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[摘要]以汉诺塔游戏为载体，从“化繁为简，构建数学模型”“化异为同，推理数学规律”“化生为熟，拓展数学应用”三个方面渗透化归思想，让学生能够在兴趣盎然的状态下体会“化归”这一重要的数学思想。
[关键词]汉诺塔游戏;化归思想;化繁为简;化异为同;化生为熟
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）23-0055-02
化归思想是一种重要的数学思想方法。在小学数学中经常会用到化归思想来进行新知识的教学，如小数乘整数、平面图形面积的推导、植树问题等，但是学生大多是在枯燥的学习中被动地接受化归思想，没有充分体会到化归思想的价值，在碰到问题时也不会主动地应用化归思想。爱玩是儿童的天性，儿童对具体形象的内容易于理解，对生动活泼的形式比较喜爱，对新奇的事物比较敏感，对能演示的过程更感兴趣。而现代教育理论强调“要让学生做科学，而不是用耳朵去听科学”。因此，笔者尝试以“汉诺塔游戏”为载体来渗透化归思想汉诺塔是由8个彩色圆环按大小依次叠放在有三根立柱的支架上组成，因其形如塔状而得名。它是人们研究算法逻辑的启发源，更是一款经典的益智玩具。它所设置的问题困境在于：如何借助“过渡柱”把“起始柱”上的圆环依次移到“目标柱”上（如图1）。规则是：一片一片地移，在移的过程中不可以大片压到小片上。
下面以笔者在2019年南方六省（区）益智课堂阶段性成果展示观摩会上的示范课“汉诺塔”为例，谈谈如何借助汉诺塔游戏渗透化归思想。
一、化繁为简，构建数学模型
将复杂的数学问题简化为易懂的数学问题，正是“化繁为简”思想的体现，也是教师需要对学生进行强化训练的数学技能之一。
[课堂实录1]
教师利用音频介绍汉诺塔游戏的背景及规则（涉及的汉诺塔有64个圆环）。
师：今天，老师带来了一个简易的汉诺塔，上面一共有8个圆环。请动手试着将这8个圆环从a柱移到c柱。（如图2）
（学生动手尝试，有人表示“太难了”。）
师：刚才有同学说太难了，怎么办？
生：：可以简化。
师：怎么简化？
生：8个圆环太难了，我觉得若拿掉几个，简化后就容易多了。
师：你为什么想着简化？简化成8个圓环对研究移动有什么帮助？
生：数量少了以后，所需要移动的次数也会少，我们就知道该怎么移动了。
师：简化后的数量和原来的不同了，有什么还是相同的？
生：移动规则。
生：汉诺塔的游戏原理。
师：太棒了！你们说的其实就是数学上一个很重要的思想一化繁为简（板书），我们可以将复杂的数学问题简化成一个简单的数学模型，它看似变成了不同的，但其内在的数学原理却依然相同，那么我们就可从中去寻找规律，从而有效解决问题。
在这样的师生问答中，学生逐渐知道“化繁为简就是数学建模”这一本质，并能够通过相同原理的模型去寻找复杂问题当中的规律，从而有效解决问题。
二、化異为同，推理数学规律
《义务教育数学课程标准》中指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。其中合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。”化异为同，就是把不同的问题、事物，通过合情推理转化后，从中探寻规律，解决问题。
[课堂实录2]
师：那你想从几个圓环开始研究呢？（1个）
师：1个圆环的移动，需要几次？
师：现在能找到规律吗？（不能）怎么办？
生4：增加到两个圆环，再试试。
师：好。请同学们将a柱上的两个圆环依次移到c柱上。（如图3）
师：（1）这两个圆环到达c柱的顺序是怎样的？（先大圆环后小圆环）（2）第一个圆环先拿出来的目的是什么？（给大圓环让路）（3）小圆环为什么先放在b柱而不是c柱上？（为了让大圆环先到达c柱）
师：你们会移了吗？那a柱到c柱会移了，c柱到b柱你会移吗？试试看。
师：想想看，这两次的移动有什么不同？
生：起始柱、目标柱过渡柱都不相同了。
师：那这样的不同当中，有没有什么是相同的？
生：第一个圆环都是先放在过渡柱上，第二个圆环都是先放在目标柱上。
师：观察得真仔细，移动的方法看似不同，其实相同！师：下面我们要开始几个圆环的移动？（3个）好，请试着移，并在学习单，上做好记录。
师：（1）你能说说这三个圆环最终到达c柱的顺序吗？（2）怎样让第三个圆环到达c柱？（也就是说前两个圆环的目标转换成了b柱）（3）前两个圆环我们是怎么移到b柱的？跟之前两个圆环的移动有没有相同的地方？
生，：将最上面两个圆环看作一个整体，其实就是两个圆环的移动，将这个整体先移动到b柱和之前两个圆环的移动一样。
师：3个圆环和2个圆环数量不相同，而且刚才同学们移动的过程也不相同，移动次数也不相同，但是什么是相同的？
生：移动的方法、原理是相同的。
师：如果不操作，想想看，4个圆环的移动和之前的3个圆环的移动有什么相同的地方？
生：把最上面的3个圆环看作一个整体，就和3个圆环的移动方法一模一样了。
