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【摘 要】 本文基于有限单元法，对塔机起升机构试验台结构进行了固有特性及动态响应分析。方法为：通过建立结构的动力学有限元计算模型，利用模态分析方法得到系统的前10阶固有频率和固有振型，再利用完全法对结构进行谐响应分析。并且，因为现实中存在着突然起升工况，本文作了瞬态响应分析。
【关键词】 塔式起重机 起升机构试验台 固有特性及动态响应分析
【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2016.04.021
1 结构动力学有限元计算模型
有限元法是解决复杂结构的动力学分析问题的最有效工具，动力学问题的有限元法是把分析对象离散为有限个单元组合体。先进行每个单元的特性分析，包括进行单元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵的计算，再把各个单元的特性矩阵组集起来，组成总质量、刚度、阻尼矩阵，然后形成结构动力学方程，最后利用相关算法进行求解。
将单元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵进行组集，得到总体刚度矩阵K、总质量矩阵M、总阻尼矩阵C。对于整个结构，由达朗贝尔原理，得到：
[Mδ+Cδ+Kδ=F] （1-1）
该式就是有限元法求解动力学问题的基本方程式。在求解之前，还要用静力学方法进行边界条件处理。
2 固有频率和固有振型求解
2.1 求解固有频率和固有振型的方法
机械结构的自由振动方程为：[Mu（t）+Ku（t）=0] （1-2）
其通解为：[u=φsinω（t-t0）] （1-3）
其中，[φ]是n阶向量，[ω]是振动圆频率，[t]是时间变量，[t0]是由初始条件确定的时间常数。
将公式（1-3）代入公式（1-2）得到如下广义特征值问题：[K-ω2Mφ=0] （1-4）
上述方程成立的条件为：[det（K-ω2M）=0] （1-5）
求解以上方程可以得到n个特征解，即，[（ω12，φ1）]，[（ω22，φ2）]…，[（ωn2，φn）]，其中，特征值[ω1]，[ω2]，…，[ωn]代表系统的n个固有频率。特征向量[φ1]，[φ2]，…，[φn]代表系统的n个固有频率对应的固有振型。
结构振动的固有频率和固有振型求解是振动模态分析的关键问题。求解固有频率和固有振型的方法有振型截断法、矩阵逆迭代法、里兹法、广义雅可比法等。实际的物体为连续体，对于连续体结构，其特征值有无限多个。在有限元中，结构被离散为小的单元，固有频率的阶次也是有限的，但是对于大型复杂结构，单元数目是数以万计的，特征方程的阶次也会很高，通常采用振型截断法只计算结构低阶模态。
2.2 试验结构固有特性分析
对试验结构进行固有特性分析，定义系统阻尼为比例阻尼，比例阻尼的计算采用下列公式：
[C=αM+βK] （1-6）
式中
[α=π（ωn2ζ1-ωn1ζ2）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-7）
[β=π（ωn2ζ2-ωn1ζ1）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-8）
其中，[ωn1]和[ωn2]分别为第一阶和第二阶临界转速（r/min），[ζ1]和[ζ2]分别为对应的第一和第二阶模态阻尼比。
表1 结构的前10阶固有频率
通过分析可知，系统的前10阶固有频率中，有8阶是塔身的弯曲振动，说明系统的振动主要来源于塔身结构，为了降低振动，必须加大塔身结构的刚度，在施工过程中，可以通过安装附着架的形式来对塔机的塔身进行加固，即每一节塔身与相应的建筑物连接来提高起重机刚度。
