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【摘要】图示具有高效传递信息、突显逻辑推理的特点，在小学阶段，图示符合小学生认知特点，因而更具高效性。数学素养对学生理解数学知识技能、体会数学本质、应用数学分析和解决问题都有重要的作用。通过图示教学有效提升数学素养，从数学思想、数学认知、自主成长开展实践探究。
【关键词】小学数学；图示；素养培养；实践探究
现代信息论表明，文字和语言能传递信息，而图文结合的图示，更能有效地传递。对于较复杂的信息，用大量的文字语言去说明，效率较低，效果不理想，而有时用简单的图示却能恰如其分地揭示知识与知识之间的联系，使人一目了然。但是，对于广大数学一线教师而言，图示教学的概念还比较模糊，图示教学的研究仍在继续深入。因此，下面就从“是什么”“为什么”“怎么做”三个方面对图示教学的概念内涵、现实意义和操作实践略陈管见。
一、是什么——概念内涵
（一）图示教学
图示方法是教师等人为地事前加工处理过的信息，转换成用浓缩的文字、直观的符号、简洁的线条，或者是将文字、符号、线条等组成具有逻辑推理指向的图示。
（二）数学图示教学
数学图示教学是教师结合数学学科的特点，将学科知识转换成更直观、易于理解的图示，对象包括数学中的各种概念、各种公式和各种理论。
二、为什么——现实意义
图示教学相较传统教学具备以下特点，这些特点体现了图示教学的现实意义。
（一） 符合认知规律
1.提高注意力
图示包含的图形、符号等元素具有思维指向功能，能够凝聚学生的注意力，使注意力不容易分散，眼观图示，耳听解说，心想内涵，图文、语言的结合解放了学生的眼、耳、心。小学生注意力集中的时间有限，课堂上利用好了无意注意，不仅提高了学习效率，还减轻了学生的学习负担。
2.降低记忆负担
图示往往把抽象的知识直观的呈现，抽象与直观的结合，符合学生的认知和记忆规律，在图示教学中用浓缩的语言和直观的符号构成知识网络，突显知识间的联系，从而更利于学生理解，减轻记忆负担。
（二） 高效传递信息
文字可以传递信息，而图文结合的图示可以更有效地传递信息。许多知识如果用文字去解释往往费时费力，效果不佳，而有时，一个简单的图示却能恰如其分地揭示知识的本质，一目了然。图示具有直观，包含信息量大的特点，有学者指出，有的图示板书，“越过”直线形文字语言思维的“障碍”，直接与人脑深层思维“挂钩”，免去语言，文字在头脑中“翻译”、转化程序，便于学生理解，接收信息，从而提高教学效率。
（三） 突显逻辑推理
1.展示思路清晰
图示直观的元素组合，展现抽象思维的过程，呈现了思维的方向。学生可以依图分析，依图导思，依图归纳，发展自主学习能力，教师可以依图讲解、依图提问、依图抓重点，使师生在课堂上思路清晰。
2.突出整体与部分的关系
在图示中可以用线段，箭头展现整体与部分的关系，展现演绎推理和归纳推理的过程。促使学生观察、归纳、分析、综合，形成良好的数学思维，渗透数学思想。
三、怎么做——实践探究
（一）着眼数学思想，引导学生自主感悟
1.着力“数学核心素养”——抽象
抽象是沟通现实生活与数学王国的桥梁，数学的概念，运算法则等无不通过抽象从生活中获得。史宁中教授认为“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”。抽象是在解决生活问题的过程中将繁杂的表象剥离，留下指向问题最关键的信息，把复杂的问题简单化、条理化。培养学生抽象的能力需要让学生经历抽象的过程，化繁为简。
案例1：抽象成线段图
例如，北师大三上《乘法》这一单元讲到几倍求和（差）应用题时，可以尝试用图示（如图1）抽象关键信息，进而表示数量关系。
案例2：抽象成表格
又例如，在北师大四下《歌手大赛》的估算例题中。
在信息比较多的情况下学生估算不知从何下手，这时如果利用图示将信息放在对应表格中，（如图2）。
经过实践，笔者发现把信息用图示呈现后可以自然地引导学生进行纵向与横向的比较：1.通过总分；2.分开比较相抵消，有利于开拓思维培养。
现在课标强调培养学生抽象的能力以及收集信息的能力，而这两者是密不可分的，抽象更像是一种方法，图示则是其中的一种加工处理方式。通过图示把信息加工处理，从而利于观察，研究，但恰恰是加工处理这部分是我们最容易忽略的。教师经常性演示或引导学生用图示法表达题意有利于培养学生的抽象及信息处理能力。
2.着力“数学核心素养”——推理
