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[摘 要]通过对罗斯·李·芬尼《进行曲》《都很孤独》、博尔科姆《镜子》以及巴托克《小宇宙》（No.141、144）这五首钢琴小曲乐谱的图形化分析，认为上述作品充分体现了对称思维在二十世纪现代音乐创作中的重要性，并将其对称思维的具体运用概括为单音轴心对称、纵向双音轴心对称、纵向移动轴心对称和纵向双音移动轴心对称与黄金分割比例的结合。
[关键词]对称思维；单音轴心对称；纵向双音轴心对称；纵向移动轴心对称；黄金分割比例
音乐作品的结构比例一般可分为对称性和非对称性两大类。对称性也称为镜像结构，由倒影、逆行等作曲技术发展而来，是对音高和曲式结构进行组织布局的作曲技术和作曲思维的结合体；而非对称性可以指前短后长、前长后短或按照某种数列原理来结构音乐的作曲思维。①
晚期浪漫主义时代以来，功能性和声体系在乐曲的结构组织上失去核心地位，从趋于瓦解调性到十二音序列彻底瓦解调性的过程中，对称思维在音乐创作中的重要性逐渐显现。对此所作的研究，国内以中央音乐学院姚恒璐和郭新教授为代表②，他们均强调用图形化分析的手段来研究这一重要的作曲思维如何体现于作品之中。本文即是笔者就读中央音乐学院期间在郭新教授“现代音乐分析方法”课上的结业论文，选取美国作曲家罗斯·李·芬尼、博尔科姆以及匈牙利作曲家巴托克的五首钢琴作品为例，通过图形化分析方法扼要讨论现代作曲家在音乐创作中运用对称思维手法的具体技术与结构性意义。
一、单音轴心对称
罗斯·李·芬尼（Ross Lee Finney，1906～1997）是美国著名作曲家和作曲教师，20世纪早期和后期先锋派之间的传承人物③，也是乔治·克伦姆（George Crumb）在密西根大学攻读博士学位期间的作曲老师。1950年左右，他开始转向序列音乐写作④，十二音钢琴小品集《24首钢琴创意曲》（24 Piano Inventions，1956）也即这一时期之作，下文以这部曲集中的两首作品为例分析其中的单音轴心对称手法。
《进行曲》（March）在结构上是一个带有尾声的复乐段，1～8小节为第一句，9～18小节是第二句，尾声在第19～25小节。全曲主题是大致由半音、全音构成的十二音列：C、G、bA、bG、F、bE、E、D、bD、B、bB、A，见谱例1。
谱例1 芬尼《进行曲》的主题十二音列
首先，第一句和第二句是斜向对称关系，在第二句时右手的旋律移至左手，并以中央C为轴心音做倒影进行。其中4～8小节与12～15小节都是横向轴心对称结构，轴心是四分音符的休止符，而6～8小节与14～15小节分别是4～5与12～13小节的逆行（见谱例2）。在此过程中第一句的左手声部与第二句的右手声部同样按照对称关系进行发展，但为了避免呆板，芬尼并没有让它的节奏和音型都十分严格，而是加以变奏和同音反复进行。
谱例2 芬尼《进行曲》1～15小节斜向对称关系图示
随后，第16～18小节是第二句的扩充，其中第17～18小节以C音上方三全音#F音为轴心音构成纵向轴心对称关系（见谱例3）。
谱例3 芬尼《进行曲》第二句扩充部分的纵向轴心对称关系
最后，尾聲部分开始于19小节，此时左手用原型变奏形式完全重复了主题十二音列。而在全曲的倒数三小节（23～25小节），左右手先后出现以C音为轴心的五度音程C—G和F—C（见图示1），这与乐曲的起始形成呼应，即无论从主题还是轴心音上，都起到了再现的作用。此曲虽短，但运用的镜像对称手法囊括了斜向对称、横向对称和纵向对称等。