结构动力分析分为结构的瞬态响应分析和结构的基础响应分析。动力学响应问题求解过程为在一个随时间变化力的作用下，求出作为时间函数的位移、速度和加速度。求解方法最常见的为直接积分法和振型叠加法。直接积分法是将时间的积分区间进行里离散化，计算每一段时刻的位移数值。振型叠加法的计算效率要高于直接叠加法，但是振型叠加法适合有阻尼的强迫振动，不考虑初始的自由振动和强迫振动的伴随振动问题。
3 谐响应分析
谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或者多个随时间按简谐规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术，分析过程中只计算结构的稳态受迫振动，不考虑激励在初始时使系统产生的自由振动和强迫振动的伴随振动。谐响应分析可以得到结构在不同频率下的响应曲线。谐响应属于线性分析，任何非线性特性都将被忽略，但在分析中可以包含非对称系统矩阵。
ANSYS软件中的谐响应分析方法包括：完整法（FULL）、缩减法（REDUCED）和模态叠加法（MODE SUPERPOS’n）。完整法为缺省方法，采用完整的结构矩阵，并且允许非对称矩阵存在，允许定义各种类型的载荷，不可以添加预应力；缩减法使用缩减矩阵，需要选择主自由度，根据主自由度得到近似的质量和刚度矩阵，允许施加单元载荷，可以添加预应力；模态叠加法需要先进行模态分析，然后使用模态叠加原理进行求解，可以添加预应力，不能添加非零位移。这三种方法各有优缺点，对比如表2所示。
表2 谐响应分析中三种方法对比
谐响应分析可以预测结构的持续动力特性，可以判断系统在何种激励频率下会共振或失效，从而避免这种激励的产生概率已达到减振降噪等有害效果。本文采用完全法对结构进行谐响应分析，加载求解的过程如下：
（1）定义求解类型。在ANSYS中求解类型选择Harmonic，求解方法选择Full方法。
（2）设置载荷子步。利用HARFRQ命令设定频率范围为0.01-10Hz，NSUBST命令设定时间步长为200步，即每个0.05Hz采样一次。KBC命令设定载荷步采样类型为渐变类型。 （3）施加集中载荷。施加吊重载荷。
（4）添加α阻尼和β阻尼。采用ALPHAD和BETAD命令添加比例阻尼。
（5）求解并进入后处理查看结果。
例如，吊重12.5吨时，有静态分析得知，最大位移发生于臂架两端，最大应力发生在拉杆和臂架连接处。图1和图2，为某一载荷步下的位移云图和应力云图。
图1 某一激振频率下结构的位移云图
图2 某一激振频率下结构的应力云图
进行谐响应分析后，可以得到结构每一位置处的应力位移频响曲线。图3为受到最大应力位置处的应力频响曲线，图4为臂架两端的位移频响曲线。
图3 载荷为12.5T时臂架和拉杆连接处应力的频响曲线图
图4 载荷为12.5T时的臂架两端位移的频响曲线图
通过谐响应分析可以发现激振频率为6.1Hz时臂架两端的位移响应最大，系统相近的固有频率为第7阶固有频率6.7Hz，固有振型为整体沿着轴向振动，因为系统阻尼的存在，所以激振频率略小。谐响应分析特别适合于宽频的激振例如风载的分析。
再例如，图5-8分别表示了载重为25T和共同起吊载重为30T的应力和位移频响曲线，均在6.1Hz左右响应达到最大，但是由于阻尼的存在，得到的结果比静态分析结果略小。
图5 载荷为25T时最大应力的频响曲线
图6 载荷为25T时的最大位移的频响曲线
图7 载荷为30T时最大应力的频响曲线
图8 载荷为30T时的最大位移的频响曲线
4 瞬态响应分析
瞬态响应分析是用于确定可以承受任意时间变化载荷时结构响应的一种方法，可以分析稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的结构位移、应变、应力和力响应等等。瞬态动力学和谐响应分析不同，可以分析系统初始的非稳态振动过程，也可以考虑材料、接触、几何非线性等各种非线性行为。
