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摘 要 文章首先强调了Taylor公式的重要性，接着深入讨论了Taylor公式的条件与形式、余项的阶等问题，然后详细探讨了Taylor公式的广泛应用，尤其是结合典型例题对如何灵活利用Taylor公式来证明不等式做了细致的分析和总结，给出了一些方法和技巧。
关键词 Taylor公式 應用 不等式证明
中图分类号：O242 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.07.021
In-depth Study of Taylor Formula and its Application
YIN Yuezhu， XU Feng
（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001）
Abstract Firstly， the importance of the Taylor formula is emphasized. Then the conditions and forms of the Taylor formula and the order of the remainder are discussed in detail. Then， the wide application of the Taylor formula is discussed in detail. In particular， the typical example is used to prove how to flexibly use the Taylor formula. Inequality has been carefully analyzed and summarized， and some methods and techniques have been given.
Keywords Taylor formula； application； proof of inequality
Taylor公式是高等数学中一个不可忽视的重要内容，因为它不仅在理论上占有重要的地位，而且在实际工程和计算数学中也有着广泛的应用，毫不夸张地讲，Taylor公式是高数中最有应用价值的工具之一。但几乎所有的高数教材对这一部分内容都讲得不够全面，也不够深刻，这使得学生学习起来有许多的困惑。本文就Taylor公式的条件与形式、余项的阶、应用等方面做一深入的研究和探讨。
1 Taylor公式的条件与形式
要利用Taylor公式，首先要透彻理解Taylor公式的条件与形式。Taylor公式有两种常用的形式：[1-2]
①若函数在点处的某邻域内有阶导数，则对该邻域内任意异于点的， 有
其中，，称为皮亚诺型余项。
②若函数在上有阶连续导数，在（）内有阶导数，则对、，至少存在一点，使得
其中，，称之为拉格朗日型余项。
公式（1） 、（2）均被称为函数在点处的阶Taylor公式。显然，这两公式的条件不同，余项的形式也不同。
2 Taylor公式余项的阶
这是一个让许多学生、部分老师都感到困惑且极易犯错误的问题。比如，在目前最为畅销的李永乐主编的“考研数学复习全书”中，先后出现下列Taylor公式：
①
②
这两个公式严格来说都是错误的！我们以①为例解释来错误的原因。因为arctan 在处的偶数阶导数为0，所以①式应理解为arctan 的6阶Taylor公式，余项应为。事实上，也可通过计算极限来严格地验证：
所以，严格地讲①式是错误的。同理，②式也是有问题的，正确的余项应为。
3 Taylor公式的应用
Taylor公式的应用极为广泛，比如求极限、证明不等式、求函数在某点处的高阶导数、证明某些重要结论、近似计算、判定交错级数的敛散性等。[3，4]
证明不等式是Taylor公式的一个重要应用，但这需要较高的技巧，大多数学生感到无从下手，不容易想到解题思路。事实上，在有关证明不等式的题目中，若题设中明确告知函数“具有二阶或二阶以上的导数且有界”等条件，那么我们一般可以考虑用泰勒公式来证明它。下面结合两个典型例题来进行具体分析。
例1 设函数在区间上二阶连续可导，且，证明：，其中。
分析：该题中显然满足Taylor公式的条件，且告诉二阶导数的最大值即有界，又给出了一点，所以可将在该点处泰勒展开。
证明：记，将在点处展开，得
，其中在与之间，又因为
故。
对上式在区间求定积分，并取绝对值有
即有 成立。
小结：利用Taylor公式证明不等式，关键在于找到在哪一点进行Taylor展开。
例2 设函数在闭区间[0，1]上二阶可导，且，，证明：
分析：题中亦满足Taylor公式的条件，又已知，在Taylor公式中分别取，将在点处展开，然后两式相加就有可能得到要证明的不等式。
证明：利用Taylor公式，将在点处展开，得
其中，将已知代入上两式，并将两式相加整理得
通过以上典型例题可以看出，利用Taylor公式证明不等式，首先要验证题设条件是否满足Taylor公式，再结合题目的具体特点，分析确定在哪一点进行Taylor展开，这是解题的关键。其具体证明过程可总结为以下三个基本步骤：（1）写出比题中所给函数的最高阶导数低一阶的Taylor展开式；（2）恰当选取Taylor展开式两边的与0；（3）据题中所给函数的最高阶导数的值或界作适当的放缩。另外，有时不能单凭Taylor公式，还要结合其它知识综合运用才能解决问题；只有多做多思，才能灵活运用。
基金项目： 安徽省教学研究重点项目“基于网络教学平台的公共数学课教学与考试模式的研究”
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001.
[2] 朱士信，唐烁.高等数学（上）[M].高等教育出版社，2014.
[3] 苗文静，王昕.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013.29（5）：18-21.