C
F
轴心C—————
G
C
图示1 芬尼《进行曲》第23-25小节音高结构图示
《都很孤独》（All Alone）更为短小，全曲仅14小节，是由两句加尾声构成的单乐段。第1～4小节为第一句，5～8小节为第二句，9～14小节是尾声。全曲以A为调中心音，其中前4小节出现的主题旋律仍然是按照十二音列来创作的，分别为：A、bB、bA、G、F、bG、bE、E、C、#C、B、D（见谱例4）。前八小节是左右手纯八度齐奏，用中弱的力度表现悲伤安静的情绪，5～8小节是1～4小节的逆行，并以第5小节第一拍的休止符为轴心使前后构成了横向对称关系。
谱例4 芬尼《都很孤独》的主题十二音列及横向轴心对称关系
乐曲尾声颇有新意，以和音的形式再现了主题的十二音列。在低声部从第8小节延续过来的八度A音保持不动的背景情况下，上声部用很弱的力度先后出现了三个相对独立的和音，其中第9小节再现了第1、2小节，第10小节再现了第3、4小节的前半拍，第11、12小节再现了第4小节的后半拍（见谱例5）。全曲最后在低声部与之呼应的三次重复的八度A中结束。整首作品短小精悍，材料节简，前呼后应，是对称结构的典型代表作品。
谱例5 芬尼《都很孤独》尾声部分
二、纵向双音轴心对称
威廉·博尔科姆（William Bolcom 1938-）是美国作曲家、钢琴家。其创作类型十分广泛，音乐作品具有强烈的戏剧性和无调性，甚至在作品中带有表现主义风格的影子。摘得1988年普利策音乐大奖的《12首新钢琴练习曲》（12 New Etudes for Piano）是他创作于1977至1986年间的作品集，该曲集兼具技巧性和音乐性的双重训练意图，每首练习曲皆可谓精致的小品。这里仅选取其中的第三首《镜子》（Mirrors）来做分析，该曲大致可以分成六句：
乐句 一 二 三 四 五 六
小节数 1～13 14～29 30～39 40～61 62～77 78～95
全曲建立在以bE/E双音为轴心音的纵向轴心对称关系中，轴心音贯穿全曲（见谱例6），尽管作曲家在音高上运用了极大跳进及短促的节奏，但他始终把这个轴心音作为“镜子”进行严格的倒影模仿。力度上每句几乎都是由弱到强再回到弱，全曲最强达到fff，而最弱时甚至是ppppp，力度对比富有戏剧性。 谱例6 博尔科姆《镜子》音高走向及纵向轴心对称
第一句左、右手从错位的十六分音符开始，以D/F（与轴心双音bE/E上下分别相差小二度）作为全曲最主要的音高进行发展，通过ff最后以pp的力度回到D/F主音上。第二句变成以错位的八分音符开始，到第20小节，左右手变为同节奏同时进行，音符由疏到密，最后在第25小节引入内声部相差十五度的轴心音bE/E作为持续音，在缓慢渐弱中结束此句。第三句在第30小节直接从轴心音开始，在第31和33小节分别加入了持续音bD/#F和B/#G，两手的音高距离也越来越远。从第四句开始，左、右手声部在节奏上同步，密度上也由松到紧，用级进进行的方式把音乐推向高潮，此时右手声部的音高为G—A—bB—C—#C，左手声部纵向对称为C—bB—A—G—#F，从第54小节开始两手在相距六个八度的主音D/F上同时出现五个小节的颤音进行，力度很弱，最后通过一个小节的突强回归到轴心音bE/E上。第五句从上一句的结束音直接开始，从弱到强、由慢到快左右手交替进行，音高上均为严格的纵向轴心对称，在第69小节处达到全曲高潮。第六句音乐回归平静，音高上从轴心音开始，力度上也从pp最后慢慢渐弱到ppppp，全曲最后一个和音同时出现了主音D/F和轴心音bE/E，既是回归亦是收束。
