLAB软件分别绘制出各参量与z之间关系的图像。
通过MATLAB软件所绘制出的以上图像，我们可清晰得出随着增益的增加，激光器各参量变化的规律。其中由图1及图4可知，随着增益的增加，激光器的提取效率以及输出能量也在不断提升，其次由图2及图3可知，激光器输出镜的最佳反射率及激光脉宽随着增益的不断增加，而呈现出下降趋势。
借助以上图像，可以完成激光器的初步设计。例如设计产生0.1J能量输出的Q开关Nd：YAG激光器，选定激光晶体的直径为8mm，长度为100mm，且激光器谐振腔的长度为30cm，腔内往返损耗为1%。通过式3可求得ESC为1.68×10-2J。为使输出能量能达到1J，则Eout/ESC=60，由图4可得z=65。通过所求得的z值，以及图1所示提取效率与z的关系，可以得到此Q开关激光器的提取效率约为92%。并且通过图2所示最佳反射率与z的关系，得到激光器输出镜的反射率为0.86。光束在腔内往返行走的时间为tR=2.5485×10-9s，激光器的脉冲宽度可由图3得到，其值tp=3.8652×10-8S。根据激光器输出能量以及计算得出的脉冲宽度，进而求得激光器脉冲的峰值为P=Eout/tp=2MW。由上所述，最终完成对激光器输出镜反射率的选择，激光器脉冲宽度及峰值功率的计算。 3.2泵浦阶段
为进一步了解调Q Nd：YAG激光器工作过程，此节主要对激光器泵浦阶段速率方程进行求解，以掌握泵浦阶段腔内各粒子数变化情况。由上述计算得出的激光脉冲峰值功率为2MW，经调整选择二极管侧面泵浦，泵浦功率Pin=10KW。另外已知腔内往返损耗為0.01，激光晶体ND：YAG受激发射截面为2.8×10-23m2，激光能级间辐射寿命τ21=200μs，下能级弛豫时间τ10=30ns，上能级荧光寿命τf为230μs，光子能量hv=1.87×10-19J，光束交叠效率ηB为0.6，辐射传输效率ηT为0.8，ηA吸收效率为0.8，ηP泵浦源效率为0.7，ηS斯托克斯因子为0.7，量子效率ηQ为0.95。
利用MATLAB软件求解微分方程5、6[3]，核心代码如下：
wpn0=nq*ns*nb*nt*np*na*P/（v*h*vl）；%wpn0为向亚稳态能级输送粒子的速率
tf=230*（10^-6）；%上能级荧光寿命
t21=200*（10^-6）；%激光能级间辐射寿命
t10=30*（10^-9）；%下能级弛豫时间
dy=zeros（2，1）；
dy（2）=wpn0-y（2）/tf；
dy（1）=y（2）/t21-y（1）/t10；
并将数值解绘制出，可得激光上能级和基态粒子数随时间变换的规律
由图4可知在泵浦阶段上下能级粒子数密度的变化情况，粒子数密度随时间增加呈上升趋势，并稳定到某一固定值，且上能级粒子数密度增长速度大于下能级粒子数密度。经过约80ms粒子数密度稳定，上能级粒子数密度稳定值为1.5×1023m-3，而下能级粒子数密度稳定值为2×1019m-3。
3.3 Q开关工作阶段
Q开关工作可用微分方程7、8表示，利用泵浦阶段上能级粒子数密度稳定值作为其初始条件，并用MATLAB软件进行求解[3]。核心代码如下：
dy=zeros（2，1）；
dy（1）=-y（1）.*c.*ec.*y（2）；%c为真空中光速，ec为增益介质受激发射截面
dy（2）=（2.*y（1）.*y（2）.*ec.*l./tr）-y（2）./tc；%tr光在腔中往返一周的时间
3.4性能参数
激光器其输出功率可用以下公式表示[4]
（16）
其中v为激光发射频率，A为腔内光束截面，R代表激光器输出镜的透射率。
将此方程与Q开关工作阶段微分方程联立，通过求解Q开关工作阶段的光子数密度变化规律得到激光器的输出功率。核心代码如下：
dy（3）=1.1892*10^（-16）*dy（2）；%输出功率
由图7可知上能级粒子数密度、光子数密度以及激光输出功率之间的关系，随着时间增长，上能级粒子数密度快速减小，而光子数密度及激光输出功率变化规律相同，在某一时刻出现峰值，随即趋于平稳。此外在图7中可以初步了解激光器输出功率出现峰值的时间以及峰值功率的大小，有利于设计者掌握激光器整体性能，对于以后激光器的调整起到促进作用。
结论
通过利用MATLAB可以解出激光速率方程组的数值解，有利于了解激光器在泵浦及Q开关运作期间激光内各级原子和光子数的变化规律，进而得到激光器各种性能参数，仿真结果对于优化脉冲激光器起到指导作用。
参考文献：
[1]（美）W.克希耐尔（WalterKoechner），固体激光工程[M].科学出版，2002
[2]田兆硕，陈卫标，胡企铨.考虑激光下能级弛豫过程的调Q Nd∶YAG速率方程理论分析[J].光子学报，2005（03）：325-328.
[3]欧攀，高等光学仿真（MATLA版）——光波导，激光[M].北京航空航天大学出版社，2014.
[4]李荣，伊厚会.Nd：YAG被动调Q激光器的研究及其设计[J].河北师范大学学报（自然科学版）[J]，2011，35（06）：589-593.