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【摘要】结合“认识公顷”，以“基于长线活动开展前体验，构建深度学习”为主题进行教学实践研究，在大面积单位的教学中发展空间观点、落实核心素养。旨在通过一次长线前体验活动，一堂课堂学习结束后，孩子们闭上眼睛能想象出“公顷”大概是什么样子的，能回想起构建“公顷”概念的过程、方法，还能以此延伸联想到还将探索的未知领域……数学学习不断往深处生长、发展，学生的核心素养从中得以落实和发展。
【关键词】大面积单位教学 长线体验活动 表象 深度学习 空间观念 核心素养
曹培英老师说，小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。而空间观念的形成和发展离不开学生头脑中建立正确而丰富的表象的支撑，但像公顷、平方千米这样较大的面积单位的学习，课标在课程内容分析中仅以“知道面积单位平方千米、公顷”这样一句话作了简单的陈述。实际上，这两个看不见、摸不着的大面积单位，学生在日常生活中，缺少接触机会，所以相应的生活经验匮乏，再加上之前小面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）的学习方法（如摸一摸、找一找、做一做等）已不适合照搬。面对这样的现实问题，教师该如何展开教学呢？本文将试着结合我校教研组以“基于长线活动开展前体验，构建深度学习”为主题进行的教学实践研究，就“认识公顷”一课为例谈谈如何在大面积单位的教学中发展空间观点、落实核心素养。
一、开展长线活动，积累前体验
开发课前实践渠道，变“纸上谈兵”为现实空间里的实际应用，是促进小学生空间观念发展的有效策略，为此，我们结合教材、学生认知实际以及校园环境特征等因素，设计开发了系列长线体验活动。
1.回顾梳理，唤醒已有经验
“平方厘米”“平方分米”和“平方米”是三年级下学期学生已经学习的用于计量物体表面、平面图形以及小块土地面积的计量单位，我们的活动从组织孩子回顾梳理开始启程，让孩子们独立回忆填写这些面积单位的名称、字母表达、数学规定、典型例子、进率关系，并让孩子动手做一做“1平方厘米”“1平方分米”和“1平方米”，唤醒学生已有经验、清晰面积单位表象的同时，也很好地激发了学生的学习热情和动力；在梳理的过程中，感受面积单位的命名方式，根据规律试着创编新的面积单位，为后续大面积单位的学习作好铺垫、积累经验。
回顾阶段的活动，并非纯粹地“动手”，也并非旧知的简单回炉。“用自己喜欢的方式表示它们的关系”促使学生想到了用算式、用网络图、用方格示意图等不同的形式进行表征；“仔细观察，试着创编新的面积单位”这样的要求又促使学生结合自己整理出的面积单位，从命名方式的思考，到思考边长单位和面积单位之间的关系、边长和边长之间的关系等等，发现规律从而根据规律进行创编。这种伴随有思维参与的“动手”活动，更有利于学生养成深度学习的习惯。
2.实践活动，获取表象素材
（1）体验100平方米的大小
順着面积单位命名规律，孩子们自然想到了边长10米的正方形——“1平方十米”，也就是100平方米，这一新的面积单位可作为学习1公顷的过渡和参照。活动分成了两个层次：一个是由28个（身高140厘米左右）同学围成的近似100平方米的正方形；另外是在操场上围出精准的100平方米。同学们在围一围、量一量的过程中，形成了深刻而具体的100平方米大小的表象，这一表象便是学习公顷的一个良好中介。
（2）体验1公顷的大小
①校内1公顷，建立共有表象
带领孩子绕着校园内近似1公顷的正方形区域绕一圈，孩子们通过步测了解到这块区域的边长大约是100米，内部面积大约是10000平方米也就是1公顷，请孩子观察并描述这1公顷内所含的建筑、设施，说说对这片区域大小的感受，以此来建构孩子头脑中共有的1个1公顷表象。活动期间，在步长的测定以及每边步数的记录和边长推算等活动中，孩子们深刻地体会到了数学活动讲求真实、客观的特点，纷纷主动地进行方法、经验总结，自发利用课余时间反复测量多次获取数据，再取平均值求得每边长度。这种认真严谨、精益求精的学习品质在活动中得以彰显。
