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摘要：如何选取与设计合适概率论与数理统计课程教学案例尚在探究中，本文针对《随机事件的独立性》内容特点，结合案例教学实践，对随机事件的独立性这节课的内容进行了案例选择，加强培养学生解决实际问题的数学能力。
关键词：独立性；案例教学；概率
概率论与数理统计作为数学的一门分支，在生产、科研、经济等领域有着广泛的应用，与人们日常生活密切相关，是具有强烈实际背景的数学课程，为课程引入案例教学提供了相当有利的条件。案例教学是指教师根据教学目的选择或编写案例，提供具体真实的场景，让学生把自己纳入案例场景，并在教师组织与指导下，通过自主积极思考，讨论或者研讨，提出解决问题的方法来进行学习的一种教学方法.它强调以学生为主体，以培养学生的自主学习能力、实践能力和创新能力为目的。随机事件的独立性，描述了一种随机事件之间的特殊关系，在概率论与数理统计中具有举足轻重的地位.如何针对概率论与数理统计课程特点，选取与设计合适的教学案例，解决学生在学习中出现的难理解、缺乏兴趣等问题，目前尚在探索之中.下面结合在实际教学中的体会，探讨设计事件独立性的教学的要点和方法。
A，B是相互独立，说明两事件之间没有关联或关联很微弱，一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率.在抽象问题中，一般根据定义去判断事件的独立性，而在实际问题中，一般根据事件的实际意义去判断事件的独立性.在教学过程中，挑选贴近学生实际生活，具有一定教育意义的案例是较忧选择.根据多年来对课程的理解和创新试验，发现以下实例是相对比较成功的案例。
案例1（系统可靠性问题）
设有多个元件，每个元件的可靠性均为0.9（元件能正常工作的概率）， 按如下两种方式组成系统， 试比较两个系统的可靠性.
系统一：串联系统 系统二：并联系统
解 设 A=“系统一能正常工作”；B=“系统二能正常工作”；Ci=“系统二第i个能正常工作”，i=1，2.且事件 C1， C2 相互独立.则P（Ci）=0.9.
P（A）=P（C1C2）=P（C1）P（C2）=0.92=0.81；
通过案例1，我们既可以熟悉两个事件的并和交的计算区别与联系，又可以结合物理知识，得到并联系统比串联系统可靠性更好。
案例2（三个臭皮匠，顶个诸葛亮）
如果某问题诸葛亮能解出的把握80%，臭皮匠老大的把握有50%，老二的把握只有45%，老三解出的把握只有40%，四人解题相互不受影响，那么三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
解 设A=“诸葛亮能解出某问题”，B=“老大能解出某问题”，C=“老二能解出某问题”，D=“老三能解出某问题”，则事件A，B，C，D相互独立，且
P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.45，P（D）=0.4.
那么，三个臭皮匠能够解出某问题的概率为：
则 .即三个臭皮匠能胜过诸葛亮。
通过案例2，我们既可以理解和应用三个事件独立性的性质、计算和应用，又可以锻炼学生数学建模的能力，培养创新思维，还可以对学生进行思想教育：三个才能平庸的人，若能同心协力集思广益，也能提出比诸葛亮还周到的计策.团结力量大，21世纪将是一个团队协作的时代。
案例3 （三人行，必有我师焉）
俗话说“三百六十行，行行出狀元.”我们不妨把一个人的才能分成360个方面.因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，从数学角度出发，分析下“三人行，必有我师”有道理吗？
解 设一共有孔子、甲、乙三人， =“孔子在第 行超过甲”， =“孔子在第 行超过乙”.则
则孔子在在第 行同时超过甲乙的概率为： ，
那么，孔子在360行全部超过甲乙的概率为：
.
