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上海市普通中小学课程的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展.高中阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，不同的人在数学上得到不同的发展，数学作业是重要的载体.
数学作业是数学教学中不可缺少的活动，是教师了解学生和检查教学效果的主导性活动实践.学生在完成作业时难免会出错的，甚至于我们教师在每届学生都会发现类似的问题.我们要进行认真的反思，错误为什么会出现呢？如何通过对错误的分析，日常教学中采取针对性的教学策略，如何充分利用学生的错误，挖掘错误的原因，举一反三，避免类似错误再次发生，笔者就高中数学作业错误进行了分析，并提出了教学对策.
一、高中数学作业错误的类型和原因
根据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（2004年10月第二版）和《2014全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册》的要求，数学科考试目标为：“考查考生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力.”
结合近年来各种数学作业和考试的情况，以及考试的三个层次及难度分类，将认知水平分为三个层次：记忆性水平、解释性理解水平和探究性理解水平.高中数学作业主要可以概括为下表情况：
认知水平及主要考点
序号
认知水平
基本特征
主要考点
1
记忆性水平
能识别或记住，在标准的情景中做简单的套用或模仿.
概念性问题，如基本概念、性质、公式等的记忆及套用.
2
解释性理解水平
明了知识本质，把简单变式进行等价转化，理解问题的本质，并分析和解决问题.
主要考察将各种形式的变式进行等价转化，再解决问题，得出结论.
3
探究性理解水平
能从实际问题抽象出数学模型或归纳假设进行探究.
主要考察理论联系实际和开放性、探究性题目.这类题目有较高的难度，需要理解问题的实质，将问题转化为数学模型，再用数学语言解答.
这些认知水平可以用下面的金字塔进行描述.记忆性知识是基础，是整个金字塔的基础.如果连基本的概念等都搞不清楚，就无从谈论解释和探究了.从这张图上，我们同时看到记忆和解释性理解所占有的比重，是整个数学的关键.
认知水平金字塔
每堂课后，按教学内容和教学目标布置适量的数学作业，每天按时完成，第二天教师批改，教师通过批改作业，发现错误.根据上面认知水平金字塔，笔者将高中数学作业错误的类型分为三类：
（一）记忆性水平的错误
高中数学教学中，涉及大量的概念和公式，由于其本身的抽象性和复杂性，学生会有认知方面的错误发生.正如心理学家盖耶所言：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错過最富有成效的学习时刻.”把学生课堂上出现的错误当作是一种生成性的教学资源，使学生在分析错误、改正错误的过程中，增进对数学知识的情感体验，加深对知识点的理解.
案例1已知a1=λ，an 1=23an n-4，bn=（-1）nan-3n 21，其中λ为实数，n为正整数.试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.
笔者原以为，学生将an 1代入到bn 1后，通过计算化简得出bn 1与bn的递推关系式即：bn 1=（-1）n 1[an 1-3（n 1） 21]=（-1）n 123an-2n 14=-23（-1）n（an-3n 21）=-23bn，然后计算b1=-（λ 18）.有一部分学生都认为数列{bn}是首项为b1=-（λ 18），公比为q=-23的等比数列.平时爱问问题的学生来到办公室，说：“老师，这一定是等比数列吗？”，我立即当场表扬这名同学，有想法，敢质疑，很好！敢于提出自己的见解.然后，我又问他，你认为怎样？他马上说出自己的想法，如果λ=-18，那么b1=0，通过bn 1与bn的递推关系式bn 1=-23bn，这样会得出数列{bn}每项都为0.0，0，0，…，0这个常数列，不是等比数列.如果λ≠-18，b1≠0由上式可知bn≠0，∴bn 1bn=-23（n为正整数）.课堂上让他在班级同学面前讲出这些，这种做法既表扬这名同学，更激励班级其他同学.合理地呈现学生典型的错误，暴露问题，引起共鸣.笔者平时的做法就是在课前把一些典型的错误记录下来，并且通过习题课的形式，在讲题时呈现，让学生寻找错误所在，起到更好的示范效果.
（二）解释性理解水平的错误
很多时候，学生在解题时出现困难，并不是因为题目太难，而是不能看出题目的要义，找不到解决问题的切入口，这是学生审题能力不强的表现.