三、纵向单音移动轴心对称
匈牙利现代音乐领袖巴托克（Béla Bartók，1881～1945）创作于1926年，1932～1939年的钢琴练习曲集《小宇宙》（Microcosms）被认为是20世纪音乐作曲技术的“小百科全书”，它充分展现了巴托克在挖掘民间曲调的同时对音乐各个方面的拓展性实验。《小宇宙》第141首《主题与倒影》（Subject and Reflection）在结构上具有回旋曲式的特点，但主题循环出现时调中心音富于变化，其建立在bB—D—#F—bB的大三度循环结构中。与传统对位法中的倒影对位有所区别，作曲家将旋律与其倒影分别置于外声部，且绝大部分情况下都是同时出现的，而内声部只是倒影的中心轴，并以持续音的形式存在。
该曲属于典型的纵向移动轴心对称，总体上严谨地遵循了对比、统一的原则。从图示2中可以看出，在主题与插部交替进行的每个部分中，轴心音频繁移动，主题每次重复时轴心音规律性地向上方移高大三度，从bB音开始最后回到bB轴心音，而各阶段插部与主题的轴心音均相差小二度。
图示2 巴托克《主题与倒影》曲式结构图式
本曲主题呈示段（1～14小节）是由强弱对比明显的两个平行乐句构成的平行乐段。曲调带有匈牙利民间音乐风格，左、右手内声部的持续音为bB纯八度音程，外声部为严格的倒影模仿，轴心音为bB。按照严格对称的原则推算轴心音应为E，不过根据厄诺·兰德威（Ern Lendvai）的轴心理论{1}，因bB音与E音是三全音关系的轴心两级音，可以互换或互为支持，其对称结构的性质不变，因此音区的安排并不影响轴心音的确定，并且依据乐曲的整体进行规律，以bB音为轴心音更能表明创作构思，见谱例7。
谱例7 巴托克《主题与倒影》主題与纵向轴心对称的轴心音
其后，主题第一次变奏时，速度、节拍均与主题一致，但长度缩减为主题的前7小节，轴心音也变化为主题轴心音bB音的上方大三度D音，节奏上虽然左手比右手晚半拍出现，但两手的主要部分依然是同时进行的。主题第二次变奏时，速度变慢，节拍复杂，轴心音变动至A1段轴心音的上方大三度#F音上。主题第三次变奏时，轴心音、速度、节拍均回归主题A段，情绪更加高涨，在第70小节左右手分别同时向下、向上扩张八度，且相差一拍出现时，这使第三插部中半拍的错拍时值进一步扩大，并逐渐形成全曲的高潮。
第一插部节拍固定在2/4拍，速度加快，左右手同时进入，以B音为轴心音即主题轴心音的上方小二度音，强弱交替以及音乐情绪上的变化与主题形成了明显的对比。第二插部速度为■=164，回到2/4拍，轴心音变为A1段轴心音的上方小二度bE音，此段一直为弱奏，是通过第30小节的材料发展而成。第三插部的速度、拍号与第二插部一致，材料上左手几乎都运用了四分音符的持续进行，不一样的是左手整体比右手晚半拍出现。
尾声部分节拍依然变化较多，左右手回归同时演奏。音高则再现了主题动机材料并在不同八度上进行重复和扩展，轴心音移至bB/bC音，这两个音正是主题段落的轴心音bB与第一插部的轴心音B，形成首尾呼应关系（见谱例8），最后以bB音收束全曲。
谱例8 《主题与倒影》尾声前4小节及轴心音
总之，主题与插部在节拍、节奏上明显不同，主题每次重现均采用多次更换节拍的手法，遵循动力发展的原则，而插部则是在单一的2/4拍上进行；速度上主题和插部的速度安排既在整体上做出区分，又在各自的内部相对统一。
四、 纵向双音移动轴心对称与黄金分割比例的结合