瞬态计算方法与谐响应一样有三种，即完全法、缩减法及模态叠加法。不过瞬态响应中载荷更为复杂，一般都是时间的函数，ANSYS中有线性渐变方式Ramped法和突变方式Stepped法两种载荷变化方式。ANSYS中一般依据载荷变化方式将整个时间历程划分成多个载荷步（Loadstep），每个载荷步代表载荷发生一次突变或渐变阶段，在每个载荷步内还可以划分多个子步（SubStep），经过多个子步的求解实现一个载荷步的求解，通过多个载荷步的求解实现整个时间历程响应计算。
对于塔式起重机，货物突然离地上升的动载过程可以分为三个阶段。
（1）起升机构开动并加速，松弛的钢丝绳被拉直，但并没有张紧，这时金属结构并未受载。
（2）起升机构继续运转，钢丝绳张紧，张力逐渐增大，当钢丝绳的张力稍大于吊重时，货物离地上升，第二阶段结束。这时第二阶段受力为钢丝绳的张力，假定起升机构的运动速度保持不变，第二阶段的动力学模型为：
[Mδ+Cδ+Kδ=F（t）] [0≤t≤t1] （1-9）
[F（t）=（0，0，…，-kvt）T] （1-10）
初始条件为：
[X（0）=0]，[X（0）=0] （1-11）
（3）货物离地上升后，系统在第二阶段时的初始条件下做自由振动。需要指出的是这时观察货物的坐标系是相对的，即此坐标以上升速度V上升。因此，在初始条件中，吊重有一个向下的初速度V。第三阶段的动力学模型为：
[Mδ+Cδ+Kδ=0] [t≥t1] （1-12）
初始条件为：
[X（t1）=（x1（t1），x2（t1），…，-V）T] （1-13）
[X（t1）=（x1（t1）-xs1，x2（t1）-xs2，…，xn（t1）-xsn）T] （1-14）
静态分析中可以用集中力载荷来模拟吊重，但是动态分析由于其复杂性，不能直接用集中力来表示，由于吊重是靠钢丝绳与起升机构相连，因此，在ANSYS中使用弹簧阻尼单元（COMBIN14单元）来模拟吊重，用集中质量单元（MASS21单元）来模拟吊重，如图9所示为软件中建立的钢丝绳和吊重。
由于第二阶段中吊重不存在，而第三阶段才起作用，在ANSYS中可以用生死单元来解决此类问题。对应的命令为EKILL/EALIVE，在第二阶段中模拟吊重的单元将被“杀死”；在第三阶段模拟吊重将被重新激活，由于这两个命令均不能写入载荷步，因此需要用循环编程的方式来定义。需要指出的是，在“杀死”或者激活生死单元之前，需要定义瞬态求解算法为完全牛顿-拉普森选项。
在进行瞬态分析时，需要对下列选项进行设置：
（1）定义求解类型。采用完全瞬态分析方法。
（2）定义求解参数。DELTIM命令可以定义时间步长大小；KBC命令定义载荷步施加方式是阶跃还是递增；OLGEOM定义是否考虑大变形效应；OUTRES定义写入文件的数据类型。
（3）定义初始条件并施加载荷。IC命令可以定义节点初始位移和速度；EKILL/EALIVE定义生死单元；F命令施加载荷。
（4）求解及后处理。瞬态响应可以得到系统的每个节点的位移与应力随时间的变化曲线。
统阻尼的存在，运行时间在10s后开始稳定，平均值为2cm。这可以看出，复杂结构如果只是用动态载荷系数法来进行设计是远远不够的，必须进行动态特性的相关试验。图11为最大应力位置（臂架与拉杆连接处）的应力响应图。
当吊重载荷为25T时，得到的臂架末端的位移响应曲线和最大应力位置的应力响应曲线，如图12和13所示。
当两个吊点同时起吊30T重物时，得到的臂架末端的位移响应曲线和最大应力位置的应力响应曲线，如图14和15所示。
5 结论
首先，在系统的前10阶模态振型中，有8阶是塔身的弯曲振动，说明塔身的刚度需要加强。
其次，谐响应分析适合风载或其他激励是宽频的情况，通过谐响应得到了系统在三种工况下的最大应力和最大位移的频响曲线，激振频率是6.1Hz左右时，系统振动达到最大，最大位移发生在臂架末端处，值为32mm；最大应力发生在臂架和拉杆连接处，值为136MPa，均未超过许用值，激振频率处发生的形变和与之接近的固有频率处的固有振型相吻合。