②校园外1公顷，丰富表象素材
发动学生利用双休，在父母陪同下来到大家熟识的“新福地广场”体验1公顷的大小。有了校园内的步测经验指导，孩子们在校园外的活动更得法了，带着活动手册或是亲子行、或是三两同伴行，认真地测量、记录、推算、观察，丰富了1公顷体验素材的同时又收获了户外活动的快乐、自主学习的成就感。
③身边的1公顷，估计验证强化表象
根据对校园里和新福地广场1公顷的体验，要求学生在自己熟悉的生活区域内找一块大约1公顷的地，并想办法加以验证。于是，孩子们便在小区内、小区周边、购物中心等测量体验了起来。有的因为估计很准而兴奋，有的带有遗憾却验证得出了估计的误差。
前期的实践活动，学生不仅因为“走出课堂”而兴奋，他们更应“统计知识”“步长测量”“估计验证”等方法在活动中的实际应用而雀跃。这样的活动在充分调动学生学习兴趣和积极性的同时，更好地引发了他们对大面积的关注，实践中的直观体验，拉近了知识和孩子之间的距离，大面积的学习不再是冷冰冰的告知、枯燥的单位换算和机械重复的面积计算，这种“用数学的眼光看世界”的学习方式让数学学习变得有温度起来。
二、聚焦课堂学习，建构“公顷”的空间观念
或许有人会说，在前期活动中，学生通过猜想、围一围、走一走等实践活动已经知道了什么是“公顷”，了解了1公顷的大小，甚至掌握了它和平方米的进率关系和换算方法，课堂上还要学些什么呢？其实，数学学习的过程，就像是一个“圆”不断放大的过程，后期课堂的学习，在前期学习的基础上不断兼容着已有，“放大”着已有。本堂课的重点和难点依然是对1公顷有多大的体验。为此，在前期实践体验的基础上，我们试图从以下几个方面寻求突破。 1.公亩学习为中介，习得方法
（1）现实——抽象，厘清关系
从平方米到100平方米，百进的关系过渡相对简单而且可视，从出示活动画面（28名同学围成的正方形）开始唤醒学生的实践经验，并将实物照片抽象成数学图形（正方形），在数学图形中推算公亩和平方米的进率关系。
（2）抽象——现实，想象大小
要求学生看着抽象的百进关系图，借助课堂现场学生自制的“1平方米”再次进行想象——这样的1平方米，每排连着摆10个，可以摆这样的10排，这就是我们当初操场上28位同学围成的正方形的大小——100平方米。
面对屏幕中不管是抽象的格子图还是实物照片，100平方米的大小都不是真實的大小，在厘清1平方米和100平方米关系的基础上，只有现实中的1平方米，将它投入头脑中的100平方米，闭眼回想100个1平方米的画面，才能更好地得出100平方米的画面感。
（3）参照——对比，建构表象
再借助头脑中100平方米的表象，和熟识的教室、会议室、标准篮球场作比较、推算，得出100平方米大约是2个教室的大小、100平方米大约是半个会议室的大小、100平方米大约是四分之一个篮球场的大小……这种将“100平方米”和这些现实原型建立起“刺激—反应（联想）”关系的过程就是学生建构起“100平方米”空间观念的过程。
（4）回顾——反思，总结方法
金斯伯格说过：“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这是学校应当教学生的东西。”课前、课内的结合，学生头脑中已经建构了深刻的“100平方米”的空间概念，请学生反思“你是如何将100平方米印入心中的”，学生通过回顾，总结出“选取一个熟悉的场地作为参照，进行比较，然后再通过合理推算，脑中想象”得到的。方法总结的过程中学生对自己的学习作出了梳理和检查，这样更清晰、更深入、更全面地思考使自身的思维发展达到了高一级的层次，也为后续的学习积累了经验。
2.公顷学习为核心，迁移方法
有了公亩学习这一基石，“选参照——作比较——巧推算——合理想象”方法迁移到“公顷”的认这套方法自然会被迁移到“公顷”的认识中来。
（1） 同桌合作，方法应用