[4] 范臣君.泰勒公式在判定交错级数敛散性中的应用[J].贵州大学学报（自然版），2013.30（6）：17-18.
关键词 Taylor公式 應用 不等式证明
中图分类号：O242 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.07.021
In-depth Study of Taylor Formula and its Application
YIN Yuezhu， XU Feng
（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001）
Abstract Firstly， the importance of the Taylor formula is emphasized. Then the conditions and forms of the Taylor formula and the order of the remainder are discussed in detail. Then， the wide application of the Taylor formula is discussed in detail. In particular， the typical example is used to prove how to flexibly use the Taylor formula. Inequality has been carefully analyzed and summarized， and some methods and techniques have been given.
Keywords Taylor formula； application； proof of inequality
Taylor公式是高等数学中一个不可忽视的重要内容，因为它不仅在理论上占有重要的地位，而且在实际工程和计算数学中也有着广泛的应用，毫不夸张地讲，Taylor公式是高数中最有应用价值的工具之一。但几乎所有的高数教材对这一部分内容都讲得不够全面，也不够深刻，这使得学生学习起来有许多的困惑。本文就Taylor公式的条件与形式、余项的阶、应用等方面做一深入的研究和探讨。
1 Taylor公式的条件与形式
要利用Taylor公式，首先要透彻理解Taylor公式的条件与形式。Taylor公式有两种常用的形式：[1-2]
①若函数在点处的某邻域内有阶导数，则对该邻域内任意异于点的， 有
其中，，称为皮亚诺型余项。
②若函数在上有阶连续导数，在（）内有阶导数，则对、，至少存在一点，使得
其中，，称之为拉格朗日型余项。
公式（1） 、（2）均被称为函数在点处的阶Taylor公式。显然，这两公式的条件不同，余项的形式也不同。
2 Taylor公式余项的阶
这是一个让许多学生、部分老师都感到困惑且极易犯错误的问题。比如，在目前最为畅销的李永乐主编的“考研数学复习全书”中，先后出现下列Taylor公式：
①
②
这两个公式严格来说都是错误的！我们以①为例解释来错误的原因。因为arctan 在处的偶数阶导数为0，所以①式应理解为arctan 的6阶Taylor公式，余项应为。事实上，也可通过计算极限来严格地验证：
所以，严格地讲①式是错误的。同理，②式也是有问题的，正确的余项应为。
3 Taylor公式的应用
Taylor公式的应用极为广泛，比如求极限、证明不等式、求函数在某点处的高阶导数、证明某些重要结论、近似计算、判定交错级数的敛散性等。[3，4]
证明不等式是Taylor公式的一个重要应用，但这需要较高的技巧，大多数学生感到无从下手，不容易想到解题思路。事实上，在有关证明不等式的题目中，若题设中明确告知函数“具有二阶或二阶以上的导数且有界”等条件，那么我们一般可以考虑用泰勒公式来证明它。下面结合两个典型例题来进行具体分析。
例1 设函数在区间上二阶连续可导，且，证明：，其中。
分析：该题中显然满足Taylor公式的条件，且告诉二阶导数的最大值即有界，又给出了一点，所以可将在该点处泰勒展开。
证明：记，将在点处展开，得
，其中在与之间，又因为
故。
对上式在区间求定积分，并取绝对值有
即有 成立。
小结：利用Taylor公式证明不等式，关键在于找到在哪一点进行Taylor展开。
例2 设函数在闭区间[0，1]上二阶可导，且，，证明：
分析：题中亦满足Taylor公式的条件，又已知，在Taylor公式中分别取，将在点处展开，然后两式相加就有可能得到要证明的不等式。
证明：利用Taylor公式，将在点处展开，得
其中，将已知代入上两式，并将两式相加整理得
通过以上典型例题可以看出，利用Taylor公式证明不等式，首先要验证题设条件是否满足Taylor公式，再结合题目的具体特点，分析确定在哪一点进行Taylor展开，这是解题的关键。其具体证明过程可总结为以下三个基本步骤：（1）写出比题中所给函数的最高阶导数低一阶的Taylor展开式；（2）恰当选取Taylor展开式两边的与0；（3）据题中所给函数的最高阶导数的值或界作适当的放缩。另外，有时不能单凭Taylor公式，还要结合其它知识综合运用才能解决问题；只有多做多思，才能灵活运用。
基金项目： 安徽省教学研究重点项目“基于网络教学平台的公共数学课教学与考试模式的研究”
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001.
[2] 朱士信，唐烁.高等数学（上）[M].高等教育出版社，2014.
[3] 苗文静，王昕.关于泰勒公式及其应用的思考与讨论[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2013.29（5）：18-21.
[4] 范臣君.泰勒公式在判定交错级数敛散性中的应用[J].贵州大学学报（自然版），2013.30（6）：17-18.