案例2已知an=11 2 3 … n，求数列{an}的前n项和Sn.
我所任教的两个高三文科班级有近三分之一的学生没能完成本题，其中有些学生在写出S1=1，S2=S1 11 2=43，S3=S2 11 2 3=32…想通过前几项特殊值，去猜测Sn.由于规律不容易找，之后就没有下文了.为什么会出现这样的情况？笔者意识到，学生的读题习惯不好，理解题目的能力不强，尤其是在审题环节中，学生思维的逻辑性和条理性不够.笔者在讲评该题时引导学生反思：（1）能看懂题目的条件和要求的结论？（2）数列求和的常用方法有哪些？哪种方法可能适用于本题？（3）你做不下去的主要障碍是什么？能否对它进行适当地变形？变形后你有没有惊奇的发现？（4）现在你有什么样的感受或体会？
不仅要读懂题意明确要求，还要对题目所包含的信息加以分析，找到解决问题的突破口或切入点.教师在平时的教学中要充分重视理解题目这个关键性的环节，培养学生良好的审题习惯.像案例2这样，当学生的思维受阻时，要引导学生反思理解题目过程中的不足，理解题目所涉及的数学的知识点，重新找到解决问题的办法，让学生感受失而复得的成功喜悦.若能长期如此，一定能培养学生良好的习惯，让学生领悟审题的一般程序和方法，提高学生的理解题目的能力. （三）探究性理解水平的错误
叶澜教授曾提倡：“用动态生成的观念，重新全面地认识课堂教学，构建新的课堂教学观，使课堂焕发生命活力.”数学教学，注重问题设计的整体性、层次性和探究性，通过问题串的设计来体现低起点、小坡度、密台阶，符合学生的认知规律，提高分析问题和解决问题的能力.
案例3某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.试确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
设发行站的坐标为（x，y）（x，y为整数），则发行站到各零售点的距离为d.则d=2|x 2| 2|x-3| |x-4| |x-6| |y-1| |y-2| |y-3| |y-4| |y-5| |y-6|.这是一种绝对值型函数，虽然式子中有两个变量，但是这两个变量之间彼此独立，相互不受影响.可以分别对关于x和y的函数f（x）=2|x 2| 2|x-3| |x-4| |x-6|和g（y）=|y-1| |y-2| |y-3| |y-4| |y-5| |y-6|求最小值.对于绝对值函数f（x）和g（y），解决的一般方法是将函数绝对值的绝对号去掉，使之变成在区间上的分段函数.本题关键在建模后对函数模型的认识，如果被题目中含有两个自变量的函数形式吓住，这个问题就没有办法解决；如果能清楚地了解到这两个变量之间的独立性，问题也就迎刃而解.
多数同学建立数学模型后，不知道怎样处理这两个变量，被题目中含有两个变量的函数形式吓住，以至于建立模型后，也不知道接下来该怎样处理.还有就是有些同学不知道怎样建立模型，没能从实际问题抽象出数学模型.
二、针对高中数学作业错解的对策
在高中数学学习过程中，学生在平时的作业和训练中随时会出错，出错并不可怕，关键是如何对待这些错误，如何通过错误有效地教育或引导，激发学生积极思考，达到锻炼学生分析问题和解决问题的能力.“失败是成功之母”，错误即增长点.错解不可回避，要认真对待它，使之发挥正面作用.一般来说，我们应该在下面几个方面进行重点地关注.
1.平常教学过程中，在保证学科要求的前提下，重点加强记忆性水平和解释性理解水平的知识点学习，同时再进行探究性理解水平的知识点学习.数学练习基本是以这个目标进行设计的，只是改头换面罢了，其实质是不会变的，万变不離其宗.如果学生领悟和理解了，就会在很多情况下游刃有余.
案例4求椭圆x24 y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹？
课堂给学生介绍了用参数法解决此类题.在接下来的作业中，学生发现弦长端点都满足椭圆方程，代入再作差后得到斜率的关系，进而得出平行弦中点轨迹.当学生们对自己方法感到窃喜时，我提出了：这方法有没有哪里欠缺考虑了？有学生提出：该方法不能确保椭圆与弦所在的直线一定有两个交点.接下来学生补充到：那可以把求出的轨迹方程和椭圆联立求二次方程的判别式.通过这两种方法的对比，很多学生发现还是参数法好，不容易出错.