这部分的学习便可将探索的空间交还给学生，教师仅需提供给孩子一些他们所需要的数据信息。孩子们自发地选择了围成的100平方米、教室、会议室、风雨操场、图书馆等等身边熟悉的场所作参照，进行推算比较，于是看不见摸不着的1公顷就变成了“大约1个标准足球场那么大”“大约是10个风雨操场那么大”“大约是50个会议室那么大”“有100个我们围成100平方米那么大”“大约是200个教室那么大”……
（2）用中求变，拓展宽度和深度
大面积单位的体验，无需精准，建立一个大概的空间观念即可，在建立了1公顷的表象后，要求学生估一估校园的面积大约有几公顷。学生自然想到借助已知的校园中的1公顷进行估计：有的孩子用手比划估计，也有的孩子在图纸上分割估计，得法的估计是方法的迁移应用。但由于参照物位置的特殊性，引发了学生进一步的思考——能不能更方便些？静思过后，“老师，我想把这个1公顷转个身后移一移，这样会更方便估计”。（如图）巧妙的办法赢得了同学的掌声和赞许，正是这种“长时间思考”引导着学生更清晰、更深入、更全面、更合理地去思考，从而活动了灵活巧妙的新方法。大面积单位的学习，发展学生的空间观念外，我们更多的是在教学中让孩子们积累一种活动经验、习得一种方法，也养成了一种深度思考的习惯。
3.科学视频为线，形成体系
任何一个不起眼的数学知识的背后，都蕴含着一个完整的知识体系。数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每节课教学的知识置于整体知识之中，注重知识的结构和体系，有利于让学生感受数学的整体性和系统性。首先，课堂教学中我利用科学小视频作为勾连整节课的线索，孕伏了面积单位的发展过程。其次，课尾，再引导学生将学过的面积单位进行梳理，将公顷纳入原有的面积单位的认知图中，形成新的认知结构。因此，符合学生形象思维的“阶梯形”图式生成时，面积单位间的关系也变得直观、明晰和富有趣味起来。当然，利用网络图，还可以适时引导学生将学习的触角延伸到“平方千米”上，本节课孩子获得的关于公顷的学习体验和学习方法、活动经验的积累，都是下节课认识平方千米时的重要而宝贵的资源，让数学学习变得有拾级而上的意趣。
一次长线前体验活动，一堂“认识公顷”的课堂学习结束后，我们的孩子闭上眼睛能想象出“公顷”大概是什么样子的，还能回想起构建“公顷”概念的过程、方法，然后他们还能以此延伸联想到我们还将探索的未知领域……数学学习不断往深处生长、发展，学生的核心素养才能得以落实和发展。
（作者单位： 江苏省常熟市崇文小学）
【关键词】大面积单位教学 长线体验活动 表象 深度学习 空间观念 核心素养
曹培英老师说，小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。而空间观念的形成和发展离不开学生头脑中建立正确而丰富的表象的支撑，但像公顷、平方千米这样较大的面积单位的学习，课标在课程内容分析中仅以“知道面积单位平方千米、公顷”这样一句话作了简单的陈述。实际上，这两个看不见、摸不着的大面积单位，学生在日常生活中，缺少接触机会，所以相应的生活经验匮乏，再加上之前小面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）的学习方法（如摸一摸、找一找、做一做等）已不适合照搬。面对这样的现实问题，教师该如何展开教学呢？本文将试着结合我校教研组以“基于长线活动开展前体验，构建深度学习”为主题进行的教学实践研究，就“认识公顷”一课为例谈谈如何在大面积单位的教学中发展空间观点、落实核心素养。
一、开展长线活动，积累前体验
开发课前实践渠道，变“纸上谈兵”为现实空间里的实际应用，是促进小学生空间观念发展的有效策略，为此，我们结合教材、学生认知实际以及校园环境特征等因素，设计开发了系列长线体验活动。
1.回顾梳理，唤醒已有经验
“平方厘米”“平方分米”和“平方米”是三年级下学期学生已经学习的用于计量物体表面、平面图形以及小块土地面积的计量单位，我们的活动从组织孩子回顾梳理开始启程，让孩子们独立回忆填写这些面积单位的名称、字母表达、数学规定、典型例子、进率关系，并让孩子动手做一做“1平方厘米”“1平方分米”和“1平方米”，唤醒学生已有经验、清晰面积单位表象的同时，也很好地激发了学生的学习热情和动力；在梳理的过程中，感受面积单位的命名方式，根据规律试着创编新的面积单位，为后续大面积单位的学习作好铺垫、积累经验。