因此，这两个人在某一方面可以做孔子老师的概率为99.93%.从概率论与数理统计的角度分析，孔子的话是有道理的。
通过案例3，我们既可以理解和应用n个事件独立性的性质、计算和应用，又可以体会文学与数学交融之美，感受学习的乐趣，还可以对学生进行思想教育：择其善者而从之，其不善者而改之”，注意学习他人的长处，以他人缺点引以为戒，多看他人的长处，与人为善，待人宽而责己严，你将越来越好。
案例4（选择题的取巧问题）
一张英语试卷，有10道选择题，每题有4个选择答案，且其中只有一个是正确答案，某同学投机取巧，随机填空，试问：
（1）他答对2道的概率是多大？
（2）他至少填对6道的概率是多大？
解 每答一道题有两个可能的结果，设A=“答对”，P（A）=0.25. 答10道题可当作10重伯努利试验.
（1）
（2）设 “他至少填对6道”，则
通过案例4，我们既可以理解和应用n重伯努利试验的性质、计算和应用，又可以培养学生数学研究能力，还可以让学生自己深刻感受认真学习的重要性.同时，和学生一起总结出小概率原理（或称实际推断原理）：概率很小的事件（称为小概率事件或稀有事件），在一次试验中几乎是不可能发生的.故如本例所说，该同学随意猜测，能在10道题中猜对6道题以上的概率是很小的，在实际中几乎是不会发生的。
总结：
选取与设计合适概率论与数理统计教学的案例，是本课程开展案例教学的基础，是有效进行案例教学的关键环节.案例选取与设计思想：要以学生为本，以教学计划为指导，难易适中，能清晰说明一个概念、定理法则或方法，使教学案例成为各重点相关概念的结合点，成为引导学生探讨应用概率论与数理统计思想方法、定理、公式的平台，成为提升学生解决实际问题的数学能力的着力点。
基金项目：
湖南城市学院2016年教学改革研究项目（No.20），2016年湖南城市学院高等教育科学研究课题（No.JK15B040）；
湖南省教育科学十二五规划2015年度一般资助项（No.XJK015BGD008）；
湖南城市学院2015年教学改革研究项目（No.37）；
2016年教学改革研究项目（No.20）；
2016年湖南城市学院高等教育科学研究课题（No.JK15B040）。
关键词：独立性；案例教学；概率
概率论与数理统计作为数学的一门分支，在生产、科研、经济等领域有着广泛的应用，与人们日常生活密切相关，是具有强烈实际背景的数学课程，为课程引入案例教学提供了相当有利的条件。案例教学是指教师根据教学目的选择或编写案例，提供具体真实的场景，让学生把自己纳入案例场景，并在教师组织与指导下，通过自主积极思考，讨论或者研讨，提出解决问题的方法来进行学习的一种教学方法.它强调以学生为主体，以培养学生的自主学习能力、实践能力和创新能力为目的。随机事件的独立性，描述了一种随机事件之间的特殊关系，在概率论与数理统计中具有举足轻重的地位.如何针对概率论与数理统计课程特点，选取与设计合适的教学案例，解决学生在学习中出现的难理解、缺乏兴趣等问题，目前尚在探索之中.下面结合在实际教学中的体会，探讨设计事件独立性的教学的要点和方法。
A，B是相互独立，说明两事件之间没有关联或关联很微弱，一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率.在抽象问题中，一般根据定义去判断事件的独立性，而在实际问题中，一般根据事件的实际意义去判断事件的独立性.在教学过程中，挑选贴近学生实际生活，具有一定教育意义的案例是较忧选择.根据多年来对课程的理解和创新试验，发现以下实例是相对比较成功的案例。
案例1（系统可靠性问题）
设有多个元件，每个元件的可靠性均为0.9（元件能正常工作的概率）， 按如下两种方式组成系统， 试比较两个系统的可靠性.
系统一：串联系统 系统二：并联系统
解 设 A=“系统一能正常工作”；B=“系统二能正常工作”；Ci=“系统二第i个能正常工作”，i=1，2.且事件 C1， C2 相互独立.则P（Ci）=0.9.
