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抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，且新课的学习安排在高一上学期，学生的抽象思维能力还没有形成，解题时思维常常受阻，思路难以展开。而在高中阶段的各种考试甚至在高考中，都会出现这一题型，学生得分很低。在教学实践中，尝试对抽象函数的单调性和奇偶性的常见问题进行了整理、归类，大致有以下几种题型。
1. 判断单调性和奇偶性
（1）判断单调性。
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1.如果奇函数f（x） 在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3] 上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
（2）判断奇偶性。
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f（x） 与f（-x） 的关系。
例2.若函数y=f（x）（f（x）≠0） 与y=-f（x） 的图象关于原点对称，判断：函数y=f（x）是什么函数。
解：设y=f（x） 图象上任意一点为P（x0，y0 ）
y=f（x）与y=-f（x） 的图象关于原点对称，
∴P（x0，y0 ）关于原点的对称点（-x0，-y0 ） 在y=-f（x） 的图象上，
∴-y0=-f（-x0）
∴y0=f（-x0）
又 y0=-f（x0）
∴f（-x0）=f（x0）
即对于函数定义域上的任意x都有f（-x） =f（x），所以y=f（x） 是偶函数。
2. 证明单调性和奇偶性
（1）证明单调性。
例3.已知函数f（x）=g（x）-1g（x）+1 ，且f（x），g（x）定义域都是R，且g（x）>0， g（1） =2，g（x） 是增函数. g（m） · g（n）= g（m+n）（m、n∈R）
求证： f（x）是R上的增函数
解：设x1>x2
∵ g（x）是R上的增函数， 且g（x）>0
∴g（x1） > g（x2） >0
∴g（x1）+1 > g（x2）+1 >0
∴2g（x2）+1 > 2g（x1）+1 >0
∴2g（x2）+1 - 2g（x1）+1 >0
∴ f（x1）- f（x2）=g（x1）-1g（x1）+1 - g（x2）-1g（x2）+1 =1- 2g（x1）+1-（1- 2g（x2）+1） = 2g（x2）+1- 2g（x1）+1>0
∴ f（x1） >f（x2）
∴ f（x）是R上的增函数
（2）证明奇偶性。
例4.已知f（x） 的定义域为R，且对任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y） ，求证： f（x）是偶函数。
分析：在 f（xy）=f（x）+f（y） 中，令x=y=1 ，
得 f（1）=f（1）+f（1） =>f（1）=0
令x=y=-1 ，得f（1）=f（-1）+f（-1）=>f（-1）=0
于是f（-x）=f（-1.x） =f（-1）+f（x）=f（x）
故f（x） 是偶函数。
3. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例5.已知f（x） 是定义在（-1，1 ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f（a-2）-f（4-a2）<0 ，试确定a 的取值范围。
解： ∵f（x）是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
∴f（x）在（-1，0） 上是减函数，
由-1 （1）当a=2 时，
f（a-2）=f（4-a2）=f（0），不等式不成立。
（2）当 3 f（a-2）-1a2-4
解之得， 3 （3）当2 f（a-2）0 解之得，2 综上所述，所求a 的取值范围是（ 3，2）Y（2， 5） 。
4. 不等式
（1）解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
（2）讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
5. 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。
6. 综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ f”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。
以上所归纳的各种类型，是各类考试中频繁出现的热点问题，在平时的教学过程中引导学生理解透，归纳好，勤翻看，多思考，一定可以深化对这类问题的理解，进而培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，促进其它知识点的学习，真正达到触类旁通，举一反三的效果。
收稿日期：2013-05-14
1. 判断单调性和奇偶性
（1）判断单调性。
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1.如果奇函数f（x） 在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3] 上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
（2）判断奇偶性。
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f（x） 与f（-x） 的关系。
例2.若函数y=f（x）（f（x）≠0） 与y=-f（x） 的图象关于原点对称，判断：函数y=f（x）是什么函数。
解：设y=f（x） 图象上任意一点为P（x0，y0 ）
y=f（x）与y=-f（x） 的图象关于原点对称，
∴P（x0，y0 ）关于原点的对称点（-x0，-y0 ） 在y=-f（x） 的图象上，
∴-y0=-f（-x0）
∴y0=f（-x0）
又 y0=-f（x0）
∴f（-x0）=f（x0）
即对于函数定义域上的任意x都有f（-x） =f（x），所以y=f（x） 是偶函数。
2. 证明单调性和奇偶性
（1）证明单调性。
例3.已知函数f（x）=g（x）-1g（x）+1 ，且f（x），g（x）定义域都是R，且g（x）>0， g（1） =2，g（x） 是增函数. g（m） · g（n）= g（m+n）（m、n∈R）
求证： f（x）是R上的增函数
解：设x1>x2
∵ g（x）是R上的增函数， 且g（x）>0
∴g（x1） > g（x2） >0
∴g（x1）+1 > g（x2）+1 >0
∴2g（x2）+1 > 2g（x1）+1 >0
∴2g（x2）+1 - 2g（x1）+1 >0
∴ f（x1）- f（x2）=g（x1）-1g（x1）+1 - g（x2）-1g（x2）+1 =1- 2g（x1）+1-（1- 2g（x2）+1） = 2g（x2）+1- 2g（x1）+1>0
∴ f（x1） >f（x2）
∴ f（x）是R上的增函数
（2）证明奇偶性。
例4.已知f（x） 的定义域为R，且对任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y） ，求证： f（x）是偶函数。
分析：在 f（xy）=f（x）+f（y） 中，令x=y=1 ，
得 f（1）=f（1）+f（1） =>f（1）=0
令x=y=-1 ，得f（1）=f（-1）+f（-1）=>f（-1）=0
于是f（-x）=f（-1.x） =f（-1）+f（x）=f（x）
故f（x） 是偶函数。
3. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例5.已知f（x） 是定义在（-1，1 ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f（a-2）-f（4-a2）<0 ，试确定a 的取值范围。
解： ∵f（x）是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
∴f（x）在（-1，0） 上是减函数，
由-1
f（a-2）=f（4-a2）=f（0），不等式不成立。
（2）当 3
解之得， 3
4. 不等式
（1）解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
（2）讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
5. 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。
6. 综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ f”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。
以上所归纳的各种类型，是各类考试中频繁出现的热点问题，在平时的教学过程中引导学生理解透，归纳好，勤翻看，多思考，一定可以深化对这类问题的理解，进而培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，促进其它知识点的学习，真正达到触类旁通，举一反三的效果。
收稿日期：2013-05-14