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【摘要】经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验，体现从特殊到一般的数学思想方法，验证猜想并能证明猜想，让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，拓广学生的视野.
【关键词】教学设计；猜想、证明与拓广；从特殊到一般；创新思维；拓宽视野
北师大版九年級数学上册的“课题学习”——猜想、证明与拓广，是围绕中心课题通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜测”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜测要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，在此体会证明的必要性和发展学生的推理能力.教学突出学生自主探索，合作交流，能自行找到解决问题的方法更好.
1. 教学目标
1.1 知识与技能。(1) 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
(2) 在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
1.2 过程与方法。在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
1.3 情感、态度与价值观。在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.
2. 教学重点难点 (1) 重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
(2) 难点:处理问题的策略和方法.
3. 教学设计
3.1 创设情境，导入新课。回顾一元二次方程的解法。
解方程:(1) x2=9 (2) (x－2)2=9 (3) x2－2x=13(由特殊到一般探索的一元二次方程的解法)
3.2 合作交流，解读探究（出示幻灯片）。
(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
（出示幻灯片）解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为 2a,此时周长应为 4 2a,它不是已知给定的正方形的周长的2倍.
所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
(2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? （出示幻灯片）
（学生讨论后给你提示：矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形.）
给出从特殊到一般的数学思想方法：
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.
总结如下:有三种思路可以选择（出示幻灯片）:
①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题.
②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.
③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6
xy=4然后讨论它的解是否符合题意.
议一议（出示幻灯片）:
当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？
更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
（出示幻灯片）解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则宽为8－x,则有x(8－x)=6,即x2－8x+6=0.解得:
经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为4+10，宽为 4－10。练一练（出示幻灯片）:
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)－x,根据题意,得x［2(m+n)－x]=2mn.整理得,x2－2(m+n)x+2mn=0，解得:
x1=m+n+m2+n2,x2=m+n－m2+n2.经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为 m+n+m2+n2，宽为 m+n－m2+n2.
结论（出示幻灯片）:
任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
（出示幻灯片）想一想：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
（阅读课文思考小明的观点是否正确？而你又是怎么样想的，仍然依照上面的探索的方法进行猜测验证.）
教师给出结论：当已知矩形的长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半.但是请同学们验证8和1呢？（而事实上存在另个矩形长为（9+ 17）/4,宽为（9－ 17）/4.）
教师出示幻灯片：设已知矩形的长和宽分别为m,n,所求矩形的长为x，那么有x〔1/2（n+m）－x〕=1/2mn.得到一元二次方程的b2－4ac=1/4n2+1/4m2－3/2mn
因此当n2+m2≥6mn，这样的矩形才存在.
3.3 提高与拓广（出示幻灯片）。已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC的高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列问题.
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想.
图(1) 图(2) 图(3)（出示幻灯片）解:如图(4),当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”仍然成立.
图(4)证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.
由题意得:h1+h2=AK
∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC
∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900
∴四边形KMFP是矩形
∴KM=PF=h3
∵AK=AM－KM
∴h1+h2=h－h3
即h1+h2+h3=h
图(3)又有怎样的关系呢?（依照上面图(2)的策略思考图(3) 的结论和给出证明.留给学生课后完成.）
3.4 小结与反思（出示幻灯片）。（1）本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间的内在联系.
（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种布列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，他们又可以看成是对二元方程组消元法的直观解释，给“消元”这一数学方法赋予了一定的意义，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.
后记：这节课对于有一定能力的学生起到良好的效果，而对基础较差的学生时间很紧迫,不过幻灯片的辅助使用也就不成问题了.
【关键词】教学设计；猜想、证明与拓广；从特殊到一般；创新思维；拓宽视野
北师大版九年級数学上册的“课题学习”——猜想、证明与拓广，是围绕中心课题通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.培养学生直观“判断”和正确“猜测”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜测要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，在此体会证明的必要性和发展学生的推理能力.教学突出学生自主探索，合作交流，能自行找到解决问题的方法更好.
1. 教学目标
1.1 知识与技能。(1) 经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.
(2) 在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.
1.2 过程与方法。在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
1.3 情感、态度与价值观。在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力.
2. 教学重点难点 (1) 重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.
(2) 难点:处理问题的策略和方法.
3. 教学设计
3.1 创设情境，导入新课。回顾一元二次方程的解法。
解方程:(1) x2=9 (2) (x－2)2=9 (3) x2－2x=13(由特殊到一般探索的一元二次方程的解法)
3.2 合作交流，解读探究（出示幻灯片）。
(1)任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
（出示幻灯片）解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为 2a,此时周长应为 4 2a,它不是已知给定的正方形的周长的2倍.
所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
(2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍? （出示幻灯片）
（学生讨论后给你提示：矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形.）
给出从特殊到一般的数学思想方法：
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.
总结如下:有三种思路可以选择（出示幻灯片）:
①先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为x，将问题化为方程x(6－x)=4是否有解的问题.
②先固定所求矩形的面积, 设另一个矩形的长为x，将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.
③也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程组x+y=6
xy=4然后讨论它的解是否符合题意.
议一议（出示幻灯片）:
当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论?已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？
更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
（出示幻灯片）解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则宽为8－x,则有x(8－x)=6,即x2－8x+6=0.解得:
经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为4+10，宽为 4－10。练一练（出示幻灯片）:
当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)－x,根据题意,得x［2(m+n)－x]=2mn.整理得,x2－2(m+n)x+2mn=0，解得:
x1=m+n+m2+n2,x2=m+n－m2+n2.经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为 m+n+m2+n2，宽为 m+n－m2+n2.
结论（出示幻灯片）:
任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
（出示幻灯片）想一想：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
（阅读课文思考小明的观点是否正确？而你又是怎么样想的，仍然依照上面的探索的方法进行猜测验证.）
教师给出结论：当已知矩形的长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半.但是请同学们验证8和1呢？（而事实上存在另个矩形长为（9+ 17）/4,宽为（9－ 17）/4.）
教师出示幻灯片：设已知矩形的长和宽分别为m,n,所求矩形的长为x，那么有x〔1/2（n+m）－x〕=1/2mn.得到一元二次方程的b2－4ac=1/4n2+1/4m2－3/2mn
因此当n2+m2≥6mn，这样的矩形才存在.
3.3 提高与拓广（出示幻灯片）。已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC的高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列问题.
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想.
图(1) 图(2) 图(3)（出示幻灯片）解:如图(4),当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”仍然成立.
图(4)证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.
由题意得:h1+h2=AK
∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC
∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900
∴四边形KMFP是矩形
∴KM=PF=h3
∵AK=AM－KM
∴h1+h2=h－h3
即h1+h2+h3=h
图(3)又有怎样的关系呢?（依照上面图(2)的策略思考图(3) 的结论和给出证明.留给学生课后完成.）
3.4 小结与反思（出示幻灯片）。（1）本节课的数学知识是综合所学知识,体会知识之间的内在联系.
（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.
（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种布列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，他们又可以看成是对二元方程组消元法的直观解释，给“消元”这一数学方法赋予了一定的意义，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.
后记：这节课对于有一定能力的学生起到良好的效果，而对基础较差的学生时间很紧迫,不过幻灯片的辅助使用也就不成问题了.