巴托克《小宇宙》第144首《小二度、大七度》（Minor Seconds，Major Sevenths）在音高设计上不仅完美地对小二度、大七度音程材料进行发展，且使用了以#G/A为轴心音的纵向对称结构（见谱例9、10），尽管中间也有出现轴心音移动的现象，但从首尾音高和整体的音乐进行中可以看出全曲是以#G/A为主要轴心音（见图示3）。
谱例9 巴托克《小二度、大七度》1～4小节及轴心音
谱例10 巴托克《小二度、大七度》68～70小节尾声及轴心音
图示3 巴托克《小二度、大七度》全曲轴心音的变化轨迹
除了纵向双音移动轴心对称手法的运用，该曲的结构特点还在于使用黄金分割比例布局。黄金分割比例可以用a/b=（a+b）/a来解释，a是某一单位的大部分（0.618），b是小部分（0.382），而a+b是单位的整体（1）{1}。以下，依轴心音的移动或织体的变化为依据，将全曲分为六个层次（见图示4）。 第一层次（1～70小节）的前部分最后三小节用下行大三度的移动轴心音#C/D、A/bB、F/#F和音区的向外扩张引入43小节之后稳定的轴心音bA/A，完全符合顺行黄金分割点，即70小节×0.618≈43小节。
第一层次前部分（1～42小节）同样具有顺行黄金分割的特征，形成第二层次，此时轴心音保持F/#F不动，依25小节后的织体转变作出分割。依据轴心变化，第二层次的前部分以第15小节为黄金分割点，即形成第三层次：前部分左、右手声部大多采用同向进行，轴心音移动较频；后部分以左、右手声部倒影模仿为多，轴心音相对稳定。同理，第四层次从第8小节开始轴心音开始移动，与前7小节的稳定轴心音形成对比，与黄金分割比例吻合。
第一层次后部分虽然轴心音没有任何变化，但仍然可以依据织体变化将其划分成两段，视为第五层次，该部分运用逆行黄金分割：（70-42）×0.382+42≈52，前短后长，其中前部分（43～51小节）的内声部是以bA/A为轴心音的持续音进行，两个外声部互为倒影，后部分52～70小节的音高则在倒影模仿的基础上加入大跳和级进进行。第五层次后半部分还可以再分成两个部分，形成第六层次。与逆行黄金分割比例计算出的从第58小节开始稍有出入，从第61小节开始到曲终是全曲的再现部分，运用变化和装饰的手法再现了乐曲1～7小节，不仅大量使用三十二分音符节奏的琶音进行，而且在织体上与前部分（52～60小节）的柱式和音形成对比。
总之，这首作品既在曲式结构上以43小节为轴构成顺向、逆向黄金分割的镜像结构，即第二、三、四层与第五、六层次的对称关系，同时在各个层次内部均从音高布局上体现了纵向双音轴心对称关系。
五、结语
本文对芬尼、博尔科姆、巴托克的五首钢琴作品做图形化分析，意在说明在音高、节奏、速度、力度甚至是表情的对称思维在20世纪音乐创作中由简至繁的体现。所涉作品中运用的对称思维手法分别是罗斯·李·芬尼的纵向、斜向和横向单音轴心对称手法，博尔科姆的纵向双音轴心对称以及巴托克的纵向单音移动轴心对称和纵向双音移动对称。三位作曲家的对称思维手法互不相同、各有特色，表现出简洁有效且富有设计感的形式美学。并且，本文分析的五首作品在运用对称思维手法创作的同时适时地打破严格对称带来的呆板，将理性逻辑和感性思维有机融合，音乐更加富有意趣和生机。尤其是巴托克的作品还结合了顺向、逆向黄金分割比例构成的横向镜像结构。
當然，对称思维手法并非仅限于本文所论述的种类，尚有旋转对称、多重轴心对称等，这些较为复杂的对称思维在现代作品中的显度有待进一步的“个案”分析。
参考文献：
[1] 姚恒璐. 现代音乐分析方法教程[M].长沙：湖南文艺出版社，2003.
