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摘 要：数形结合是学生学习数学最常用也是最重要的一种数学思想方法，是指把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思考，从而化难为易、化繁为简。数形结合思想的渗透，对于发展学生核心素养有着很重要的作用。在实际教学中，教师要从儿童的视角出发，挖掘并选择能体现数形结合思想方法的素材，精心设计探究活动，提高学生的推理能力，使学生主动探索在给定情境中隐含的规律或变化趋势，建立数与形的生动联系，体会到数形结合思想的价值与内涵。对于“数与形”的学习，学生应该经历一个有层次性的、丰富的、立体的、逐渐深入的过程，从而在解决数与形的相关问题时逐步体验“数”与“形”各自的价值和内涵，进而对小学阶段所学的数学基本内容有整体的认识。
关键词：核心素养;以形助数;以数释形;数形结合
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）36-0032-02
引 言
“数与形”是人教版小学数学六年级上册“数学广角”中的内容。该单元一共有2个例题，例1是“以形助数”体会数形相关;例2则是“以数解形”渗透极限思想。一般而言，本单元为1课时教学内容。在实际教学中，教师应引导学生在观察、实验、猜想、验证等活动中发展推理能力，使学生体会数形结合的数学思想。笔者认为，教师可以根据学生的实际特点，将本单元1课时内容一分为二，先探究例1，再探究例2，以求稳扎稳打、步步为营。
对于儿童来说，他们的数学思维正渐渐从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。六年级学生已经逐步学会了区分现象与本质、主要与次要的因素，可以初步尝试独立进行逻辑论证。但他们依然要借助相对直观、感性的经验来理解比较抽象的数学原理。对于本课的教学来说，教师要从儿童视角出发，逐步引导学生在明确规律的基础上初步感受并体验数形结合思想的内涵与价值，然后从整体上帮助学生理解数与形的密切相关性。
对于本课而言，教师很容易陷入“找规律”的怪圈，即引导学生探究和发现“正方形方格图”中蕴含的多种规律，借助图形让学生先从不同角度感知其中蕴含的规律，然后用不同的算式表示规律，并运用规律解决相关问题。很显然，本单元的重难点明显不在于规律的寻找上，而是让学生感受数形结合思想的内涵与价值。
一、数形结合思想的基本内涵
“数”与“形”可以说是数学的基本研究对象，贯穿于数学教学的始终。“数”表现的是抽象的，“形”则比较直观[1]。在实际教学过程中，教师需要设置一些有针对性的数学探究活动，“人为”地推动学生将二者建立联系，使其体会数与形的内涵与价值。在小学阶段的“数与形”学习中，学生应该经历一个有层次性、立体、逐渐深入的过程：一是在学习数和算式、方程等内容时，体会可以借助“形”来“视数”，将抽象的数量关系“可视化”，打开解决问题的突破口，有时甚至可以从“形”中直接“读”出答案，如借助“面积模型”理解分数及其运算含义;二是在图形几何学习中，在体会要更深入地理解图形的变化等情形时，可以借助数和算式来“释形”，这样更易透过现象看到本质，如面积（体积）公式的推导;三是在体会了数形结合的内涵后，能自然地使用这样的思想方法去解决相应的问题，感受其价值。
数形结合作为解决问题的重要策略，贯穿于整个数学学习阶段[2]。对于学生而言，这种思想的渗透、方法的指导不是一蹴而就的。要想养成这样解决问题的良好习惯，学生需要一定的时间积淀。在实践操作中，教师要让学生亲身感受到这种思想方法的优越性，努力将“遇到问题要尝试画图”这样想法深深印刻在学生脑海中。例如，在解决问题时，即使不是一道图形相关题，教师也可以引导学生通过画线段图表达题意，简化思考的难度，从而加深学生对题目的理解。
二、探究活动，让学生体验“以形助数”
在小学具体的学习活动中，在经过多种问题或情境体验后，学生对“数缺形时少直观”的理解较为深刻，但对于“形少数时难入微”的理解较少。究其原因，一是教材具体实例较少;二是部分教师在实际教学中会有意“避开”，所以学生在这方面的体验较为缺乏。笔者认为，在教学中，教师应深入研读教材、创新性地使用教材例题、习题，创设丰富的学习探究活动，从而加深学生对“以形助数”“以数释形”的理解。