师：4个圆环，3个圆环、2个圆环数量各不相同，但却可以用相同的方法去移动，那你能研究出5个圆环、6个圆环、7个圆环、8个圆环的移动吗？它们各需要移动多少次？
师：我们在看似不同的数学模型中，探究出了相同的原理和方法，找到了规律，并通过一步步推算，知道64个圆环需移动18446744073709551615次，这需要5000多亿年 当通过“化繁为简"思想构建出数学模型后，要在不同数量的数学模型当中找到相同的原理和方法，通过合情推理找到规律，解决原来的问题，这就是化异为同化“不同”为“相同”。
三、化生为熟，拓展数学应用
《义务教育数学课程标准》中指出：“应用意识的其中一个方面的含义是有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。”化生为熟，就是将陌生的问题、事物，转化为熟悉的知识去研究，并且能够利用得到的结论解决现实世界中的其他问题。
[课堂实录3]
师：最后，我们一起来听一个关于国际象棋与米粒的故事。（故事主体内容：在象棋棋盘中的第1格放1粒米，第2格放2粒米，后面每一格都放前面一格的2倍的米粒，一共要放64格……）
师：这个故事和汉诺塔的故事相同吗？（不相同）
师：那这两个故事有没有相同的地方呢？
……
师：这个故事中的答案也是18446744073709551615粒，它们之间是否也存在着相同的原理呢？请同学们研究一下。
师：通过将陌生的故事和熟悉的故事联系起来，可以发现，国际象棋中前2格的米粒数与汉诺塔当中2个圆环的移动数相同，国际象棋中前3格的米粒数与汉诺塔当中3个圆環的移动数相同……
师：这节课我们都是在不同中找相同，其实在生活中、在学习中也有很多看似不同却有着联系的事情或者问题，希望同学们能够用心去发现、去解决。
当学生能够准确地找到看似完全不同的事物之间存在的联系，并能够利用这种联系把未知、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题，一些难题也就能迎刃而解了。引导学生运用“不同当中找相同”的化归思想去解决生活中的实际问题，也体现了“数学来源于生活，应用于生活”。
综上，用“化繁为简”来构建数学模型，用“化异为同”来推理数学规律，用“化生为熟"来拓展数学应用，在“不同”当中有着很大的“相同”。在这样既有充足的动力又富有思维含量的游戏教学中，学生能够提升学习数学的兴趣，领悟数学思想，提升数学思维。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李清霞，孙欣.益智课堂，数学核心素养践行之地：以“汉诺塔”活动课为例[J].中国教师，2017（10）.
（责编 黄春香）
[关键词]汉诺塔游戏;化归思想;化繁为简;化异为同;化生为熟
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）23-0055-02
化归思想是一种重要的数学思想方法。在小学数学中经常会用到化归思想来进行新知识的教学，如小数乘整数、平面图形面积的推导、植树问题等，但是学生大多是在枯燥的学习中被动地接受化归思想，没有充分体会到化归思想的价值，在碰到问题时也不会主动地应用化归思想。爱玩是儿童的天性，儿童对具体形象的内容易于理解，对生动活泼的形式比较喜爱，对新奇的事物比较敏感，对能演示的过程更感兴趣。而现代教育理论强调“要让学生做科学，而不是用耳朵去听科学”。因此，笔者尝试以“汉诺塔游戏”为载体来渗透化归思想汉诺塔是由8个彩色圆环按大小依次叠放在有三根立柱的支架上组成，因其形如塔状而得名。它是人们研究算法逻辑的启发源，更是一款经典的益智玩具。它所设置的问题困境在于：如何借助“过渡柱”把“起始柱”上的圆环依次移到“目标柱”上（如图1）。规则是：一片一片地移，在移的过程中不可以大片压到小片上。
下面以笔者在2019年南方六省（区）益智课堂阶段性成果展示观摩会上的示范课“汉诺塔”为例，谈谈如何借助汉诺塔游戏渗透化归思想。
一、化繁为简，构建数学模型
将复杂的数学问题简化为易懂的数学问题，正是“化繁为简”思想的体现，也是教师需要对学生进行强化训练的数学技能之一。
[课堂实录1]
教师利用音频介绍汉诺塔游戏的背景及规则（涉及的汉诺塔有64个圆环）。
师：今天，老师带来了一个简易的汉诺塔，上面一共有8个圆环。请动手试着将这8个圆环从a柱移到c柱。（如图2）
（学生动手尝试，有人表示“太难了”。）
师：刚才有同学说太难了，怎么办？
生：：可以简化。
师：怎么简化？
生：8个圆环太难了，我觉得若拿掉几个，简化后就容易多了。
师：你为什么想着简化？简化成8个圓环对研究移动有什么帮助？
生：数量少了以后，所需要移动的次数也会少，我们就知道该怎么移动了。
师：简化后的数量和原来的不同了，有什么还是相同的？
生：移动规则。
生：汉诺塔的游戏原理。
师：太棒了！你们说的其实就是数学上一个很重要的思想一化繁为简（板书），我们可以将复杂的数学问题简化成一个简单的数学模型，它看似变成了不同的，但其内在的数学原理却依然相同，那么我们就可从中去寻找规律，从而有效解决问题。