[2] 郭新. 纵向轴心镜像结构——对称思维在二十世纪音乐中的运用方式之一[J].黄钟，2010（2）.
[3] 汪胜付. 巴托克《小宇宙》第一百四十一首《主题与倒影》[J].滁州师专学报，2003（3）.
[4] 蒋奕菲. 镜像结构研究[D].上海音乐学院，2010.
[5] 荣扬. 近现代音乐作品中的对称艺术[D].武汉音乐学院，2006.
[6] 吴凡. 威廉·博尔科姆《12首新钢琴练习曲》的
风格与演奏研究[D].上海音乐学院，2010.
[关键词]对称思维；单音轴心对称；纵向双音轴心对称；纵向移动轴心对称；黄金分割比例
音乐作品的结构比例一般可分为对称性和非对称性两大类。对称性也称为镜像结构，由倒影、逆行等作曲技术发展而来，是对音高和曲式结构进行组织布局的作曲技术和作曲思维的结合体；而非对称性可以指前短后长、前长后短或按照某种数列原理来结构音乐的作曲思维。①
晚期浪漫主义时代以来，功能性和声体系在乐曲的结构组织上失去核心地位，从趋于瓦解调性到十二音序列彻底瓦解调性的过程中，对称思维在音乐创作中的重要性逐渐显现。对此所作的研究，国内以中央音乐学院姚恒璐和郭新教授为代表②，他们均强调用图形化分析的手段来研究这一重要的作曲思维如何体现于作品之中。本文即是笔者就读中央音乐学院期间在郭新教授“现代音乐分析方法”课上的结业论文，选取美国作曲家罗斯·李·芬尼、博尔科姆以及匈牙利作曲家巴托克的五首钢琴作品为例，通过图形化分析方法扼要讨论现代作曲家在音乐创作中运用对称思维手法的具体技术与结构性意义。
一、单音轴心对称
罗斯·李·芬尼（Ross Lee Finney，1906～1997）是美国著名作曲家和作曲教师，20世纪早期和后期先锋派之间的传承人物③，也是乔治·克伦姆（George Crumb）在密西根大学攻读博士学位期间的作曲老师。1950年左右，他开始转向序列音乐写作④，十二音钢琴小品集《24首钢琴创意曲》（24 Piano Inventions，1956）也即这一时期之作，下文以这部曲集中的两首作品为例分析其中的单音轴心对称手法。
《进行曲》（March）在结构上是一个带有尾声的复乐段，1～8小节为第一句，9～18小节是第二句，尾声在第19～25小节。全曲主题是大致由半音、全音构成的十二音列：C、G、bA、bG、F、bE、E、D、bD、B、bB、A，见谱例1。
谱例1 芬尼《进行曲》的主题十二音列
首先，第一句和第二句是斜向对称关系，在第二句时右手的旋律移至左手，并以中央C为轴心音做倒影进行。其中4～8小节与12～15小节都是横向轴心对称结构，轴心是四分音符的休止符，而6～8小节与14～15小节分别是4～5与12～13小节的逆行（见谱例2）。在此过程中第一句的左手声部与第二句的右手声部同样按照对称关系进行发展，但为了避免呆板，芬尼并没有让它的节奏和音型都十分严格，而是加以变奏和同音反复进行。
谱例2 芬尼《进行曲》1～15小节斜向对称关系图示
随后，第16～18小节是第二句的扩充，其中第17～18小节以C音上方三全音#F音为轴心音构成纵向轴心对称关系（见谱例3）。
谱例3 芬尼《进行曲》第二句扩充部分的纵向轴心对称关系
最后，尾聲部分开始于19小节，此时左手用原型变奏形式完全重复了主题十二音列。而在全曲的倒数三小节（23～25小节），左右手先后出现以C音为轴心的五度音程C—G和F—C（见图示1），这与乐曲的起始形成呼应，即无论从主题还是轴心音上，都起到了再现的作用。此曲虽短，但运用的镜像对称手法囊括了斜向对称、横向对称和纵向对称等。