在例1 的教学中，按照“L形”逐层将小正方形呈现给学生。在实际教学中，首先，教师会引导学生从不同角度观察“正方形方块图”。在教师的引导下，学生会发现可以用不同的数或算式表示图中的“方块数”，即“形”中有“数或算式”，写出的“数或算式”亦可以用“形”显现，初步感受到“数”与“形”紧密相关。其次，教师会从“找规律”的角度切入，让学生观察随着“形”的变化，“数或算式”也会发生相应变化，并且可以借助“形”的特征发现算式之间的关系，从而建立本例题的一般模型：从1开始n个连续奇数的和是n?。最后，教師会引导学生思考1+3+5+7+9+11+13 这个式子对应的图形是什么样子。学生很自然地会用“形” 来解决。但大部分学生会从图形整体上进行思考：1 是1个小正方形，1+3 是4个小正方形……以此类推，所以1+3+5+7+9+11+13 是由7×7，即49个小正方形组成的大正方形。
但也有个别学生是从最外层的“L形”来观察图形的（见图1），对应的式子中最后一个数“13”。横着的一排和竖着的一列相交处，有1个小正方形是重叠的，重复了。此时，学生头脑中有强烈的“以形助数”的想法，所以在求这个式子是几的平方时，很自然地说出（13+1）÷2=7。此时，教师及时追问：“最外层的13，与算式中奇数的个数有什么关系？”从而使学生建立尾数与项数之间关系的模型：（尾数+1）÷2=式子中奇数的个数。接着，教师出示三个习题以加深学生的理解：1+3+5……+21=（ ）?;1+3+5……+101= （ ）?;1+3+5……+（2n-1）=（ ）?。从具体到抽象，在加深理解“规律”的基础上，学生思维向高阶发展，体现出教学的深度，这是符合当前教学要求的。 三、深挖习题，使学生感受“以数释形”
学生在探究完尾数与项数之间的关系后，能初步体会到“形少数时难入微”的意义：只有“数”没有“形”，难直观;只有“形”没有“数”，难深入。在练习环节，教师可以放手让学生继续深入探究和体会“数”与“形”不是截然分开的，两者之间有着密切联系，鼓励学生从不同角度、运用不同方法来解决问题，为例2的学习埋下一个的伏笔。而练习二十二的第2题就能达到这样的效果。
在学生自主探究得出每个图形小圆片个数是“1+2+3……+n”后，出示“1+2+3+4+5+6+7+8……+100=？它是一个怎样的图形？”在前面的图形中，小圆片的个数用简单的加法就能得出答案，但这个问题对于学生来说比较困难。那是否有更简便的方法呢？当然，有个别学生脱口而出“首项+末项的和乘项数除以2”。但能否借用图形来思考，证明这个结论，就需要学生创造性地使用习题，结合本课内容深挖习题内涵。
此时，教师可以布置学习活动：“你能用图形来帮助解决这个问题吗？”引导学生从题中图形入手，将习题中原图形旋转后变成图2形状。图2中左图原图形的算式是1+2=3;右图原图形的算式是1+2+3=6。接着，教师追问：“图形旋转后你还能用算式表示这两个图形的原来小圆片的个数吗？”图形与算式的互相解析，一定程度上超越了学生的认知。在实际教学中，只有个别学生能根据引导完成旋转后的图形。在找到了图形旋转后的图形，学生借助直观图发现旋转后，一是可以运用“平行四边形的面积”来计算原来的小圆片数;二是可以根据“边长个数”相乘计算原来小圆片的个数，即左边图形旋转后算式为（1+2）×2÷2=3（个）;右边图形旋转后为（1+3）×3÷2=6（个）。因为旋转后有两个一样的图形，求原来图形的小圆片个数，所以除以2。到这里，适时的出示第n个图形旋转后形状（见图3）。学生根据刚才的经验很自然就能看图列出相应的式子：1+2+3……+n=（1+n）×n÷2。到这里，学生利用“形”完成了对等差数列求和公式的推导，也顺利解决了1+2……+100的问题。
直观图给求解抽象算式的任务指出了大方向[3]。正如20世纪伟大的数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中所谈到的：图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。在解决问题的过程中，几何直观有助于学生从整体上去研究，在应对复杂的数量关系时明确把握大方向。
数学课要变得有生命力，教师就要贴近学生视角，在课堂探究活动中积极滲透数学思维和数学本质。数学本身是认识、理解生活现象的一种由浅到深、由具体到抽象的认识方式，要培养的则是会主动进取、善于分享、生动活泼的人。
结 语
在小学阶段，数形结合贯穿、隐藏于许多知识点之中。教师要根据不同的知识模块进行分析、整合，并尊重学生自身的特点，从学生的视角挖掘并选择能体现数形结合思想方法的素材。在教学时，教师应以发展学生的核心素养为目的，寻找适合他们掌握数形结合方法的契合点，巧妙设计问题、挖掘教材，在一定程度上进行有深度的教学，真正帮助学生搭建起“数”与“形”之间的桥梁。
[参考文献]
刘加霞，刘琳娜.在认知冲突中体现感悟数形结合思想的内涵与价值[J].小学数学教师，2015（12）：49-52.
刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透（上）[J].小学教学（数学版），2008（04）：49-50.
