在高中数学中，数形结合思想占据着极其重要的地位，其本质是“数”与“形”之间的相互转换。数形结合思想就是将数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法。根据需要，可把量的问题转化为图的问题去研究，或者把图形问题转化为数量关系问题去研究。数形结合在数学解题过程中有重要的指导意义，它不仅可以简洁地使一些题目得到解决，使复杂、抽象的问题具体化、简单化，同时还可以开拓解题思路，运用“以数解形”“以形助数”的方法优化解题途径，为研究和探求数学问题提供鲜明和创新的思路。在解答数学问题时，有效运用数形结合思想，将“数”和“形”有机结合起来，便可以达到快速、巧妙、精确解题的目的。现结合具体例题，谈谈数形结合思想的应用。
　　一，有关动曲线与定曲线的问题
　　例1 已知函数 若 ，则a的取值范围是（）。
　　A.
　　B.
　　C.[-2，1]
　　D.[-2，0]
　　解析：函数 的图像如图1所示。
　　当x≤0时，由g’（x）=2x-2，得曲线g（x） =X²-2x在原点（O，0）处的切线的斜率为k=g’（O）=-2，则-2≤a≤O时，|f（x）|≥ax恒成立。
　　当r>0时，若直线y=ax与曲线g（x）=ln（x 1）有公共点，则O　　.
　　综上所述，a的取值范围为[-2，O]。
　　二.函数的奇偶性问题
　　例2 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x 2），当x∈[1，3]时，f（x）=2-|x-2|，则（）。
　　A.
　　B.f（sin l>f（cos l）
　　C.f（tan 3）　　D.f（sin 2）　　解析：由f（x）=f（x 2），得函数f（x）的周期为2，则可画出它的大致图像（如图2）。
　　由|sin 2|、|cos 2 |均属于区间（O，1），且|sin 2|>|cos 2|，函数y=f（x）在（0，1）上单调递减，得f（sin 2）　　三、函数、方程的零点个数问题
　　例3 已知函数 有下列关于函数y=f[f（x）] 1的零点个数的判断，正确的是（）。
　　A.当k>0时有3个零点，当k<0时有2个零点
　　B.当k>0时有4个零点，当k<0时有1个零点
　　C.无论k为何值，均有2个零点
　　D.无论k为何值，均有4个零点
　　解析：（1）当k>0时，函数f（x）的图像如图3所示。由f[f（x）] 1=O，得f[f（z）]=-1，则 或f（x）=t₂∈（o，1）。
　　由f（x） =t₁，得存在两个零点x₁、X₂；由f（x）=t₂，得存在两个零点X₃、X₄。
　　此时共存在4个零点。
　　（2）当k<0时，函数f（x）的图像如图4所示。由f[f（x）] 1=O，得，f[f（x）]=-1，则f（x）=t∈（O，1），此时仅有1个零点xo。
　　应选B。
　　四.几何概型问题
　　例4 向平面区域 ，o≤y≤1）内随机投入一点，则该点落在曲线（下转第18页）这个数字说明，死海的水面在过去40年里正以每年0.5m的速度（现在还有水位每年下降Im的说法）在下降。
　　X³（O≤z≤1），
　　下方的概率为
　　。
　　解析：作出图形（如图5）。
　　平面区域 的面积为
　　由图5得曲线y=X³（O≤z≤1），
　　与x轴围成的区域可分为两部分，分别记其面积为
　　所求概率为
　　五.解析几何中的最值问题
　　例5 （1）在直线l：3x-y-l=0上求一点P，使点P到点A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。
　　（2）在直线：3x-y-l=0上求一点M，使点M到点A（4，1）和B（O，4）的距离之差最大。
　　解析：如图6。
　　（1）点A（4，1）和C（3，4）在直线l：3x-y-l=0的同侧。
　　易得点c关于直线l的对称点为 。
　　直线AC.的方程为19x 17y-93=0。
　　联立19x 17y-93=0和3x-y-1=o，可得点 。
　　（2）点A（4，1）和B（O，4）在直线l：3x-y-l=O的两侧。
　　易得点B关于直线l：3x-y-l=0的对称点为B₁（3，3）。
　　直线AB₁的方程为2x y-9=0。
　　联立2x y-9=O和3x-y-1=0，可得点M（2，5）。
　　六，立体几何问题
　　例6 一个四面体相对的棱长度分别相等，分别为 ，则该四面体的体积为
　　。
　　解析：如图7，构造一长方体ABCD-A₁8₁C₁D₁。
　　设四面体AB₁D₁C三组相对的A棱的长度分别为 ，长方体的棱长分别为x、y、z。