回顾阶段的活动，并非纯粹地“动手”，也并非旧知的简单回炉。“用自己喜欢的方式表示它们的关系”促使学生想到了用算式、用网络图、用方格示意图等不同的形式进行表征；“仔细观察，试着创编新的面积单位”这样的要求又促使学生结合自己整理出的面积单位，从命名方式的思考，到思考边长单位和面积单位之间的关系、边长和边长之间的关系等等，发现规律从而根据规律进行创编。这种伴随有思维参与的“动手”活动，更有利于学生养成深度学习的习惯。
2.实践活动，获取表象素材
（1）体验100平方米的大小
順着面积单位命名规律，孩子们自然想到了边长10米的正方形——“1平方十米”，也就是100平方米，这一新的面积单位可作为学习1公顷的过渡和参照。活动分成了两个层次：一个是由28个（身高140厘米左右）同学围成的近似100平方米的正方形；另外是在操场上围出精准的100平方米。同学们在围一围、量一量的过程中，形成了深刻而具体的100平方米大小的表象，这一表象便是学习公顷的一个良好中介。
（2）体验1公顷的大小
①校内1公顷，建立共有表象
带领孩子绕着校园内近似1公顷的正方形区域绕一圈，孩子们通过步测了解到这块区域的边长大约是100米，内部面积大约是10000平方米也就是1公顷，请孩子观察并描述这1公顷内所含的建筑、设施，说说对这片区域大小的感受，以此来建构孩子头脑中共有的1个1公顷表象。活动期间，在步长的测定以及每边步数的记录和边长推算等活动中，孩子们深刻地体会到了数学活动讲求真实、客观的特点，纷纷主动地进行方法、经验总结，自发利用课余时间反复测量多次获取数据，再取平均值求得每边长度。这种认真严谨、精益求精的学习品质在活动中得以彰显。
②校园外1公顷，丰富表象素材
发动学生利用双休，在父母陪同下来到大家熟识的“新福地广场”体验1公顷的大小。有了校园内的步测经验指导，孩子们在校园外的活动更得法了，带着活动手册或是亲子行、或是三两同伴行，认真地测量、记录、推算、观察，丰富了1公顷体验素材的同时又收获了户外活动的快乐、自主学习的成就感。
③身边的1公顷，估计验证强化表象
根据对校园里和新福地广场1公顷的体验，要求学生在自己熟悉的生活区域内找一块大约1公顷的地，并想办法加以验证。于是，孩子们便在小区内、小区周边、购物中心等测量体验了起来。有的因为估计很准而兴奋，有的带有遗憾却验证得出了估计的误差。
前期的实践活动，学生不仅因为“走出课堂”而兴奋，他们更应“统计知识”“步长测量”“估计验证”等方法在活动中的实际应用而雀跃。这样的活动在充分调动学生学习兴趣和积极性的同时，更好地引发了他们对大面积的关注，实践中的直观体验，拉近了知识和孩子之间的距离，大面积的学习不再是冷冰冰的告知、枯燥的单位换算和机械重复的面积计算，这种“用数学的眼光看世界”的学习方式让数学学习变得有温度起来。
二、聚焦课堂学习，建构“公顷”的空间观念
或许有人会说，在前期活动中，学生通过猜想、围一围、走一走等实践活动已经知道了什么是“公顷”，了解了1公顷的大小，甚至掌握了它和平方米的进率关系和换算方法，课堂上还要学些什么呢？其实，数学学习的过程，就像是一个“圆”不断放大的过程，后期课堂的学习，在前期学习的基础上不断兼容着已有，“放大”着已有。本堂课的重点和难点依然是对1公顷有多大的体验。为此，在前期实践体验的基础上，我们试图从以下几个方面寻求突破。 1.公亩学习为中介，习得方法
（1）现实——抽象，厘清关系
从平方米到100平方米，百进的关系过渡相对简单而且可视，从出示活动画面（28名同学围成的正方形）开始唤醒学生的实践经验，并将实物照片抽象成数学图形（正方形），在数学图形中推算公亩和平方米的进率关系。
（2）抽象——现实，想象大小
要求学生看着抽象的百进关系图，借助课堂现场学生自制的“1平方米”再次进行想象——这样的1平方米，每排连着摆10个，可以摆这样的10排，这就是我们当初操场上28位同学围成的正方形的大小——100平方米。