孔凡哲. 关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》一个关键词的认识[A]. 全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2014年国际学术年会论文集[C].全国数学教育研究会：中国高教学会高等师范教育研究会数学教育会，2014：8.
作者简介：虢小鹏（1991.12—），男，湖北武汉人，本科学历，中小学二级教师，研究方向：小学数学。
关键词：核心素养;以形助数;以数释形;数形结合
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2020）36-0032-02
引 言
“数与形”是人教版小学数学六年级上册“数学广角”中的内容。该单元一共有2个例题，例1是“以形助数”体会数形相关;例2则是“以数解形”渗透极限思想。一般而言，本单元为1课时教学内容。在实际教学中，教师应引导学生在观察、实验、猜想、验证等活动中发展推理能力，使学生体会数形结合的数学思想。笔者认为，教师可以根据学生的实际特点，将本单元1课时内容一分为二，先探究例1，再探究例2，以求稳扎稳打、步步为营。
对于儿童来说，他们的数学思维正渐渐从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。六年级学生已经逐步学会了区分现象与本质、主要与次要的因素，可以初步尝试独立进行逻辑论证。但他们依然要借助相对直观、感性的经验来理解比较抽象的数学原理。对于本课的教学来说，教师要从儿童视角出发，逐步引导学生在明确规律的基础上初步感受并体验数形结合思想的内涵与价值，然后从整体上帮助学生理解数与形的密切相关性。
对于本课而言，教师很容易陷入“找规律”的怪圈，即引导学生探究和发现“正方形方格图”中蕴含的多种规律，借助图形让学生先从不同角度感知其中蕴含的规律，然后用不同的算式表示规律，并运用规律解决相关问题。很显然，本单元的重难点明显不在于规律的寻找上，而是让学生感受数形结合思想的内涵与价值。
一、数形结合思想的基本内涵
“数”与“形”可以说是数学的基本研究对象，贯穿于数学教学的始终。“数”表现的是抽象的，“形”则比较直观[1]。在实际教学过程中，教师需要设置一些有针对性的数学探究活动，“人为”地推动学生将二者建立联系，使其体会数与形的内涵与价值。在小学阶段的“数与形”学习中，学生应该经历一个有层次性、立体、逐渐深入的过程：一是在学习数和算式、方程等内容时，体会可以借助“形”来“视数”，将抽象的数量关系“可视化”，打开解决问题的突破口，有时甚至可以从“形”中直接“读”出答案，如借助“面积模型”理解分数及其运算含义;二是在图形几何学习中，在体会要更深入地理解图形的变化等情形时，可以借助数和算式来“释形”，这样更易透过现象看到本质，如面积（体积）公式的推导;三是在体会了数形结合的内涵后，能自然地使用这样的思想方法去解决相应的问题，感受其价值。
数形结合作为解决问题的重要策略，贯穿于整个数学学习阶段[2]。对于学生而言，这种思想的渗透、方法的指导不是一蹴而就的。要想养成这样解决问题的良好习惯，学生需要一定的时间积淀。在实践操作中，教师要让学生亲身感受到这种思想方法的优越性，努力将“遇到问题要尝试画图”这样想法深深印刻在学生脑海中。例如，在解决问题时，即使不是一道图形相关题，教师也可以引导学生通过画线段图表达题意，简化思考的难度，从而加深学生对题目的理解。
二、探究活动，让学生体验“以形助数”
在小学具体的学习活动中，在经过多种问题或情境体验后，学生对“数缺形时少直观”的理解较为深刻，但对于“形少数时难入微”的理解较少。究其原因，一是教材具体实例较少;二是部分教师在实际教学中会有意“避开”，所以学生在这方面的体验较为缺乏。笔者认为，在教学中，教师应深入研读教材、创新性地使用教材例题、习题，创设丰富的学习探究活动，从而加深学生对“以形助数”“以数释形”的理解。
在例1 的教学中，按照“L形”逐层将小正方形呈现给学生。在实际教学中，首先，教师会引导学生从不同角度观察“正方形方块图”。在教师的引导下，学生会发现可以用不同的数或算式表示图中的“方块数”，即“形”中有“数或算式”，写出的“数或算式”亦可以用“形”显现，初步感受到“数”与“形”紧密相关。其次，教师会从“找规律”的角度切入，让学生观察随着“形”的变化，“数或算式”也会发生相应变化，并且可以借助“形”的特征发现算式之间的关系，从而建立本例题的一般模型：从1开始n个连续奇数的和是n?。最后，教師会引导学生思考1+3+5+7+9+11+13 这个式子对应的图形是什么样子。学生很自然地会用“形” 来解决。但大部分学生会从图形整体上进行思考：1 是1个小正方形，1+3 是4个小正方形……以此类推，所以1+3+5+7+9+11+13 是由7×7，即49个小正方形组成的大正方形。