C
F
轴心C—————
G
C
图示1 芬尼《进行曲》第23-25小节音高结构图示
《都很孤独》（All Alone）更为短小，全曲仅14小节，是由两句加尾声构成的单乐段。第1～4小节为第一句，5～8小节为第二句，9～14小节是尾声。全曲以A为调中心音，其中前4小节出现的主题旋律仍然是按照十二音列来创作的，分别为：A、bB、bA、G、F、bG、bE、E、C、#C、B、D（见谱例4）。前八小节是左右手纯八度齐奏，用中弱的力度表现悲伤安静的情绪，5～8小节是1～4小节的逆行，并以第5小节第一拍的休止符为轴心使前后构成了横向对称关系。
谱例4 芬尼《都很孤独》的主题十二音列及横向轴心对称关系
乐曲尾声颇有新意，以和音的形式再现了主题的十二音列。在低声部从第8小节延续过来的八度A音保持不动的背景情况下，上声部用很弱的力度先后出现了三个相对独立的和音，其中第9小节再现了第1、2小节，第10小节再现了第3、4小节的前半拍，第11、12小节再现了第4小节的后半拍（见谱例5）。全曲最后在低声部与之呼应的三次重复的八度A中结束。整首作品短小精悍，材料节简，前呼后应，是对称结构的典型代表作品。
谱例5 芬尼《都很孤独》尾声部分
二、纵向双音轴心对称
威廉·博尔科姆（William Bolcom 1938-）是美国作曲家、钢琴家。其创作类型十分广泛，音乐作品具有强烈的戏剧性和无调性，甚至在作品中带有表现主义风格的影子。摘得1988年普利策音乐大奖的《12首新钢琴练习曲》（12 New Etudes for Piano）是他创作于1977至1986年间的作品集，该曲集兼具技巧性和音乐性的双重训练意图，每首练习曲皆可谓精致的小品。这里仅选取其中的第三首《镜子》（Mirrors）来做分析，该曲大致可以分成六句：
乐句 一 二 三 四 五 六
小节数 1～13 14～29 30～39 40～61 62～77 78～95
全曲建立在以bE/E双音为轴心音的纵向轴心对称关系中，轴心音贯穿全曲（见谱例6），尽管作曲家在音高上运用了极大跳进及短促的节奏，但他始终把这个轴心音作为“镜子”进行严格的倒影模仿。力度上每句几乎都是由弱到强再回到弱，全曲最强达到fff，而最弱时甚至是ppppp，力度对比富有戏剧性。 谱例6 博尔科姆《镜子》音高走向及纵向轴心对称
第一句左、右手从错位的十六分音符开始，以D/F（与轴心双音bE/E上下分别相差小二度）作为全曲最主要的音高进行发展，通过ff最后以pp的力度回到D/F主音上。第二句变成以错位的八分音符开始，到第20小节，左右手变为同节奏同时进行，音符由疏到密，最后在第25小节引入内声部相差十五度的轴心音bE/E作为持续音，在缓慢渐弱中结束此句。第三句在第30小节直接从轴心音开始，在第31和33小节分别加入了持续音bD/#F和B/#G，两手的音高距离也越来越远。从第四句开始，左、右手声部在节奏上同步，密度上也由松到紧，用级进进行的方式把音乐推向高潮，此时右手声部的音高为G—A—bB—C—#C，左手声部纵向对称为C—bB—A—G—#F，从第54小节开始两手在相距六个八度的主音D/F上同时出现五个小节的颤音进行，力度很弱，最后通过一个小节的突强回归到轴心音bE/E上。第五句从上一句的结束音直接开始，从弱到强、由慢到快左右手交替进行，音高上均为严格的纵向轴心对称，在第69小节处达到全曲高潮。第六句音乐回归平静，音高上从轴心音开始，力度上也从pp最后慢慢渐弱到ppppp，全曲最后一个和音同时出现了主音D/F和轴心音bE/E，既是回归亦是收束。