最后，瞬态响应分析了吊重突然起升时结构的动态响应问题，由于阻尼的存在结构在经过一段时间的振荡后趋于稳定，稳定后的值与静态分析得到的结果相差无几。但是瞬态过程中最大结果为稳定结果的数倍，这说明，对于臂架类的起重机需要进行瞬态响应分析。
【关键词】 塔式起重机 起升机构试验台 固有特性及动态响应分析
【DOI编码】 10.3969/j.issn.1674-4977.2016.04.021
1 结构动力学有限元计算模型
有限元法是解决复杂结构的动力学分析问题的最有效工具，动力学问题的有限元法是把分析对象离散为有限个单元组合体。先进行每个单元的特性分析，包括进行单元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵的计算，再把各个单元的特性矩阵组集起来，组成总质量、刚度、阻尼矩阵，然后形成结构动力学方程，最后利用相关算法进行求解。
将单元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵进行组集，得到总体刚度矩阵K、总质量矩阵M、总阻尼矩阵C。对于整个结构，由达朗贝尔原理，得到：
[Mδ+Cδ+Kδ=F] （1-1）
该式就是有限元法求解动力学问题的基本方程式。在求解之前，还要用静力学方法进行边界条件处理。
2 固有频率和固有振型求解
2.1 求解固有频率和固有振型的方法
机械结构的自由振动方程为：[Mu（t）+Ku（t）=0] （1-2）
其通解为：[u=φsinω（t-t0）] （1-3）
其中，[φ]是n阶向量，[ω]是振动圆频率，[t]是时间变量，[t0]是由初始条件确定的时间常数。
将公式（1-3）代入公式（1-2）得到如下广义特征值问题：[K-ω2Mφ=0] （1-4）
上述方程成立的条件为：[det（K-ω2M）=0] （1-5）
求解以上方程可以得到n个特征解，即，[（ω12，φ1）]，[（ω22，φ2）]…，[（ωn2，φn）]，其中，特征值[ω1]，[ω2]，…，[ωn]代表系统的n个固有频率。特征向量[φ1]，[φ2]，…，[φn]代表系统的n个固有频率对应的固有振型。
结构振动的固有频率和固有振型求解是振动模态分析的关键问题。求解固有频率和固有振型的方法有振型截断法、矩阵逆迭代法、里兹法、广义雅可比法等。实际的物体为连续体，对于连续体结构，其特征值有无限多个。在有限元中，结构被离散为小的单元，固有频率的阶次也是有限的，但是对于大型复杂结构，单元数目是数以万计的，特征方程的阶次也会很高，通常采用振型截断法只计算结构低阶模态。
2.2 试验结构固有特性分析
对试验结构进行固有特性分析，定义系统阻尼为比例阻尼，比例阻尼的计算采用下列公式：
[C=αM+βK] （1-6）
式中
[α=π（ωn2ζ1-ωn1ζ2）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-7）
[β=π（ωn2ζ2-ωn1ζ1）ωn1ωn215（ω2n2-ω2n1）] （1-8）
其中，[ωn1]和[ωn2]分别为第一阶和第二阶临界转速（r/min），[ζ1]和[ζ2]分别为对应的第一和第二阶模态阻尼比。
表1 结构的前10阶固有频率
通过分析可知，系统的前10阶固有频率中，有8阶是塔身的弯曲振动，说明系统的振动主要来源于塔身结构，为了降低振动，必须加大塔身结构的刚度，在施工过程中，可以通过安装附着架的形式来对塔机的塔身进行加固，即每一节塔身与相应的建筑物连接来提高起重机刚度。
结构动力分析分为结构的瞬态响应分析和结构的基础响应分析。动力学响应问题求解过程为在一个随时间变化力的作用下，求出作为时间函数的位移、速度和加速度。求解方法最常见的为直接积分法和振型叠加法。直接积分法是将时间的积分区间进行里离散化，计算每一段时刻的位移数值。振型叠加法的计算效率要高于直接叠加法，但是振型叠加法适合有阻尼的强迫振动，不考虑初始的自由振动和强迫振动的伴随振动问题。