2.正确心态对待错误的发生.平时，面对学生的学习错误，不要过于批评，要鼓励其改正错误.对学生的错误进行惩罚等行为则是更不应该发生的.否则长期以往，学生会有一种学习的消极或恐惧心理，反而不利于学生的成长.当然，草率地对待错误，甚至不理会或放任学生的错误也会走向另外一个极端，也是不可取的.
3.将典型性错误作为例题进行讲解，作为知识点讲解的一部分.对这些频率发生较高的或具有普遍性的错误进行讲解，有利于大家在有限的时间里面都能够最高效益地学习.
三、高中数学作业错解的反思
高中数学是复杂而抽象的，学习过程中出现错误是正常的.老师要深入地研究教材，有的放矢地加强重点内容的学习，加强对错误的理解.利用错误进行教育或引导学生，起到对知识加深.让学生从正反两个方面对知识点加深理解，搞懂其中蕴含的数学哲理.
教师也要善于利用典型性错误来对同学进行教育.作为老师，我们应该以其独特的视角去反思我们的教学过程，发现错误的根源及错误的价值，把学生犯错的过程看作是一种尝试，将学生的错误转化为教学的巨大财富.
荷兰数学教育家弗赖登塔尔也曾经指出：反思是数学活动的核心和动力，可见反思的重要性.培养学生解后反思的习惯，要指导他们如何进行解后反思，教给他们解后反思的内容或着重点.题目做错了要反思，题目做正确了也要反思；课堂上要反思，课后也要反思；可以进行个人反思，也可以进行集体反思；可以进行口头反思，也可以进行笔头反思.只有这样，才能使学生在解后反思中，更加真切地领会题目中所涉及的基本知识、基本方法和基本思想，逐步掌握独立思考、自主探究、合作交流等重要的学习方法，也才能让学生深刻体会探究的乐趣，充分享受解题带来的成就感.
高质量、高效率的数学课，需要教师精心准备课堂上所讲的内容和课后配套的巩固性作业.课堂上纠正作业时，有效讲评，做到评讲通法，触类旁通，切实提升学生解题能力，让数学课堂真正更有效、有益.
数学作业是数学教学中不可缺少的活动，是教师了解学生和检查教学效果的主导性活动实践.学生在完成作业时难免会出错的，甚至于我们教师在每届学生都会发现类似的问题.我们要进行认真的反思，错误为什么会出现呢？如何通过对错误的分析，日常教学中采取针对性的教学策略，如何充分利用学生的错误，挖掘错误的原因，举一反三，避免类似错误再次发生，笔者就高中数学作业错误进行了分析，并提出了教学对策.
一、高中数学作业错误的类型和原因
根据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（2004年10月第二版）和《2014全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册》的要求，数学科考试目标为：“考查考生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力.”
结合近年来各种数学作业和考试的情况，以及考试的三个层次及难度分类，将认知水平分为三个层次：记忆性水平、解释性理解水平和探究性理解水平.高中数学作业主要可以概括为下表情况：
认知水平及主要考点
序号
认知水平
基本特征
主要考点
1
记忆性水平
能识别或记住，在标准的情景中做简单的套用或模仿.
概念性问题，如基本概念、性质、公式等的记忆及套用.
2
解释性理解水平
明了知识本质，把简单变式进行等价转化，理解问题的本质，并分析和解决问题.
主要考察将各种形式的变式进行等价转化，再解决问题，得出结论.
3
探究性理解水平
能从实际问题抽象出数学模型或归纳假设进行探究.
主要考察理论联系实际和开放性、探究性题目.这类题目有较高的难度，需要理解问题的实质，将问题转化为数学模型，再用数学语言解答.
这些认知水平可以用下面的金字塔进行描述.记忆性知识是基础，是整个金字塔的基础.如果连基本的概念等都搞不清楚，就无从谈论解释和探究了.从这张图上，我们同时看到记忆和解释性理解所占有的比重，是整个数学的关键.