三、纵向单音移动轴心对称
匈牙利现代音乐领袖巴托克（Béla Bartók，1881～1945）创作于1926年，1932～1939年的钢琴练习曲集《小宇宙》（Microcosms）被认为是20世纪音乐作曲技术的“小百科全书”，它充分展现了巴托克在挖掘民间曲调的同时对音乐各个方面的拓展性实验。《小宇宙》第141首《主题与倒影》（Subject and Reflection）在结构上具有回旋曲式的特点，但主题循环出现时调中心音富于变化，其建立在bB—D—#F—bB的大三度循环结构中。与传统对位法中的倒影对位有所区别，作曲家将旋律与其倒影分别置于外声部，且绝大部分情况下都是同时出现的，而内声部只是倒影的中心轴，并以持续音的形式存在。
该曲属于典型的纵向移动轴心对称，总体上严谨地遵循了对比、统一的原则。从图示2中可以看出，在主题与插部交替进行的每个部分中，轴心音频繁移动，主题每次重复时轴心音规律性地向上方移高大三度，从bB音开始最后回到bB轴心音，而各阶段插部与主题的轴心音均相差小二度。
图示2 巴托克《主题与倒影》曲式结构图式
本曲主题呈示段（1～14小节）是由强弱对比明显的两个平行乐句构成的平行乐段。曲调带有匈牙利民间音乐风格，左、右手内声部的持续音为bB纯八度音程，外声部为严格的倒影模仿，轴心音为bB。按照严格对称的原则推算轴心音应为E，不过根据厄诺·兰德威（Ern Lendvai）的轴心理论{1}，因bB音与E音是三全音关系的轴心两级音，可以互换或互为支持，其对称结构的性质不变，因此音区的安排并不影响轴心音的确定，并且依据乐曲的整体进行规律，以bB音为轴心音更能表明创作构思，见谱例7。
谱例7 巴托克《主题与倒影》主題与纵向轴心对称的轴心音
其后，主题第一次变奏时，速度、节拍均与主题一致，但长度缩减为主题的前7小节，轴心音也变化为主题轴心音bB音的上方大三度D音，节奏上虽然左手比右手晚半拍出现，但两手的主要部分依然是同时进行的。主题第二次变奏时，速度变慢，节拍复杂，轴心音变动至A1段轴心音的上方大三度#F音上。主题第三次变奏时，轴心音、速度、节拍均回归主题A段，情绪更加高涨，在第70小节左右手分别同时向下、向上扩张八度，且相差一拍出现时，这使第三插部中半拍的错拍时值进一步扩大，并逐渐形成全曲的高潮。
第一插部节拍固定在2/4拍，速度加快，左右手同时进入，以B音为轴心音即主题轴心音的上方小二度音，强弱交替以及音乐情绪上的变化与主题形成了明显的对比。第二插部速度为■=164，回到2/4拍，轴心音变为A1段轴心音的上方小二度bE音，此段一直为弱奏，是通过第30小节的材料发展而成。第三插部的速度、拍号与第二插部一致，材料上左手几乎都运用了四分音符的持续进行，不一样的是左手整体比右手晚半拍出现。
尾声部分节拍依然变化较多，左右手回归同时演奏。音高则再现了主题动机材料并在不同八度上进行重复和扩展，轴心音移至bB/bC音，这两个音正是主题段落的轴心音bB与第一插部的轴心音B，形成首尾呼应关系（见谱例8），最后以bB音收束全曲。
谱例8 《主题与倒影》尾声前4小节及轴心音
总之，主题与插部在节拍、节奏上明显不同，主题每次重现均采用多次更换节拍的手法，遵循动力发展的原则，而插部则是在单一的2/4拍上进行；速度上主题和插部的速度安排既在整体上做出区分，又在各自的内部相对统一。
四、 纵向双音移动轴心对称与黄金分割比例的结合
