一线数学教师在平时的教学过程中,往往会出现这样的现象:讲解例题或习题时,往往总是就题论题,照本宣科,不能很好地挖掘题目所隐含的数学思想、数学方法以及对问题进行演变反思得到变式习题。其实对例题(习题)的演变可以拓展学生的思维空间,培养学生的一题多解,一题多变的应试能力,同时还可以调动学生学习数学的积极性。下面是笔者在平时教学中评讲的一例,供大家参考:
　　例:如图1,已知一次函数的图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点。求这个一次函数的解析式,试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上?
　　解析:设所求的一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
　　由题意得:解得:
　　所以过A、B两点的一次函数的解析式为y=2x+1,当x=-1时,y=2x(-1)+1=-1,所以点P(-1,1)不在直线y=2x+1上。
　　演变与思考:
　　⑴如图1,设直线AB与坐标轴相交于C、D,可进一步求出△OCD、△ABP的边长,面积或相关的角等问题。
　　⑵证明三点A、B、P共线问题。
　　⑶是否存在常数K,使直线AB与双曲线y=相切?若存在,求出K的值,若不存在,说明理由。
　　假设存在常数K,使直线AB与双曲线y=相切,则联立线AB与双曲线的方程组,消去y,得2X+1=,即2X2+X-K=o,由△=1+8K=O得K=,说明存在常数K,满足要求。
　　⑷求过A、B、P三点(或其余的几点)的二次函数的解析式。
　　设过A、B、P三点的二次函数为y=ax2+bx+c,则解得故所求的二次函数为y=-x2+x+3。
　　⑸若直线AB绕点A按顺时针方向旋转450得直线L,求L的解析式。
　　如图2,设直线L与y轴相交于H,过A作AG⊥Oy轴,垂足为G,则AG=2,OG=3,显然有∠CAG=a=∠BCM,在Rt△BCM中tan∠BCM=,∵在Rt△AHG中,有HG=AGtan∠HAG∴HG=2tan(∠CAG-450)=2tan(∠a-450)=2·,于是OH=OG-HG=,则点H的坐标为(0,)所以直线L的解析式为:x-3y-7=0。
　　⑹设E(5,O),求E[或P(-1,1)也可]到直线AB的距离,(通过作直角三角形,借助直角三角形中的边角关系、勾股定理、相似等加以解决)如图3,直线AB与X轴的交点为C(),过B、E作BM⊥OX,EN⊥AB,垂足为M、N,则Rt△ENC∽Rt△BMC,易知EC=5.5,MC=1.5,而BM=3
　　∴
　　∵∴
　　为所求。
　　此题属常规题目,看似简单,实际上内涵丰富,通过上述理解,转化题意,演变反思问题,不但对一次函数的概念,图像和性质有了深刻的理解,而且对由此衍化出来的相关问题也迎刃而解。
　　(作者单位:435241湖北省阳新县白沙中学)