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摘 要：笔算是小学数学的重要学习内容之一。该内容属于程序性知识。该内容不能简单地作为一种程序去教，而需要基于学的视角，对算法进行认知分析，把握算法的深层结构、抽象历程、技能提升等，促进笔算学习由简单的程序性知识向高级的智慧技能转化。
关键词：认知分析；笔算教学；整数乘法笔算
作为数学教师，似乎总有一种自信，自己能做的一定能让学生学会。这对于小学数学，特别是程序性较强的笔算似乎更是如此。然而，教学实践表明，笔算教学远没有想象的那么容易，卓越的笔算教学并非依赖于算法程序的熟练把握，而是需要对学生如何理解和学习笔算进行精准的认知分析。下面试以苏教版“整数乘法笔算”为例，谈谈笔算教学的相关探究。
一、聚焦结构形成，深化算理理解
教学“两位数乘一位数（不进位）”，教师一般先呈现问题情境“湖面上飞过3队大雁，每队12只，一共有多少只？”，引导学生列出乘法算式。接着让学生先尝试计算，稍后全班交流。结果有的学生想到转化成同数连加：12 12 12=36；有的学生想到拆数：10×3=30，2×3=6，30 6=36；有的学生想到了竖式计算，如图1和图2。于是教师向学生隆重推介竖式计算，并借助小棒图帮助学生理解图1是错误的，应该像图2那样算，否则就少算了2个10。问题似乎得到了解决。然而，课后访谈发现，不少学生对图2仍心存疑惑：加减法只要“上下对着算”，乘法为什么还要“斜着算”？
上述疑惑，实际上是对第二个乘数要乘两次感到不解，这样的疑惑诉诸直观图似乎并没有得到真正的消解。儿童数学认知结构研究表明，从加减法过渡到乘法，认知结构要进行深层的大调整。虽说乘法与加法紧密相连，但本质上与加法有很大的不同。加法运算的深层结构是 “一一对应”，即一个数对应一个物体，运算结果与数数一致；而乘法运算的深层结构是“一”与“多”的对应，运算结果与数数不一致，需要进一步运用推理获得。因而，乘法学习的本质不是简单地与重复加建立联系以谋求一个运算的结果，而是要引导儿童将“一一对应”的图式升格为“一”与“多”对应的图式，并能流畅地运作。这样的运作不仅仅局限于初步认识，而要在后继的口算、笔算学习中不断强化拓展。
依此观照上述教学，可以发现，12×3是“两位数乘一位数”学习的开始，不能仅仅满足于结果的获得及验证，而应着眼于“一”与“多”对应图式的构建及其拓展。如12×3，首先要联系乘法的意义，理解这里“3”中的每个“1”都对应着1个“12”。接着借助直观图和“12”的习惯分组，进一步将“1”与“12”的3次对应分解为简单的“1”与“2”的3次对应和“1”与“10”的3次对应。对应结构的升格与调整，能使学生对“斜着算”的表象获得深刻的理解，并引发对口算与笔算内在一致性的思考。
二、延缓抽象过程，促进算法建构
教学“两位数乘两位数”，一般仍然从问题情境入手：幼儿园购进了12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？在列出乘法算式后，借助盒状包装图探究计算方法。学生能找出连乘和分乘等口算方法，进而在感悟到连乘的局限性后教学标准算法。在这样的教学中，不难发现学生对新法则的使用常常知易行难，不少学生不注意部分积的对位问题。
笔算乘法从“两位数乘一位数”到“两位数乘两位数”，认知结构调整更大。如24×12，实际上包含了四组“一”与“多”的对应：10个20、10个4、2个20、2个4。相应地，也就存在一些相对原始的算法，如图3和图4。标准算法的诞生是人类基于求简的需要，是基于算理的合逻辑的一种约定，是逐级抽象的结果，要让学生在短时间内迅速到达最高级别的抽象无疑是困难的。
根据上面的分析，教学实践中笔者尝试进一步将教材中的盒状包装打开，转化成点状排列（如图5），引导学生将两步分乘进一步分解为四步分乘，明确两位数乘两位数本质上是四个部分积的和。接着依据位值原则，寻求乘法竖式与四个部分积的内在联系，然后相加（如图6和图7）。
在此基础上，引导学生再次联系位值原则思考，竖式中因为有位置的帮助，图6和图7中的哪些0可以省略不写？引导学生将图6和图7简化为图3和图4，进而将四个部分积有机合并为两个部分积。最后，通过后续的进位学习，完整构建低位算起的法则。可见，根据小学生以具体形象思维为主导的特点，两位数乘两位数笔算规则的掌握不能急于求成，需要延缓抽象过程，基于深层结构扩展，逐步抽象。