推理，是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。推理分为合情推理与演绎推理，其中合情推理的形式又分为归纳推理和类比推理。在当今信息化社会中，推理在生活中应用广泛。例如：根据天气预报信息决定出门装备、警察侦破案件、网络公司收集大数据分析、经济学家评估国家经济发展状况等都需要推理。因此，培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。
案例1：归纳推理
归纳推理，是从特殊到一般的推理方法。又分为完全归纳法和不完全归纳法，小学范围内更多讨论的是不完全归纳法，即通过部分去推测全部。归纳法在生活中的應用非常广泛，例如我们将经验进行提炼就是归纳。例如，有人在连续的几次吃海鲜中都发生了过敏的现象，我们就此可以归纳：这个人对海鲜过敏，需要忌口。在小学数学中，不少的知识如规律、公式、性质常常是通过一些特殊例子归纳的。
图示教学一方面把几个特殊的例子摆在一起对比，通过符号引导思考，从而更容易推导出预定目标；另一方面在符号的连接下形成一个整体，突显知识与知识间、例子与规律间的联系，加强理解，提高效率。 例如，在北师大五年级上册《3的倍数的特征》一课（如图3）。
把18、24、36、21、84、96几个数的个位上数字之和对比呈现，引导学生思考：这些能被3整除的数都有什么特征呢？通过方框、箭头等符号引导学生进行观察、比较、分析，从而归纳出3的倍数的特征。再进一步引导思考：怎么快速判断一个数能否被3整除，最后通过一些特例引导学生发现如果各位上数字之和还不能一下判断是否为3的倍数，还需要再做一次把各位上数字相加。图示板书为学生做归纳推理提供了很好的素材整合及方向引导，为学生自主学习提供友好的环境
又例如，在北师大四年级上册《大数的读作与写作》一课中（如图4）
把只有中间有零、只有末尾有零、中间末尾都有零的情况以图表形式呈现对比，在学生观察、读作的过程中引导学生思考，级中的零和级末的零怎么读？从而归纳出级中有0和级末有0的读法的共性特征。
案例2：类比推理
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法。通过图示直观展示出不同事物间的相似点，从何引导学生进行观察、猜想、验证，最终达成教学目标。
例如，在北师大六上《圆的面积》中用“去白法”求阴影部分的面积，可以设计如下图示教学（如图5）
通过对圆环面积公式的讨论，引导学生类比发现方形的、三角形的环状面积怎么求，在进一步发散思维，提出问题：你还想到什么图形的面积也可以用S大-S小的方法来求？最终再进行归纳，这些阴影面积都是用相似的方法求得，即“去白法”（口语化名字）。
又如，在北师大四上《多位数乘多位数》中，可以从已有旧知两位数乘三位数出发（如图6）。
在旧知复习的铺垫后，提出问题，那如果是三位数乘三位数呢？通过引导学生提出猜想乘数变成三位数，但是计算法则不变。进而再对竖式的意义进行讨论、分析，从而验证猜想。
案例3：演绎推理
演绎推理，即常说的三段论。《标准（2011版）》指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的，循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式……”在小学阶段，不需要过分强调大前提、小前提，可以用箭头代替，直观表示推理过程。
例如，在北师大六上《圆的面积》中，可以用图示帮助学生理解圆的面积的推导过程（如图7）。
3.着力“数学核心素养”——模型
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学的定理、公式、数量关系式等都是数学模型。通过图示的直观呈现，有利于理解符号化的表示。
例如，图示教学在长方形面积公式推导上（如图8）
又如，在拓展内容《扇形面积》中，可以做如下图示设计（如图9）
（二）着眼数学认知，促进学生自主建构
在数学认知的自主建构中，主要包含：数学概念的建构、数学规律的建构和数学关系的建构。图示具有的完整性、引导性的特点，有利于促进学生自主构建，发展自主学习能力。
案例1：構建数学概念
例如，在北师大四上《认识更大的数》中可以这样呈现数位顺序表（如图10）。
在五上《质数与合数》教学（下转第12版）（上接第11版）中，也可以通过图示引导学生对比质数与合数，构建自然数的概念（如图11）。
又例如，在四下的《三角形的分类中》，为了帮助学生理清三角形按角分类与特殊三角形 的重叠情况，笔者在课堂上设计如下图示（如图12）。
在学生的猜想与实际图形中（制作教具）激起矛盾，帮助学生自主构建等腰三角形与 等边三角形的可能。