在这样的师生问答中，学生逐渐知道“化繁为简就是数学建模”这一本质，并能够通过相同原理的模型去寻找复杂问题当中的规律，从而有效解决问题。
二、化異为同，推理数学规律
《义务教育数学课程标准》中指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。其中合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。”化异为同，就是把不同的问题、事物，通过合情推理转化后，从中探寻规律，解决问题。
[课堂实录2]
师：那你想从几个圓环开始研究呢？（1个）
师：1个圆环的移动，需要几次？
师：现在能找到规律吗？（不能）怎么办？
生4：增加到两个圆环，再试试。
师：好。请同学们将a柱上的两个圆环依次移到c柱上。（如图3）
师：（1）这两个圆环到达c柱的顺序是怎样的？（先大圆环后小圆环）（2）第一个圆环先拿出来的目的是什么？（给大圓环让路）（3）小圆环为什么先放在b柱而不是c柱上？（为了让大圆环先到达c柱）
师：你们会移了吗？那a柱到c柱会移了，c柱到b柱你会移吗？试试看。
师：想想看，这两次的移动有什么不同？
生：起始柱、目标柱过渡柱都不相同了。
师：那这样的不同当中，有没有什么是相同的？
生：第一个圆环都是先放在过渡柱上，第二个圆环都是先放在目标柱上。
师：观察得真仔细，移动的方法看似不同，其实相同！师：下面我们要开始几个圆环的移动？（3个）好，请试着移，并在学习单，上做好记录。
师：（1）你能说说这三个圆环最终到达c柱的顺序吗？（2）怎样让第三个圆环到达c柱？（也就是说前两个圆环的目标转换成了b柱）（3）前两个圆环我们是怎么移到b柱的？跟之前两个圆环的移动有没有相同的地方？
生，：将最上面两个圆环看作一个整体，其实就是两个圆环的移动，将这个整体先移动到b柱和之前两个圆环的移动一样。
师：3个圆环和2个圆环数量不相同，而且刚才同学们移动的过程也不相同，移动次数也不相同，但是什么是相同的？
生：移动的方法、原理是相同的。
师：如果不操作，想想看，4个圆环的移动和之前的3个圆环的移动有什么相同的地方？
生：把最上面的3个圆环看作一个整体，就和3个圆环的移动方法一模一样了。
师：4个圆环，3个圆环、2个圆环数量各不相同，但却可以用相同的方法去移动，那你能研究出5个圆环、6个圆环、7个圆环、8个圆环的移动吗？它们各需要移动多少次？
师：我们在看似不同的数学模型中，探究出了相同的原理和方法，找到了规律，并通过一步步推算，知道64个圆环需移动18446744073709551615次，这需要5000多亿年 当通过“化繁为简"思想构建出数学模型后，要在不同数量的数学模型当中找到相同的原理和方法，通过合情推理找到规律，解决原来的问题，这就是化异为同化“不同”为“相同”。
三、化生为熟，拓展数学应用
《义务教育数学课程标准》中指出：“应用意识的其中一个方面的含义是有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。”化生为熟，就是将陌生的问题、事物，转化为熟悉的知识去研究，并且能够利用得到的结论解决现实世界中的其他问题。
[课堂实录3]
师：最后，我们一起来听一个关于国际象棋与米粒的故事。（故事主体内容：在象棋棋盘中的第1格放1粒米，第2格放2粒米，后面每一格都放前面一格的2倍的米粒，一共要放64格……）
师：这个故事和汉诺塔的故事相同吗？（不相同）
师：那这两个故事有没有相同的地方呢？
……
师：这个故事中的答案也是18446744073709551615粒，它们之间是否也存在着相同的原理呢？请同学们研究一下。
师：通过将陌生的故事和熟悉的故事联系起来，可以发现，国际象棋中前2格的米粒数与汉诺塔当中2个圆环的移动数相同，国际象棋中前3格的米粒数与汉诺塔当中3个圆環的移动数相同……
师：这节课我们都是在不同中找相同，其实在生活中、在学习中也有很多看似不同却有着联系的事情或者问题，希望同学们能够用心去发现、去解决。
当学生能够准确地找到看似完全不同的事物之间存在的联系，并能够利用这种联系把未知、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题，一些难题也就能迎刃而解了。引导学生运用“不同当中找相同”的化归思想去解决生活中的实际问题，也体现了“数学来源于生活，应用于生活”。
综上，用“化繁为简”来构建数学模型，用“化异为同”来推理数学规律，用“化生为熟"来拓展数学应用，在“不同”当中有着很大的“相同”。在这样既有充足的动力又富有思维含量的游戏教学中，学生能够提升学习数学的兴趣，领悟数学思想，提升数学思维。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李清霞，孙欣.益智课堂，数学核心素养践行之地：以“汉诺塔”活动课为例[J].中国教师，2017（10）.
（责编 黄春香）