三、关注容量制约，提升智慧技能
“多位数乘法笔算”练习。通过判断、改错、争当“计算小能手”等形式，固化标准算法的计算程序，培养熟练的笔算技能。在这样的教学中可以发现一些问题：一些连续进位的乘法在技能提升上存在瓶颈，最要命的是思维走向“僵化”——看到计算就用竖式；用到竖式，就选择标准算法——一个个生龙活虎的孩子大都变成了笔算的奴隶。
心理学研究表明，算法程序上的简化有时会引发记忆容量的增加，从而对一些低工作记忆广度儿童的技能培养形成障碍。乘法笔算的标准算法就是其中的一种。从上面的分析可以看到，一些原始算法，虽然书写相对多一些，但因为每次算得的结果及进位都直接记录，记忆负担并不重；而标准算法中，进位一般省略不写，需要记住并添加，记忆容量的增加制约了部分学生技能提升的空间。
笔者曾有幸赴英国考察小学数学教学，并惊奇地发现，包括数学教师在内的很多英国公民在计算“两位数乘两位数”时并不用我们习惯的标准算法，而喜欢用一种“交叉相乘法”（如图8）。回国后，笔者曾尝试把这种方法推荐给学生，结果发现不少学生也特别喜欢用，而且错误率明显降低，有的甚至能口算，很有成就感。仔细分析，原因有二：
第一，进位次数明显减少，有效降低了认知负荷。
第二，笔算顺序更为灵活，降低了错误偏差的幅度。该算法也可从高位算起。研究表明，竖式计算中越往左，数位上的数字越关键，高位算起让高位乘积优先确定，从而降低了最关键、最难的部分积出错的概率和错误偏差的幅度。熟练掌握此法后，还能借助视觉加工直接写出得数。
相信这样的算法实践一定会引发我们对学习“容量”的深入思考，那就是学习容量的合理确定。在题量控制的基础上，我们还需要更为精细的认知负荷分析。此外，这样的算法实践还会引导我们突破对笔算程序的僵化思考：基于部分积的恒定不变，“三位数乘两位数”的笔算程序也应该是丰富多彩的，如为了避免出现频繁的进位问题，有人就创造了“踢十法”，如图9和图10。
显然，笔算技能的形成不能仅仅停留于简单的程序遵守，而要着眼于程序的丰富创新。在创新中深化对算法内在结构的理解，丰富算法外在程序的建构，培养算法选择和调控的意识，让笔算由简单的动作技能转化为高级的智慧技能。
总之，笔算教学需要联系儿童认知发展阶段、学习水平与结果分类等宏觀认知学习理论，结合中观层面数学学科相关特殊领域认知结构发展变化的研究成果，进行精细的认知分析，精准施教，创新施教，引发卓越的笔算学习。
关键词：认知分析；笔算教学；整数乘法笔算
作为数学教师，似乎总有一种自信，自己能做的一定能让学生学会。这对于小学数学，特别是程序性较强的笔算似乎更是如此。然而，教学实践表明，笔算教学远没有想象的那么容易，卓越的笔算教学并非依赖于算法程序的熟练把握，而是需要对学生如何理解和学习笔算进行精准的认知分析。下面试以苏教版“整数乘法笔算”为例，谈谈笔算教学的相关探究。
一、聚焦结构形成，深化算理理解
教学“两位数乘一位数（不进位）”，教师一般先呈现问题情境“湖面上飞过3队大雁，每队12只，一共有多少只？”，引导学生列出乘法算式。接着让学生先尝试计算，稍后全班交流。结果有的学生想到转化成同数连加：12 12 12=36；有的学生想到拆数：10×3=30，2×3=6，30 6=36；有的学生想到了竖式计算，如图1和图2。于是教师向学生隆重推介竖式计算，并借助小棒图帮助学生理解图1是错误的，应该像图2那样算，否则就少算了2个10。问题似乎得到了解决。然而，课后访谈发现，不少学生对图2仍心存疑惑：加减法只要“上下对着算”，乘法为什么还要“斜着算”？
上述疑惑，实际上是对第二个乘数要乘两次感到不解，这样的疑惑诉诸直观图似乎并没有得到真正的消解。儿童数学认知结构研究表明，从加减法过渡到乘法，认知结构要进行深层的大调整。虽说乘法与加法紧密相连，但本质上与加法有很大的不同。加法运算的深层结构是 “一一对应”，即一个数对应一个物体，运算结果与数数一致；而乘法运算的深层结构是“一”与“多”的对应，运算结果与数数不一致，需要进一步运用推理获得。因而，乘法学习的本质不是简单地与重复加建立联系以谋求一个运算的结果，而是要引导儿童将“一一对应”的图式升格为“一”与“多”对应的图式，并能流畅地运作。这样的运作不仅仅局限于初步认识，而要在后继的口算、笔算学习中不断强化拓展。