但也有个别学生是从最外层的“L形”来观察图形的（见图1），对应的式子中最后一个数“13”。横着的一排和竖着的一列相交处，有1个小正方形是重叠的，重复了。此时，学生头脑中有强烈的“以形助数”的想法，所以在求这个式子是几的平方时，很自然地说出（13+1）÷2=7。此时，教师及时追问：“最外层的13，与算式中奇数的个数有什么关系？”从而使学生建立尾数与项数之间关系的模型：（尾数+1）÷2=式子中奇数的个数。接着，教师出示三个习题以加深学生的理解：1+3+5……+21=（ ）?;1+3+5……+101= （ ）?;1+3+5……+（2n-1）=（ ）?。从具体到抽象，在加深理解“规律”的基础上，学生思维向高阶发展，体现出教学的深度，这是符合当前教学要求的。 三、深挖习题，使学生感受“以数释形”
学生在探究完尾数与项数之间的关系后，能初步体会到“形少数时难入微”的意义：只有“数”没有“形”，难直观;只有“形”没有“数”，难深入。在练习环节，教师可以放手让学生继续深入探究和体会“数”与“形”不是截然分开的，两者之间有着密切联系，鼓励学生从不同角度、运用不同方法来解决问题，为例2的学习埋下一个的伏笔。而练习二十二的第2题就能达到这样的效果。
在学生自主探究得出每个图形小圆片个数是“1+2+3……+n”后，出示“1+2+3+4+5+6+7+8……+100=？它是一个怎样的图形？”在前面的图形中，小圆片的个数用简单的加法就能得出答案，但这个问题对于学生来说比较困难。那是否有更简便的方法呢？当然，有个别学生脱口而出“首项+末项的和乘项数除以2”。但能否借用图形来思考，证明这个结论，就需要学生创造性地使用习题，结合本课内容深挖习题内涵。
此时，教师可以布置学习活动：“你能用图形来帮助解决这个问题吗？”引导学生从题中图形入手，将习题中原图形旋转后变成图2形状。图2中左图原图形的算式是1+2=3;右图原图形的算式是1+2+3=6。接着，教师追问：“图形旋转后你还能用算式表示这两个图形的原来小圆片的个数吗？”图形与算式的互相解析，一定程度上超越了学生的认知。在实际教学中，只有个别学生能根据引导完成旋转后的图形。在找到了图形旋转后的图形，学生借助直观图发现旋转后，一是可以运用“平行四边形的面积”来计算原来的小圆片数;二是可以根据“边长个数”相乘计算原来小圆片的个数，即左边图形旋转后算式为（1+2）×2÷2=3（个）;右边图形旋转后为（1+3）×3÷2=6（个）。因为旋转后有两个一样的图形，求原来图形的小圆片个数，所以除以2。到这里，适时的出示第n个图形旋转后形状（见图3）。学生根据刚才的经验很自然就能看图列出相应的式子：1+2+3……+n=（1+n）×n÷2。到这里，学生利用“形”完成了对等差数列求和公式的推导，也顺利解决了1+2……+100的问题。
直观图给求解抽象算式的任务指出了大方向[3]。正如20世纪伟大的数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中所谈到的：图形可以帮助我们发现、描述研究的问题，可以帮助我们寻求解决问题的思路，可以帮助我们理解和记忆得到的结果。在解决问题的过程中，几何直观有助于学生从整体上去研究，在应对复杂的数量关系时明确把握大方向。
数学课要变得有生命力，教师就要贴近学生视角，在课堂探究活动中积极滲透数学思维和数学本质。数学本身是认识、理解生活现象的一种由浅到深、由具体到抽象的认识方式，要培养的则是会主动进取、善于分享、生动活泼的人。
结 语
在小学阶段，数形结合贯穿、隐藏于许多知识点之中。教师要根据不同的知识模块进行分析、整合，并尊重学生自身的特点，从学生的视角挖掘并选择能体现数形结合思想方法的素材。在教学时，教师应以发展学生的核心素养为目的，寻找适合他们掌握数形结合方法的契合点，巧妙设计问题、挖掘教材，在一定程度上进行有深度的教学，真正帮助学生搭建起“数”与“形”之间的桥梁。
[参考文献]
刘加霞，刘琳娜.在认知冲突中体现感悟数形结合思想的内涵与价值[J].小学数学教师，2015（12）：49-52.
刘加霞.“数形结合”思想及其在教学中的渗透（上）[J].小学教学（数学版），2008（04）：49-50.
孔凡哲. 关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》一个关键词的认识[A]. 全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2014年国际学术年会论文集[C].全国数学教育研究会：中国高教学会高等师范教育研究会数学教育会，2014：8.
作者简介：虢小鹏（1991.12—），男，湖北武汉人，本科学历，中小学二级教师，研究方向：小学数学。