案例2：发现数学规律
例如，在北师大五上《2和5的倍数的特征》中，可以设计如下图示教学（如图13），直观呈现能同时被2、5整除的数的特征，完善知识的建构。
在拓展教学，多位数乘以11的速算法中，可以通过图示引导学生发现规律（如图14）。
案例3：提炼数学关系
数学关系往往是抽象的，小学生的年龄特点决定其认知需要从具体到抽象循序渐进，通过图示呈现抽象的数学关系，促进学生的自主构建。
例如，在《加法与减法的关系》中，可以做这样设计。（如图15）
又例如，在四下《解方程》教学中（如图16），利用图示对比呈现帮助学生发现x作为被减数和减数时的方程解法。
（三）着力个人发展，推动学生自主成长
1.促进自主思考
自主思考，就是以学生为主体进行教学，培养学生独立思考、自主学习的能力。
例如，在笔者在四上第一单元学习之前，先与全班一同完成单元知识思维导图（如图18），学生在自己的笔记本上也做了思维导图，用自己的语言再做表达，并附上了简要的知识记录（如图19）。
2.促进合作交流
随着互联网的飞速发展，人类社会处于一个广泛的、频繁的交流合作中，教会学生如何表达自己也是我们需要考虑的。图示直观的特点决定其在交流中的便捷性，教者为学生做示范的同时也是一种方法的指导。
3.促进创新实践
创新实践的重点是培养学生具有好奇心和想象力，敢于质疑；善于在总结的基础上提出新观点、新想法，并进行理性分析等。图示作为一种开放的表达方式，鼓励学生用自己语言去表达，去发现。
在五上作业中有一道求切开后增加表面积的题目，学生用图示的方法分成三种情况进行讨论（如图20），清楚地呈现不同切法下截面的长宽对应数值。
也有通过交集图分析数量关系，从而解决问题。（如图21）
通过抽象成点和线进行分析。（如图22）
通过抽象成圆饼图进行数量关系分析（如图23）
参考文献：
[1]顾云峰.借力形象图示 助推思维发展[J].小学数学参考，2016（11）.
[2]叶高飞.试分析“数学图示”在小学数学教学中的应用[J].学科教学，2013（1）：71.
[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[4]马云鹏.小学数学教学中核心素养的培养[J].小学数学教育，2016（11）：3-5.
[5]王永春.学生发展核心素养视域下的小学数学核心素养[J].小学数学教育，2016（12）：3-5.
[本文是罗湖区教育科学规划2017年度立项课题（课题编号：2017026）]
【关键词】小学数学；图示；素养培养；实践探究
现代信息论表明，文字和语言能传递信息，而图文结合的图示，更能有效地传递。对于较复杂的信息，用大量的文字语言去说明，效率较低，效果不理想，而有时用简单的图示却能恰如其分地揭示知识与知识之间的联系，使人一目了然。但是，对于广大数学一线教师而言，图示教学的概念还比较模糊，图示教学的研究仍在继续深入。因此，下面就从“是什么”“为什么”“怎么做”三个方面对图示教学的概念内涵、现实意义和操作实践略陈管见。
一、是什么——概念内涵
（一）图示教学
图示方法是教师等人为地事前加工处理过的信息，转换成用浓缩的文字、直观的符号、简洁的线条，或者是将文字、符号、线条等组成具有逻辑推理指向的图示。
（二）数学图示教学
数学图示教学是教师结合数学学科的特点，将学科知识转换成更直观、易于理解的图示，对象包括数学中的各种概念、各种公式和各种理论。
二、为什么——现实意义
图示教学相较传统教学具备以下特点，这些特点体现了图示教学的现实意义。
（一） 符合认知规律
1.提高注意力
图示包含的图形、符号等元素具有思维指向功能，能够凝聚学生的注意力，使注意力不容易分散，眼观图示，耳听解说，心想内涵，图文、语言的结合解放了学生的眼、耳、心。小学生注意力集中的时间有限，课堂上利用好了无意注意，不仅提高了学习效率，还减轻了学生的学习负担。
2.降低记忆负担
图示往往把抽象的知识直观的呈现，抽象与直观的结合，符合学生的认知和记忆规律，在图示教学中用浓缩的语言和直观的符号构成知识网络，突显知识间的联系，从而更利于学生理解，减轻记忆负担。
（二） 高效传递信息
文字可以传递信息，而图文结合的图示可以更有效地传递信息。许多知识如果用文字去解释往往费时费力，效果不佳，而有时，一个简单的图示却能恰如其分地揭示知识的本质，一目了然。图示具有直观，包含信息量大的特点，有学者指出，有的图示板书，“越过”直线形文字语言思维的“障碍”，直接与人脑深层思维“挂钩”，免去语言，文字在头脑中“翻译”、转化程序，便于学生理解，接收信息，从而提高教学效率。
