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与抛物线有关点的存在性问题在中考中屡见不鲜． 这类问题综合性强，难度较大． 解答它们的常见思路是先假设符合要求的点存在，然后把要满足的结论当做条件，由此出发，进行推理和判断．若能求出点的坐标，就存在；否则，就不存在． 现仅以2011年的中考题为例介绍如下.
例1 （江苏省淮安市中考试题）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）依题意，点A（4，0）在抛物线上.
∴ 0=-42+4b+3，得b=．
∴ 抛物线的解析式为y=-x2+x+3．
∵ x＝0时，y＝3，
∴ 点B的坐标为（0，3）．
（2）假设存在符合要求的点P（m，0），则m＞0，且OP＝m.
∵ △PAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴ PB＝PA＝OA－OP＝4－m．
∵∠BOP＝90°，OB＝3，
∴ 32+m2=(4-m)2，得m＝．
∴ 存在符合要求的点P，其坐标为（，0）．
说明：求点P 的坐标时，要注意发现△BOP是直角三角形，利用勾股定理构造关于m的方程．
例2 （广西南宁市中考试题）如图，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，－3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为p．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，试求线段PM的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由其过点A（3，0）、B（0，－3），知0=3k+b,-3=b, 得k＝1，b＝－3.
∴ 直线AB的解析式为y=x-3．
∵ 抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，－3），
∴ 0=9+3m+n,-3=n. 得m＝－2，n＝－3．
∴ 抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）由点P的横坐标为p，则点P的坐标是（p，p－3），点M的坐标为（p，p2－2p-3）．
∵ 点P在第四象限，点M也在第四象限，
∴ 点P到x轴的距离＝－p＋3，点M到x轴的距离＝-p2+2p+3
∴ PM＝（-p2+2p+3）－（－p＋3）＝-p2+3p＝-(p-)2+．
∴ 当p＝时，PM的最大值＝．
（3）假设存在符合要求的点P（p，p－3）．注意到PM∥OB，则存在实数p，使PM＝OB＝3． 显见，点P只可能在第一象限或第三象限．
点P在第一象限时，p＞3，则PM＝（p2-2p-3）－（p－3）＝3，p＝．
点P在第三象限时，p＞－1，则PM＝（3－p）－（-p2+2p+3）＝3，p＝．
∴ 存在符合要求的点P，其横坐标为或.
说明：x轴上方的点到x轴的距离等于该点纵坐标本身，x轴下方的点到x轴的距离等于该点纵坐标的相反数． 求PM的最大值时，要注意用p的代数式表示PM.
例3 （四川省达州市中考试题）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S=2S，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析:（1）设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
∵ 点A（1，0）、B（－3，0）、C（0，3）都在抛物线上，
∴ a+b+c=0，9a-3b+c=0, 得a＝－1，b＝－2，c＝3.c=3.
∴ 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）设QC的解析式为y=kx+b，点Q的坐标为（m，0），显见，m＜0．
∵ ∠ACQ＝90°，∠COQ＝90°，∠AOC＝90°，
∴ AQ2-AC2=CQ2，OC2+OQ2=CQ2，OC2+OA2=AC2.
∴ AQ2-(OC2+OA2)=OC2+OQ2.
∴ (1-m)2-(32+12)2=32+m2，得m＝－9，点Q的坐标为（－9，0）．
∵ 点C的坐标为（0，3），
∴ 0=-9k+b,3=b, 得k＝，b＝3.
∴ 直线QC的解析式为y=x+3．
由y=x+3,y=-x2-2x+3, 得x=-,y=x=0,y=3.
∴ 点D的坐标为.
（3）假设存在符合要求的点M（h，t），由于抛物线y=-x2-2x+3的顶点P为（－1，4），对称轴为x＝－1，得对称轴与x轴的交点E的坐标为（－1，0），PE＝4，PM＝4-t ，h＝－1，AE＝2，则S＝PM•AE＝4-t ．
∵ S＝S－S＝（OC＋PE）•OE＋OC•OA－AE•PE＝1，
∴ 4-t ＝2×1，得t＝2或6．
∴ 存在符合要求的点M，其坐标为（－1，2）或（－1，6）．
说明：点D是直线与抛物线的交点，要求其坐标，应将直线、抛物线对应的解析式联立成方程组．
例1 （江苏省淮安市中考试题）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）依题意，点A（4，0）在抛物线上.