3 谐响应分析
谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或者多个随时间按简谐规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术，分析过程中只计算结构的稳态受迫振动，不考虑激励在初始时使系统产生的自由振动和强迫振动的伴随振动。谐响应分析可以得到结构在不同频率下的响应曲线。谐响应属于线性分析，任何非线性特性都将被忽略，但在分析中可以包含非对称系统矩阵。
ANSYS软件中的谐响应分析方法包括：完整法（FULL）、缩减法（REDUCED）和模态叠加法（MODE SUPERPOS’n）。完整法为缺省方法，采用完整的结构矩阵，并且允许非对称矩阵存在，允许定义各种类型的载荷，不可以添加预应力；缩减法使用缩减矩阵，需要选择主自由度，根据主自由度得到近似的质量和刚度矩阵，允许施加单元载荷，可以添加预应力；模态叠加法需要先进行模态分析，然后使用模态叠加原理进行求解，可以添加预应力，不能添加非零位移。这三种方法各有优缺点，对比如表2所示。
表2 谐响应分析中三种方法对比
谐响应分析可以预测结构的持续动力特性，可以判断系统在何种激励频率下会共振或失效，从而避免这种激励的产生概率已达到减振降噪等有害效果。本文采用完全法对结构进行谐响应分析，加载求解的过程如下：
（1）定义求解类型。在ANSYS中求解类型选择Harmonic，求解方法选择Full方法。
（2）设置载荷子步。利用HARFRQ命令设定频率范围为0.01-10Hz，NSUBST命令设定时间步长为200步，即每个0.05Hz采样一次。KBC命令设定载荷步采样类型为渐变类型。 （3）施加集中载荷。施加吊重载荷。
（4）添加α阻尼和β阻尼。采用ALPHAD和BETAD命令添加比例阻尼。
（5）求解并进入后处理查看结果。
例如，吊重12.5吨时，有静态分析得知，最大位移发生于臂架两端，最大应力发生在拉杆和臂架连接处。图1和图2，为某一载荷步下的位移云图和应力云图。
图1 某一激振频率下结构的位移云图
图2 某一激振频率下结构的应力云图
进行谐响应分析后，可以得到结构每一位置处的应力位移频响曲线。图3为受到最大应力位置处的应力频响曲线，图4为臂架两端的位移频响曲线。
图3 载荷为12.5T时臂架和拉杆连接处应力的频响曲线图
图4 载荷为12.5T时的臂架两端位移的频响曲线图
通过谐响应分析可以发现激振频率为6.1Hz时臂架两端的位移响应最大，系统相近的固有频率为第7阶固有频率6.7Hz，固有振型为整体沿着轴向振动，因为系统阻尼的存在，所以激振频率略小。谐响应分析特别适合于宽频的激振例如风载的分析。
再例如，图5-8分别表示了载重为25T和共同起吊载重为30T的应力和位移频响曲线，均在6.1Hz左右响应达到最大，但是由于阻尼的存在，得到的结果比静态分析结果略小。
图5 载荷为25T时最大应力的频响曲线
图6 载荷为25T时的最大位移的频响曲线
图7 载荷为30T时最大应力的频响曲线
图8 载荷为30T时的最大位移的频响曲线
4 瞬态响应分析
瞬态响应分析是用于确定可以承受任意时间变化载荷时结构响应的一种方法，可以分析稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的结构位移、应变、应力和力响应等等。瞬态动力学和谐响应分析不同，可以分析系统初始的非稳态振动过程，也可以考虑材料、接触、几何非线性等各种非线性行为。
瞬态计算方法与谐响应一样有三种，即完全法、缩减法及模态叠加法。不过瞬态响应中载荷更为复杂，一般都是时间的函数，ANSYS中有线性渐变方式Ramped法和突变方式Stepped法两种载荷变化方式。ANSYS中一般依据载荷变化方式将整个时间历程划分成多个载荷步（Loadstep），每个载荷步代表载荷发生一次突变或渐变阶段，在每个载荷步内还可以划分多个子步（SubStep），经过多个子步的求解实现一个载荷步的求解，通过多个载荷步的求解实现整个时间历程响应计算。