（三） 突显逻辑推理
1.展示思路清晰
图示直观的元素组合，展现抽象思维的过程，呈现了思维的方向。学生可以依图分析，依图导思，依图归纳，发展自主学习能力，教师可以依图讲解、依图提问、依图抓重点，使师生在课堂上思路清晰。
2.突出整体与部分的关系
在图示中可以用线段，箭头展现整体与部分的关系，展现演绎推理和归纳推理的过程。促使学生观察、归纳、分析、综合，形成良好的数学思维，渗透数学思想。
三、怎么做——实践探究
（一）着眼数学思想，引导学生自主感悟
1.着力“数学核心素养”——抽象
抽象是沟通现实生活与数学王国的桥梁，数学的概念，运算法则等无不通过抽象从生活中获得。史宁中教授认为“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”。抽象是在解决生活问题的过程中将繁杂的表象剥离，留下指向问题最关键的信息，把复杂的问题简单化、条理化。培养学生抽象的能力需要让学生经历抽象的过程，化繁为简。
案例1：抽象成线段图
例如，北师大三上《乘法》这一单元讲到几倍求和（差）应用题时，可以尝试用图示（如图1）抽象关键信息，进而表示数量关系。
案例2：抽象成表格
又例如，在北师大四下《歌手大赛》的估算例题中。
在信息比较多的情况下学生估算不知从何下手，这时如果利用图示将信息放在对应表格中，（如图2）。
经过实践，笔者发现把信息用图示呈现后可以自然地引导学生进行纵向与横向的比较：1.通过总分；2.分开比较相抵消，有利于开拓思维培养。
现在课标强调培养学生抽象的能力以及收集信息的能力，而这两者是密不可分的，抽象更像是一种方法，图示则是其中的一种加工处理方式。通过图示把信息加工处理，从而利于观察，研究，但恰恰是加工处理这部分是我们最容易忽略的。教师经常性演示或引导学生用图示法表达题意有利于培养学生的抽象及信息处理能力。
2.着力“数学核心素养”——推理
推理，是从一个或几个已有的命题得出另一个新命题的思维形式。推理分为合情推理与演绎推理，其中合情推理的形式又分为归纳推理和类比推理。在当今信息化社会中，推理在生活中应用广泛。例如：根据天气预报信息决定出门装备、警察侦破案件、网络公司收集大数据分析、经济学家评估国家经济发展状况等都需要推理。因此，培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。
案例1：归纳推理
归纳推理，是从特殊到一般的推理方法。又分为完全归纳法和不完全归纳法，小学范围内更多讨论的是不完全归纳法，即通过部分去推测全部。归纳法在生活中的應用非常广泛，例如我们将经验进行提炼就是归纳。例如，有人在连续的几次吃海鲜中都发生了过敏的现象，我们就此可以归纳：这个人对海鲜过敏，需要忌口。在小学数学中，不少的知识如规律、公式、性质常常是通过一些特殊例子归纳的。
图示教学一方面把几个特殊的例子摆在一起对比，通过符号引导思考，从而更容易推导出预定目标；另一方面在符号的连接下形成一个整体，突显知识与知识间、例子与规律间的联系，加强理解，提高效率。 例如，在北师大五年级上册《3的倍数的特征》一课（如图3）。
把18、24、36、21、84、96几个数的个位上数字之和对比呈现，引导学生思考：这些能被3整除的数都有什么特征呢？通过方框、箭头等符号引导学生进行观察、比较、分析，从而归纳出3的倍数的特征。再进一步引导思考：怎么快速判断一个数能否被3整除，最后通过一些特例引导学生发现如果各位上数字之和还不能一下判断是否为3的倍数，还需要再做一次把各位上数字相加。图示板书为学生做归纳推理提供了很好的素材整合及方向引导，为学生自主学习提供友好的环境
又例如，在北师大四年级上册《大数的读作与写作》一课中（如图4）
把只有中间有零、只有末尾有零、中间末尾都有零的情况以图表形式呈现对比，在学生观察、读作的过程中引导学生思考，级中的零和级末的零怎么读？从而归纳出级中有0和级末有0的读法的共性特征。
案例2：类比推理
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法。通过图示直观展示出不同事物间的相似点，从何引导学生进行观察、猜想、验证，最终达成教学目标。
例如，在北师大六上《圆的面积》中用“去白法”求阴影部分的面积，可以设计如下图示教学（如图5）
通过对圆环面积公式的讨论，引导学生类比发现方形的、三角形的环状面积怎么求，在进一步发散思维，提出问题：你还想到什么图形的面积也可以用S大-S小的方法来求？最终再进行归纳，这些阴影面积都是用相似的方法求得，即“去白法”（口语化名字）。