P（A）=P（C1C2）=P（C1）P（C2）=0.92=0.81；
通过案例1，我们既可以熟悉两个事件的并和交的计算区别与联系，又可以结合物理知识，得到并联系统比串联系统可靠性更好。
案例2（三个臭皮匠，顶个诸葛亮）
如果某问题诸葛亮能解出的把握80%，臭皮匠老大的把握有50%，老二的把握只有45%，老三解出的把握只有40%，四人解题相互不受影响，那么三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
解 设A=“诸葛亮能解出某问题”，B=“老大能解出某问题”，C=“老二能解出某问题”，D=“老三能解出某问题”，则事件A，B，C，D相互独立，且
P（A）=0.8，P（B）=0.5，P（C）=0.45，P（D）=0.4.
那么，三个臭皮匠能够解出某问题的概率为：
则 .即三个臭皮匠能胜过诸葛亮。
通过案例2，我们既可以理解和应用三个事件独立性的性质、计算和应用，又可以锻炼学生数学建模的能力，培养创新思维，还可以对学生进行思想教育：三个才能平庸的人，若能同心协力集思广益，也能提出比诸葛亮还周到的计策.团结力量大，21世纪将是一个团队协作的时代。
案例3 （三人行，必有我师焉）
俗话说“三百六十行，行行出狀元.”我们不妨把一个人的才能分成360个方面.因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，从数学角度出发，分析下“三人行，必有我师”有道理吗？
解 设一共有孔子、甲、乙三人， =“孔子在第 行超过甲”， =“孔子在第 行超过乙”.则
则孔子在在第 行同时超过甲乙的概率为： ，
那么，孔子在360行全部超过甲乙的概率为：
.
因此，这两个人在某一方面可以做孔子老师的概率为99.93%.从概率论与数理统计的角度分析，孔子的话是有道理的。
通过案例3，我们既可以理解和应用n个事件独立性的性质、计算和应用，又可以体会文学与数学交融之美，感受学习的乐趣，还可以对学生进行思想教育：择其善者而从之，其不善者而改之”，注意学习他人的长处，以他人缺点引以为戒，多看他人的长处，与人为善，待人宽而责己严，你将越来越好。
案例4（选择题的取巧问题）
一张英语试卷，有10道选择题，每题有4个选择答案，且其中只有一个是正确答案，某同学投机取巧，随机填空，试问：
（1）他答对2道的概率是多大？
（2）他至少填对6道的概率是多大？
解 每答一道题有两个可能的结果，设A=“答对”，P（A）=0.25. 答10道题可当作10重伯努利试验.
（1）
（2）设 “他至少填对6道”，则
通过案例4，我们既可以理解和应用n重伯努利试验的性质、计算和应用，又可以培养学生数学研究能力，还可以让学生自己深刻感受认真学习的重要性.同时，和学生一起总结出小概率原理（或称实际推断原理）：概率很小的事件（称为小概率事件或稀有事件），在一次试验中几乎是不可能发生的.故如本例所说，该同学随意猜测，能在10道题中猜对6道题以上的概率是很小的，在实际中几乎是不会发生的。
总结：
选取与设计合适概率论与数理统计教学的案例，是本课程开展案例教学的基础，是有效进行案例教学的关键环节.案例选取与设计思想：要以学生为本，以教学计划为指导，难易适中，能清晰说明一个概念、定理法则或方法，使教学案例成为各重点相关概念的结合点，成为引导学生探讨应用概率论与数理统计思想方法、定理、公式的平台，成为提升学生解决实际问题的数学能力的着力点。
基金项目：
湖南城市学院2016年教学改革研究项目（No.20），2016年湖南城市学院高等教育科学研究课题（No.JK15B040）；
湖南省教育科学十二五规划2015年度一般资助项（No.XJK015BGD008）；
湖南城市学院2015年教学改革研究项目（No.37）；
2016年教学改革研究项目（No.20）；
2016年湖南城市学院高等教育科学研究课题（No.JK15B040）。