论文部分内容阅读
摘要：经典有限元法是一种在力学模型基础上进行近似计算的方法，近似计算的模型就是结构的离散化模型，通过单元划分、单元分析、整体分析，从而求出各节点的位移和应力。这种方法只能处理确定量，不能求解随机变量。随机有限元法充分考虑了各变量的随机性，它借用相应的确定性分析方法，显示处理任意随机参数，并求其对所求物理量的响应（位移方差、应力方差），这种方法的特点在于将随机参数空间离散化，并将随机输入变为一个依赖于有限元网格划分的随机变量。
关键词：离散化模型；位移与应力；随机变量；随机有限元法
1引言
在各种工程结构的力学分析中，对许多问题进行确定性分析是十分必要的。因此，基于变分原理的有限元法得到广泛的应用。然而，某些工程结构通常存在着材料的随机性，结构几何形状的随机性，外力边界条件的随机性和位移边界条件的随机性。对这些结构的力学分析，显然不能完全采用确定性分析的方法。因此，如何根据随机变量的特性，建立不同于确定性分析的变分原理和有限元法，是建立随机变分原理和随机有限元法来处理具有随机变量的力学问题的基础[1]。
2位移与应力的均值和方差
2.1 位移的均值与方差
3 随机有限元控制方程的建立
对于相关随机场，协方差矩阵将是一个满阵，其计算是相当复杂和费时的。关于这种不确定性问题的有限元分析，目前也在不断发展完善中。现在国内常用的随机有限元法主要有Taylor展开法（TSFEM）、摄动随机有限元法（PSFEM）、Neumann展开Monte-Carlo随机有限元法（NSFEM）等等。PSFEM和TSFEM法都属于一次二阶矩随机有限元范畴，下面分别对以上几种方法作以簡单的介绍。
3.5.1 Taylor展开随机有限元法（TSFEM）
该法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量均值点处进行Taylor展开，经适当处理得出所需计算公式。
从上述可以看出，TSFEM法公式推导简单、明了。这种方法的主要优点在于不需要知道多变量分布函数，而仅需要知道其一次二阶矩。值得注意的是由于TSFEM在控制量展开式中忽略多于二阶以上高次项，使TSFEM对随机变量的变异性有所限制，且无法计算响应量三阶以上的统计特性。如果随机变量的数目很多，计算二阶导数的计算量将十分庞大，有时可能不能实现。但由于Taylor展开法只需一次形成刚度矩阵，也只需一次计算刚度矩阵的逆，因此该法计算效率较高。
4.结论
经典有限元法是一种在力学模型基础上进行近似计算的方法，近似计算的模型就是结构的离散化模型，通过单元划分、单元分析、整体分析，从而求出各节点的位移和应力。这种方法只能处理确定量，不能求解随机变量。随机有限元法充分考虑了各变量的随机性，它借用相应的确定性分析方法，显示处理任意随机参数，并求其对所求物理量的响应（位移方差、应力方差），这种方法的特点在于将随机参数空间离散化，并将随机输入变为一个依赖于有限元网格划分的随机变量。本文针对工程结构通常存在着材料的随机性，结构几何形状的随机性，外力边界条件的随机性和位移边界条件的随机性，利用Taylor展开随机有限元法，建立随机有限元控制方程，为工程利用随机有限元定性分析提供了满足精度要求、易于实现的简化方法。
参考文献：
[1] Feng Y.S.，Moses F.，A method of structural optimization based on structural system reliability[J].Journal of Structural Mechan-ics.1986，14（4）：437～453
[2] 祁庆和.水工建筑物（第三版），北京，中国水利水电出版社，1998年
[3] 刘宁.可靠度随机有限元法及其工程应用，北京，中国水利水电出版社，2001年
关键词：离散化模型；位移与应力；随机变量；随机有限元法
1引言
在各种工程结构的力学分析中，对许多问题进行确定性分析是十分必要的。因此，基于变分原理的有限元法得到广泛的应用。然而，某些工程结构通常存在着材料的随机性，结构几何形状的随机性，外力边界条件的随机性和位移边界条件的随机性。对这些结构的力学分析，显然不能完全采用确定性分析的方法。因此，如何根据随机变量的特性，建立不同于确定性分析的变分原理和有限元法，是建立随机变分原理和随机有限元法来处理具有随机变量的力学问题的基础[1]。
2位移与应力的均值和方差
2.1 位移的均值与方差
3 随机有限元控制方程的建立
对于相关随机场，协方差矩阵将是一个满阵，其计算是相当复杂和费时的。关于这种不确定性问题的有限元分析，目前也在不断发展完善中。现在国内常用的随机有限元法主要有Taylor展开法（TSFEM）、摄动随机有限元法（PSFEM）、Neumann展开Monte-Carlo随机有限元法（NSFEM）等等。PSFEM和TSFEM法都属于一次二阶矩随机有限元范畴，下面分别对以上几种方法作以簡单的介绍。
3.5.1 Taylor展开随机有限元法（TSFEM）
该法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量均值点处进行Taylor展开，经适当处理得出所需计算公式。
从上述可以看出，TSFEM法公式推导简单、明了。这种方法的主要优点在于不需要知道多变量分布函数，而仅需要知道其一次二阶矩。值得注意的是由于TSFEM在控制量展开式中忽略多于二阶以上高次项，使TSFEM对随机变量的变异性有所限制，且无法计算响应量三阶以上的统计特性。如果随机变量的数目很多，计算二阶导数的计算量将十分庞大，有时可能不能实现。但由于Taylor展开法只需一次形成刚度矩阵，也只需一次计算刚度矩阵的逆，因此该法计算效率较高。
4.结论
经典有限元法是一种在力学模型基础上进行近似计算的方法，近似计算的模型就是结构的离散化模型，通过单元划分、单元分析、整体分析，从而求出各节点的位移和应力。这种方法只能处理确定量，不能求解随机变量。随机有限元法充分考虑了各变量的随机性，它借用相应的确定性分析方法，显示处理任意随机参数，并求其对所求物理量的响应（位移方差、应力方差），这种方法的特点在于将随机参数空间离散化，并将随机输入变为一个依赖于有限元网格划分的随机变量。本文针对工程结构通常存在着材料的随机性，结构几何形状的随机性，外力边界条件的随机性和位移边界条件的随机性，利用Taylor展开随机有限元法，建立随机有限元控制方程，为工程利用随机有限元定性分析提供了满足精度要求、易于实现的简化方法。
参考文献：
[1] Feng Y.S.，Moses F.，A method of structural optimization based on structural system reliability[J].Journal of Structural Mechan-ics.1986，14（4）：437～453
[2] 祁庆和.水工建筑物（第三版），北京，中国水利水电出版社，1998年
[3] 刘宁.可靠度随机有限元法及其工程应用，北京，中国水利水电出版社，2001年