又如，在北师大四上《多位数乘多位数》中，可以从已有旧知两位数乘三位数出发（如图6）。
在旧知复习的铺垫后，提出问题，那如果是三位数乘三位数呢？通过引导学生提出猜想乘数变成三位数，但是计算法则不变。进而再对竖式的意义进行讨论、分析，从而验证猜想。
案例3：演绎推理
演绎推理，即常说的三段论。《标准（2011版）》指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的，循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式……”在小学阶段，不需要过分强调大前提、小前提，可以用箭头代替，直观表示推理过程。
例如，在北师大六上《圆的面积》中，可以用图示帮助学生理解圆的面积的推导过程（如图7）。
3.着力“数学核心素养”——模型
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学的定理、公式、数量关系式等都是数学模型。通过图示的直观呈现，有利于理解符号化的表示。
例如，图示教学在长方形面积公式推导上（如图8）
又如，在拓展内容《扇形面积》中，可以做如下图示设计（如图9）
（二）着眼数学认知，促进学生自主建构
在数学认知的自主建构中，主要包含：数学概念的建构、数学规律的建构和数学关系的建构。图示具有的完整性、引导性的特点，有利于促进学生自主构建，发展自主学习能力。
案例1：構建数学概念
例如，在北师大四上《认识更大的数》中可以这样呈现数位顺序表（如图10）。
在五上《质数与合数》教学（下转第12版）（上接第11版）中，也可以通过图示引导学生对比质数与合数，构建自然数的概念（如图11）。
又例如，在四下的《三角形的分类中》，为了帮助学生理清三角形按角分类与特殊三角形 的重叠情况，笔者在课堂上设计如下图示（如图12）。
在学生的猜想与实际图形中（制作教具）激起矛盾，帮助学生自主构建等腰三角形与 等边三角形的可能。
案例2：发现数学规律
例如，在北师大五上《2和5的倍数的特征》中，可以设计如下图示教学（如图13），直观呈现能同时被2、5整除的数的特征，完善知识的建构。
在拓展教学，多位数乘以11的速算法中，可以通过图示引导学生发现规律（如图14）。
案例3：提炼数学关系
数学关系往往是抽象的，小学生的年龄特点决定其认知需要从具体到抽象循序渐进，通过图示呈现抽象的数学关系，促进学生的自主构建。
例如，在《加法与减法的关系》中，可以做这样设计。（如图15）
又例如，在四下《解方程》教学中（如图16），利用图示对比呈现帮助学生发现x作为被减数和减数时的方程解法。
（三）着力个人发展，推动学生自主成长
1.促进自主思考
自主思考，就是以学生为主体进行教学，培养学生独立思考、自主学习的能力。
例如，在笔者在四上第一单元学习之前，先与全班一同完成单元知识思维导图（如图18），学生在自己的笔记本上也做了思维导图，用自己的语言再做表达，并附上了简要的知识记录（如图19）。
2.促进合作交流
随着互联网的飞速发展，人类社会处于一个广泛的、频繁的交流合作中，教会学生如何表达自己也是我们需要考虑的。图示直观的特点决定其在交流中的便捷性，教者为学生做示范的同时也是一种方法的指导。
3.促进创新实践
创新实践的重点是培养学生具有好奇心和想象力，敢于质疑；善于在总结的基础上提出新观点、新想法，并进行理性分析等。图示作为一种开放的表达方式，鼓励学生用自己语言去表达，去发现。
在五上作业中有一道求切开后增加表面积的题目，学生用图示的方法分成三种情况进行讨论（如图20），清楚地呈现不同切法下截面的长宽对应数值。
也有通过交集图分析数量关系，从而解决问题。（如图21）
通过抽象成点和线进行分析。（如图22）
通过抽象成圆饼图进行数量关系分析（如图23）
参考文献：
[1]顾云峰.借力形象图示 助推思维发展[J].小学数学参考，2016（11）.
[2]叶高飞.试分析“数学图示”在小学数学教学中的应用[J].学科教学，2013（1）：71.
[3]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.
[4]马云鹏.小学数学教学中核心素养的培养[J].小学数学教育，2016（11）：3-5.
[5]王永春.学生发展核心素养视域下的小学数学核心素养[J].小学数学教育，2016（12）：3-5.
[本文是罗湖区教育科学规划2017年度立项课题（课题编号：2017026）]