∴ 0=-42+4b+3，得b=．
∴ 抛物线的解析式为y=-x2+x+3．
∵ x＝0时，y＝3，
∴ 点B的坐标为（0，3）．
（2）假设存在符合要求的点P（m，0），则m＞0，且OP＝m.
∵ △PAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴ PB＝PA＝OA－OP＝4－m．
∵∠BOP＝90°，OB＝3，
∴ 32+m2=(4-m)2，得m＝．
∴ 存在符合要求的点P，其坐标为（，0）．
说明：求点P 的坐标时，要注意发现△BOP是直角三角形，利用勾股定理构造关于m的方程．
例2 （广西南宁市中考试题）如图，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，－3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为p．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，试求线段PM的最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由其过点A（3，0）、B（0，－3），知0=3k+b,-3=b, 得k＝1，b＝－3.
∴ 直线AB的解析式为y=x-3．
∵ 抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，－3），
∴ 0=9+3m+n,-3=n. 得m＝－2，n＝－3．
∴ 抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）由点P的横坐标为p，则点P的坐标是（p，p－3），点M的坐标为（p，p2－2p-3）．
∵ 点P在第四象限，点M也在第四象限，
∴ 点P到x轴的距离＝－p＋3，点M到x轴的距离＝-p2+2p+3
∴ PM＝（-p2+2p+3）－（－p＋3）＝-p2+3p＝-(p-)2+．
∴ 当p＝时，PM的最大值＝．
（3）假设存在符合要求的点P（p，p－3）．注意到PM∥OB，则存在实数p，使PM＝OB＝3． 显见，点P只可能在第一象限或第三象限．
点P在第一象限时，p＞3，则PM＝（p2-2p-3）－（p－3）＝3，p＝．
点P在第三象限时，p＞－1，则PM＝（3－p）－（-p2+2p+3）＝3，p＝．
∴ 存在符合要求的点P，其横坐标为或.
说明：x轴上方的点到x轴的距离等于该点纵坐标本身，x轴下方的点到x轴的距离等于该点纵坐标的相反数． 求PM的最大值时，要注意用p的代数式表示PM.
例3 （四川省达州市中考试题）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（－3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S=2S，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析:（1）设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
∵ 点A（1，0）、B（－3，0）、C（0，3）都在抛物线上，
∴ a+b+c=0，9a-3b+c=0, 得a＝－1，b＝－2，c＝3.c=3.
∴ 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）设QC的解析式为y=kx+b，点Q的坐标为（m，0），显见，m＜0．
∵ ∠ACQ＝90°，∠COQ＝90°，∠AOC＝90°，
∴ AQ2-AC2=CQ2，OC2+OQ2=CQ2，OC2+OA2=AC2.
∴ AQ2-(OC2+OA2)=OC2+OQ2.
∴ (1-m)2-(32+12)2=32+m2，得m＝－9，点Q的坐标为（－9，0）．
∵ 点C的坐标为（0，3），
∴ 0=-9k+b,3=b, 得k＝，b＝3.
∴ 直线QC的解析式为y=x+3．
由y=x+3,y=-x2-2x+3, 得x=-,y=x=0,y=3.
∴ 点D的坐标为.
（3）假设存在符合要求的点M（h，t），由于抛物线y=-x2-2x+3的顶点P为（－1，4），对称轴为x＝－1，得对称轴与x轴的交点E的坐标为（－1，0），PE＝4，PM＝4-t ，h＝－1，AE＝2，则S＝PM•AE＝4-t ．
∵ S＝S－S＝（OC＋PE）•OE＋OC•OA－AE•PE＝1，
∴ 4-t ＝2×1，得t＝2或6．
∴ 存在符合要求的点M，其坐标为（－1，2）或（－1，6）．
说明：点D是直线与抛物线的交点，要求其坐标，应将直线、抛物线对应的解析式联立成方程组．