认知水平金字塔
每堂课后，按教学内容和教学目标布置适量的数学作业，每天按时完成，第二天教师批改，教师通过批改作业，发现错误.根据上面认知水平金字塔，笔者将高中数学作业错误的类型分为三类：
（一）记忆性水平的错误
高中数学教学中，涉及大量的概念和公式，由于其本身的抽象性和复杂性，学生会有认知方面的错误发生.正如心理学家盖耶所言：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错過最富有成效的学习时刻.”把学生课堂上出现的错误当作是一种生成性的教学资源，使学生在分析错误、改正错误的过程中，增进对数学知识的情感体验，加深对知识点的理解.
案例1已知a1=λ，an 1=23an n-4，bn=（-1）nan-3n 21，其中λ为实数，n为正整数.试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.
笔者原以为，学生将an 1代入到bn 1后，通过计算化简得出bn 1与bn的递推关系式即：bn 1=（-1）n 1[an 1-3（n 1） 21]=（-1）n 123an-2n 14=-23（-1）n（an-3n 21）=-23bn，然后计算b1=-（λ 18）.有一部分学生都认为数列{bn}是首项为b1=-（λ 18），公比为q=-23的等比数列.平时爱问问题的学生来到办公室，说：“老师，这一定是等比数列吗？”，我立即当场表扬这名同学，有想法，敢质疑，很好！敢于提出自己的见解.然后，我又问他，你认为怎样？他马上说出自己的想法，如果λ=-18，那么b1=0，通过bn 1与bn的递推关系式bn 1=-23bn，这样会得出数列{bn}每项都为0.0，0，0，…，0这个常数列，不是等比数列.如果λ≠-18，b1≠0由上式可知bn≠0，∴bn 1bn=-23（n为正整数）.课堂上让他在班级同学面前讲出这些，这种做法既表扬这名同学，更激励班级其他同学.合理地呈现学生典型的错误，暴露问题，引起共鸣.笔者平时的做法就是在课前把一些典型的错误记录下来，并且通过习题课的形式，在讲题时呈现，让学生寻找错误所在，起到更好的示范效果.
（二）解释性理解水平的错误
很多时候，学生在解题时出现困难，并不是因为题目太难，而是不能看出题目的要义，找不到解决问题的切入口，这是学生审题能力不强的表现.
案例2已知an=11 2 3 … n，求数列{an}的前n项和Sn.
我所任教的两个高三文科班级有近三分之一的学生没能完成本题，其中有些学生在写出S1=1，S2=S1 11 2=43，S3=S2 11 2 3=32…想通过前几项特殊值，去猜测Sn.由于规律不容易找，之后就没有下文了.为什么会出现这样的情况？笔者意识到，学生的读题习惯不好，理解题目的能力不强，尤其是在审题环节中，学生思维的逻辑性和条理性不够.笔者在讲评该题时引导学生反思：（1）能看懂题目的条件和要求的结论？（2）数列求和的常用方法有哪些？哪种方法可能适用于本题？（3）你做不下去的主要障碍是什么？能否对它进行适当地变形？变形后你有没有惊奇的发现？（4）现在你有什么样的感受或体会？
不仅要读懂题意明确要求，还要对题目所包含的信息加以分析，找到解决问题的突破口或切入点.教师在平时的教学中要充分重视理解题目这个关键性的环节，培养学生良好的审题习惯.像案例2这样，当学生的思维受阻时，要引导学生反思理解题目过程中的不足，理解题目所涉及的数学的知识点，重新找到解决问题的办法，让学生感受失而复得的成功喜悦.若能长期如此，一定能培养学生良好的习惯，让学生领悟审题的一般程序和方法，提高学生的理解题目的能力. （三）探究性理解水平的错误
叶澜教授曾提倡：“用动态生成的观念，重新全面地认识课堂教学，构建新的课堂教学观，使课堂焕发生命活力.”数学教学，注重问题设计的整体性、层次性和探究性，通过问题串的设计来体现低起点、小坡度、密台阶，符合学生的认知规律，提高分析问题和解决问题的能力.