依此观照上述教学，可以发现，12×3是“两位数乘一位数”学习的开始，不能仅仅满足于结果的获得及验证，而应着眼于“一”与“多”对应图式的构建及其拓展。如12×3，首先要联系乘法的意义，理解这里“3”中的每个“1”都对应着1个“12”。接着借助直观图和“12”的习惯分组，进一步将“1”与“12”的3次对应分解为简单的“1”与“2”的3次对应和“1”与“10”的3次对应。对应结构的升格与调整，能使学生对“斜着算”的表象获得深刻的理解，并引发对口算与笔算内在一致性的思考。
二、延缓抽象过程，促进算法建构
教学“两位数乘两位数”，一般仍然从问题情境入手：幼儿园购进了12箱迷你南瓜，每箱24个，一共有多少个？在列出乘法算式后，借助盒状包装图探究计算方法。学生能找出连乘和分乘等口算方法，进而在感悟到连乘的局限性后教学标准算法。在这样的教学中，不难发现学生对新法则的使用常常知易行难，不少学生不注意部分积的对位问题。
笔算乘法从“两位数乘一位数”到“两位数乘两位数”，认知结构调整更大。如24×12，实际上包含了四组“一”与“多”的对应：10个20、10个4、2个20、2个4。相应地，也就存在一些相对原始的算法，如图3和图4。标准算法的诞生是人类基于求简的需要，是基于算理的合逻辑的一种约定，是逐级抽象的结果，要让学生在短时间内迅速到达最高级别的抽象无疑是困难的。
根据上面的分析，教学实践中笔者尝试进一步将教材中的盒状包装打开，转化成点状排列（如图5），引导学生将两步分乘进一步分解为四步分乘，明确两位数乘两位数本质上是四个部分积的和。接着依据位值原则，寻求乘法竖式与四个部分积的内在联系，然后相加（如图6和图7）。
在此基础上，引导学生再次联系位值原则思考，竖式中因为有位置的帮助，图6和图7中的哪些0可以省略不写？引导学生将图6和图7简化为图3和图4，进而将四个部分积有机合并为两个部分积。最后，通过后续的进位学习，完整构建低位算起的法则。可见，根据小学生以具体形象思维为主导的特点，两位数乘两位数笔算规则的掌握不能急于求成，需要延缓抽象过程，基于深层结构扩展，逐步抽象。
三、关注容量制约，提升智慧技能
“多位数乘法笔算”练习。通过判断、改错、争当“计算小能手”等形式，固化标准算法的计算程序，培养熟练的笔算技能。在这样的教学中可以发现一些问题：一些连续进位的乘法在技能提升上存在瓶颈，最要命的是思维走向“僵化”——看到计算就用竖式；用到竖式，就选择标准算法——一个个生龙活虎的孩子大都变成了笔算的奴隶。
心理学研究表明，算法程序上的简化有时会引发记忆容量的增加，从而对一些低工作记忆广度儿童的技能培养形成障碍。乘法笔算的标准算法就是其中的一种。从上面的分析可以看到，一些原始算法，虽然书写相对多一些，但因为每次算得的结果及进位都直接记录，记忆负担并不重；而标准算法中，进位一般省略不写，需要记住并添加，记忆容量的增加制约了部分学生技能提升的空间。
笔者曾有幸赴英国考察小学数学教学，并惊奇地发现，包括数学教师在内的很多英国公民在计算“两位数乘两位数”时并不用我们习惯的标准算法，而喜欢用一种“交叉相乘法”（如图8）。回国后，笔者曾尝试把这种方法推荐给学生，结果发现不少学生也特别喜欢用，而且错误率明显降低，有的甚至能口算，很有成就感。仔细分析，原因有二：
第一，进位次数明显减少，有效降低了认知负荷。
第二，笔算顺序更为灵活，降低了错误偏差的幅度。该算法也可从高位算起。研究表明，竖式计算中越往左，数位上的数字越关键，高位算起让高位乘积优先确定，从而降低了最关键、最难的部分积出错的概率和错误偏差的幅度。熟练掌握此法后，还能借助视觉加工直接写出得数。
相信这样的算法实践一定会引发我们对学习“容量”的深入思考，那就是学习容量的合理确定。在题量控制的基础上，我们还需要更为精细的认知负荷分析。此外，这样的算法实践还会引导我们突破对笔算程序的僵化思考：基于部分积的恒定不变，“三位数乘两位数”的笔算程序也应该是丰富多彩的，如为了避免出现频繁的进位问题，有人就创造了“踢十法”，如图9和图10。
显然，笔算技能的形成不能仅仅停留于简单的程序遵守，而要着眼于程序的丰富创新。在创新中深化对算法内在结构的理解，丰富算法外在程序的建构，培养算法选择和调控的意识，让笔算由简单的动作技能转化为高级的智慧技能。
总之，笔算教学需要联系儿童认知发展阶段、学习水平与结果分类等宏觀认知学习理论，结合中观层面数学学科相关特殊领域认知结构发展变化的研究成果，进行精细的认知分析，精准施教，创新施教，引发卓越的笔算学习。