对于塔式起重机，货物突然离地上升的动载过程可以分为三个阶段。
（1）起升机构开动并加速，松弛的钢丝绳被拉直，但并没有张紧，这时金属结构并未受载。
（2）起升机构继续运转，钢丝绳张紧，张力逐渐增大，当钢丝绳的张力稍大于吊重时，货物离地上升，第二阶段结束。这时第二阶段受力为钢丝绳的张力，假定起升机构的运动速度保持不变，第二阶段的动力学模型为：
[Mδ+Cδ+Kδ=F（t）] [0≤t≤t1] （1-9）
[F（t）=（0，0，…，-kvt）T] （1-10）
初始条件为：
[X（0）=0]，[X（0）=0] （1-11）
（3）货物离地上升后，系统在第二阶段时的初始条件下做自由振动。需要指出的是这时观察货物的坐标系是相对的，即此坐标以上升速度V上升。因此，在初始条件中，吊重有一个向下的初速度V。第三阶段的动力学模型为：
[Mδ+Cδ+Kδ=0] [t≥t1] （1-12）
初始条件为：
[X（t1）=（x1（t1），x2（t1），…，-V）T] （1-13）
[X（t1）=（x1（t1）-xs1，x2（t1）-xs2，…，xn（t1）-xsn）T] （1-14）
静态分析中可以用集中力载荷来模拟吊重，但是动态分析由于其复杂性，不能直接用集中力来表示，由于吊重是靠钢丝绳与起升机构相连，因此，在ANSYS中使用弹簧阻尼单元（COMBIN14单元）来模拟吊重，用集中质量单元（MASS21单元）来模拟吊重，如图9所示为软件中建立的钢丝绳和吊重。
由于第二阶段中吊重不存在，而第三阶段才起作用，在ANSYS中可以用生死单元来解决此类问题。对应的命令为EKILL/EALIVE，在第二阶段中模拟吊重的单元将被“杀死”；在第三阶段模拟吊重将被重新激活，由于这两个命令均不能写入载荷步，因此需要用循环编程的方式来定义。需要指出的是，在“杀死”或者激活生死单元之前，需要定义瞬态求解算法为完全牛顿-拉普森选项。
在进行瞬态分析时，需要对下列选项进行设置：
（1）定义求解类型。采用完全瞬态分析方法。
（2）定义求解参数。DELTIM命令可以定义时间步长大小；KBC命令定义载荷步施加方式是阶跃还是递增；OLGEOM定义是否考虑大变形效应；OUTRES定义写入文件的数据类型。
（3）定义初始条件并施加载荷。IC命令可以定义节点初始位移和速度；EKILL/EALIVE定义生死单元；F命令施加载荷。
（4）求解及后处理。瞬态响应可以得到系统的每个节点的位移与应力随时间的变化曲线。
统阻尼的存在，运行时间在10s后开始稳定，平均值为2cm。这可以看出，复杂结构如果只是用动态载荷系数法来进行设计是远远不够的，必须进行动态特性的相关试验。图11为最大应力位置（臂架与拉杆连接处）的应力响应图。
当吊重载荷为25T时，得到的臂架末端的位移响应曲线和最大应力位置的应力响应曲线，如图12和13所示。
当两个吊点同时起吊30T重物时，得到的臂架末端的位移响应曲线和最大应力位置的应力响应曲线，如图14和15所示。
5 结论
首先，在系统的前10阶模态振型中，有8阶是塔身的弯曲振动，说明塔身的刚度需要加强。
其次，谐响应分析适合风载或其他激励是宽频的情况，通过谐响应得到了系统在三种工况下的最大应力和最大位移的频响曲线，激振频率是6.1Hz左右时，系统振动达到最大，最大位移发生在臂架末端处，值为32mm；最大应力发生在臂架和拉杆连接处，值为136MPa，均未超过许用值，激振频率处发生的形变和与之接近的固有频率处的固有振型相吻合。
最后，瞬态响应分析了吊重突然起升时结构的动态响应问题，由于阻尼的存在结构在经过一段时间的振荡后趋于稳定，稳定后的值与静态分析得到的结果相差无几。但是瞬态过程中最大结果为稳定结果的数倍，这说明，对于臂架类的起重机需要进行瞬态响应分析。