案例3某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点.试确定一个格点（除零售点外）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
设发行站的坐标为（x，y）（x，y为整数），则发行站到各零售点的距离为d.则d=2|x 2| 2|x-3| |x-4| |x-6| |y-1| |y-2| |y-3| |y-4| |y-5| |y-6|.这是一种绝对值型函数，虽然式子中有两个变量，但是这两个变量之间彼此独立，相互不受影响.可以分别对关于x和y的函数f（x）=2|x 2| 2|x-3| |x-4| |x-6|和g（y）=|y-1| |y-2| |y-3| |y-4| |y-5| |y-6|求最小值.对于绝对值函数f（x）和g（y），解决的一般方法是将函数绝对值的绝对号去掉，使之变成在区间上的分段函数.本题关键在建模后对函数模型的认识，如果被题目中含有两个自变量的函数形式吓住，这个问题就没有办法解决；如果能清楚地了解到这两个变量之间的独立性，问题也就迎刃而解.
多数同学建立数学模型后，不知道怎样处理这两个变量，被题目中含有两个变量的函数形式吓住，以至于建立模型后，也不知道接下来该怎样处理.还有就是有些同学不知道怎样建立模型，没能从实际问题抽象出数学模型.
二、针对高中数学作业错解的对策
在高中数学学习过程中，学生在平时的作业和训练中随时会出错，出错并不可怕，关键是如何对待这些错误，如何通过错误有效地教育或引导，激发学生积极思考，达到锻炼学生分析问题和解决问题的能力.“失败是成功之母”，错误即增长点.错解不可回避，要认真对待它，使之发挥正面作用.一般来说，我们应该在下面几个方面进行重点地关注.
1.平常教学过程中，在保证学科要求的前提下，重点加强记忆性水平和解释性理解水平的知识点学习，同时再进行探究性理解水平的知识点学习.数学练习基本是以这个目标进行设计的，只是改头换面罢了，其实质是不会变的，万变不離其宗.如果学生领悟和理解了，就会在很多情况下游刃有余.
案例4求椭圆x24 y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹？
课堂给学生介绍了用参数法解决此类题.在接下来的作业中，学生发现弦长端点都满足椭圆方程，代入再作差后得到斜率的关系，进而得出平行弦中点轨迹.当学生们对自己方法感到窃喜时，我提出了：这方法有没有哪里欠缺考虑了？有学生提出：该方法不能确保椭圆与弦所在的直线一定有两个交点.接下来学生补充到：那可以把求出的轨迹方程和椭圆联立求二次方程的判别式.通过这两种方法的对比，很多学生发现还是参数法好，不容易出错.
2.正确心态对待错误的发生.平时，面对学生的学习错误，不要过于批评，要鼓励其改正错误.对学生的错误进行惩罚等行为则是更不应该发生的.否则长期以往，学生会有一种学习的消极或恐惧心理，反而不利于学生的成长.当然，草率地对待错误，甚至不理会或放任学生的错误也会走向另外一个极端，也是不可取的.
3.将典型性错误作为例题进行讲解，作为知识点讲解的一部分.对这些频率发生较高的或具有普遍性的错误进行讲解，有利于大家在有限的时间里面都能够最高效益地学习.
三、高中数学作业错解的反思
高中数学是复杂而抽象的，学习过程中出现错误是正常的.老师要深入地研究教材，有的放矢地加强重点内容的学习，加强对错误的理解.利用错误进行教育或引导学生，起到对知识加深.让学生从正反两个方面对知识点加深理解，搞懂其中蕴含的数学哲理.
教师也要善于利用典型性错误来对同学进行教育.作为老师，我们应该以其独特的视角去反思我们的教学过程，发现错误的根源及错误的价值，把学生犯错的过程看作是一种尝试，将学生的错误转化为教学的巨大财富.
荷兰数学教育家弗赖登塔尔也曾经指出：反思是数学活动的核心和动力，可见反思的重要性.培养学生解后反思的习惯，要指导他们如何进行解后反思，教给他们解后反思的内容或着重点.题目做错了要反思，题目做正确了也要反思；课堂上要反思，课后也要反思；可以进行个人反思，也可以进行集体反思；可以进行口头反思，也可以进行笔头反思.只有这样，才能使学生在解后反思中，更加真切地领会题目中所涉及的基本知识、基本方法和基本思想，逐步掌握独立思考、自主探究、合作交流等重要的学习方法，也才能让学生深刻体会探究的乐趣，充分享受解题带来的成就感.
高质量、高效率的数学课，需要教师精心准备课堂上所讲的内容和课后配套的巩固性作业.课堂上纠正作业时，有效讲评，做到评讲通法，触类旁通，切实提升学生解题能力，让数学课堂真正更有效、有益.