巴托克《小宇宙》第144首《小二度、大七度》（Minor Seconds，Major Sevenths）在音高设计上不仅完美地对小二度、大七度音程材料进行发展，且使用了以#G/A为轴心音的纵向对称结构（见谱例9、10），尽管中间也有出现轴心音移动的现象，但从首尾音高和整体的音乐进行中可以看出全曲是以#G/A为主要轴心音（见图示3）。
谱例9 巴托克《小二度、大七度》1～4小节及轴心音
谱例10 巴托克《小二度、大七度》68～70小节尾声及轴心音
图示3 巴托克《小二度、大七度》全曲轴心音的变化轨迹
除了纵向双音移动轴心对称手法的运用，该曲的结构特点还在于使用黄金分割比例布局。黄金分割比例可以用a/b=（a+b）/a来解释，a是某一单位的大部分（0.618），b是小部分（0.382），而a+b是单位的整体（1）{1}。以下，依轴心音的移动或织体的变化为依据，将全曲分为六个层次（见图示4）。 第一层次（1～70小节）的前部分最后三小节用下行大三度的移动轴心音#C/D、A/bB、F/#F和音区的向外扩张引入43小节之后稳定的轴心音bA/A，完全符合顺行黄金分割点，即70小节×0.618≈43小节。
第一层次前部分（1～42小节）同样具有顺行黄金分割的特征，形成第二层次，此时轴心音保持F/#F不动，依25小节后的织体转变作出分割。依据轴心变化，第二层次的前部分以第15小节为黄金分割点，即形成第三层次：前部分左、右手声部大多采用同向进行，轴心音移动较频；后部分以左、右手声部倒影模仿为多，轴心音相对稳定。同理，第四层次从第8小节开始轴心音开始移动，与前7小节的稳定轴心音形成对比，与黄金分割比例吻合。
第一层次后部分虽然轴心音没有任何变化，但仍然可以依据织体变化将其划分成两段，视为第五层次，该部分运用逆行黄金分割：（70-42）×0.382+42≈52，前短后长，其中前部分（43～51小节）的内声部是以bA/A为轴心音的持续音进行，两个外声部互为倒影，后部分52～70小节的音高则在倒影模仿的基础上加入大跳和级进进行。第五层次后半部分还可以再分成两个部分，形成第六层次。与逆行黄金分割比例计算出的从第58小节开始稍有出入，从第61小节开始到曲终是全曲的再现部分，运用变化和装饰的手法再现了乐曲1～7小节，不仅大量使用三十二分音符节奏的琶音进行，而且在织体上与前部分（52～60小节）的柱式和音形成对比。
总之，这首作品既在曲式结构上以43小节为轴构成顺向、逆向黄金分割的镜像结构，即第二、三、四层与第五、六层次的对称关系，同时在各个层次内部均从音高布局上体现了纵向双音轴心对称关系。
五、结语
本文对芬尼、博尔科姆、巴托克的五首钢琴作品做图形化分析，意在说明在音高、节奏、速度、力度甚至是表情的对称思维在20世纪音乐创作中由简至繁的体现。所涉作品中运用的对称思维手法分别是罗斯·李·芬尼的纵向、斜向和横向单音轴心对称手法，博尔科姆的纵向双音轴心对称以及巴托克的纵向单音移动轴心对称和纵向双音移动对称。三位作曲家的对称思维手法互不相同、各有特色，表现出简洁有效且富有设计感的形式美学。并且，本文分析的五首作品在运用对称思维手法创作的同时适时地打破严格对称带来的呆板，将理性逻辑和感性思维有机融合，音乐更加富有意趣和生机。尤其是巴托克的作品还结合了顺向、逆向黄金分割比例构成的横向镜像结构。
當然，对称思维手法并非仅限于本文所论述的种类，尚有旋转对称、多重轴心对称等，这些较为复杂的对称思维在现代作品中的显度有待进一步的“个案”分析。
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