面对屏幕中不管是抽象的格子图还是实物照片，100平方米的大小都不是真實的大小，在厘清1平方米和100平方米关系的基础上，只有现实中的1平方米，将它投入头脑中的100平方米，闭眼回想100个1平方米的画面，才能更好地得出100平方米的画面感。
（3）参照——对比，建构表象
再借助头脑中100平方米的表象，和熟识的教室、会议室、标准篮球场作比较、推算，得出100平方米大约是2个教室的大小、100平方米大约是半个会议室的大小、100平方米大约是四分之一个篮球场的大小……这种将“100平方米”和这些现实原型建立起“刺激—反应（联想）”关系的过程就是学生建构起“100平方米”空间观念的过程。
（4）回顾——反思，总结方法
金斯伯格说过：“真正的数学头脑是思维的头脑，是内省的头脑，这是学校应当教学生的东西。”课前、课内的结合，学生头脑中已经建构了深刻的“100平方米”的空间概念，请学生反思“你是如何将100平方米印入心中的”，学生通过回顾，总结出“选取一个熟悉的场地作为参照，进行比较，然后再通过合理推算，脑中想象”得到的。方法总结的过程中学生对自己的学习作出了梳理和检查，这样更清晰、更深入、更全面地思考使自身的思维发展达到了高一级的层次，也为后续的学习积累了经验。
2.公顷学习为核心，迁移方法
有了公亩学习这一基石，“选参照——作比较——巧推算——合理想象”方法迁移到“公顷”的认这套方法自然会被迁移到“公顷”的认识中来。
（1） 同桌合作，方法应用
这部分的学习便可将探索的空间交还给学生，教师仅需提供给孩子一些他们所需要的数据信息。孩子们自发地选择了围成的100平方米、教室、会议室、风雨操场、图书馆等等身边熟悉的场所作参照，进行推算比较，于是看不见摸不着的1公顷就变成了“大约1个标准足球场那么大”“大约是10个风雨操场那么大”“大约是50个会议室那么大”“有100个我们围成100平方米那么大”“大约是200个教室那么大”……
（2）用中求变，拓展宽度和深度
大面积单位的体验，无需精准，建立一个大概的空间观念即可，在建立了1公顷的表象后，要求学生估一估校园的面积大约有几公顷。学生自然想到借助已知的校园中的1公顷进行估计：有的孩子用手比划估计，也有的孩子在图纸上分割估计，得法的估计是方法的迁移应用。但由于参照物位置的特殊性，引发了学生进一步的思考——能不能更方便些？静思过后，“老师，我想把这个1公顷转个身后移一移，这样会更方便估计”。（如图）巧妙的办法赢得了同学的掌声和赞许，正是这种“长时间思考”引导着学生更清晰、更深入、更全面、更合理地去思考，从而活动了灵活巧妙的新方法。大面积单位的学习，发展学生的空间观念外，我们更多的是在教学中让孩子们积累一种活动经验、习得一种方法，也养成了一种深度思考的习惯。
3.科学视频为线，形成体系
任何一个不起眼的数学知识的背后，都蕴含着一个完整的知识体系。数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每节课教学的知识置于整体知识之中，注重知识的结构和体系，有利于让学生感受数学的整体性和系统性。首先，课堂教学中我利用科学小视频作为勾连整节课的线索，孕伏了面积单位的发展过程。其次，课尾，再引导学生将学过的面积单位进行梳理，将公顷纳入原有的面积单位的认知图中，形成新的认知结构。因此，符合学生形象思维的“阶梯形”图式生成时，面积单位间的关系也变得直观、明晰和富有趣味起来。当然，利用网络图，还可以适时引导学生将学习的触角延伸到“平方千米”上，本节课孩子获得的关于公顷的学习体验和学习方法、活动经验的积累，都是下节课认识平方千米时的重要而宝贵的资源，让数学学习变得有拾级而上的意趣。
一次长线前体验活动，一堂“认识公顷”的课堂学习结束后，我们的孩子闭上眼睛能想象出“公顷”大概是什么样子的，还能回想起构建“公顷”概念的过程、方法，然后他们还能以此延伸联想到我们还将探索的未知领域……数学学习不断往深处生长、发展，学生的核心素养才能得以落实和发展。
（作者单位： 江苏省常熟市崇文小学）