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全等三角形是初中数学的重要基础内容，也是几何入门的核心要素. 在这一章中，我们不仅探索了几种证明三角形全等的方法，知道了几种尺规作图的方法及原理，还学到了利用全等解决一些实际问题. 下面，就让我们一起来梳理一下全等判定方法的一些运用吧！
一、 三角形全等判定方法的简单运用
两个三角形全等的判定方法一般有4种，分别是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，对于直角三角形，还有一种特殊的判定方法，就是“HL”. 我们需要熟练掌握这些判定方法，灵活运用，以解决一些图形全等证明、线段和角计算等简单问题.
1. 寻找不能判定两个三角形全等的条件.
例1 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图1和图2，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）.
A. AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B. AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C. AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D. AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°. 在A选项中：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件“HL”，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；在B选项中：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“SAS”，∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“ASA”，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 故选B.
【说明】本题主要考查对直角三角形全等判定的理解和掌握，解答此类题不仅需要掌握直角三角形全等的判定方法，还要熟练掌握其他判定三角形全等的方法.
2. 四边形中的全等三角形的判定与性质.
例2 如图3，已知四边形ABCD，
（1） 若AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C；
（2） 若AB∥CD，AB=CD，求证：AD∥BC；
（3） 若AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD；
（4） 若∠A=∠C，AB∥CD，求证：AD=BC.
【解析】如图4，连接DB，问题（1）中的全等条件有AB=CD，AD=BC，DB=BD，可用“SSS”证明全等，从而得到∠A=∠C；问题（2）中的全等条件有AB=CD，∠ABD=∠CDB，DB=BD，可用“SAS”证明全等，从而∠ADB=∠CBD，得到AD∥BC；问题（3）中的全等条件有∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，DB=BD，可用“ASA”证明全等，从而得到AB=CD；问题（4）中的全等条件有∠ABD=∠CDB，∠A=∠C，DB=BD，可用“AAS”证明全等，从而得到AD=BC.
【说明】例2共有四个小题，题目的指向非常明确，就是让同学们复习巩固三角形全等的四种证明方法. 连接DB后，根据已知条件，可以比较容易找到全等证明的方法，再利用全等三角形的性质便可以得到对应边或对应角相等.
二、 三角形全等判定方法的综合运用
单一考查三角形全等证明方法的考题并不多，一般都是以全等为桥梁，考查同学们对三角形全等方法的综合理解和认识，或者通过全等来证明一些线段或角相等. 当然也有一些特色考题，综合性较强，考查方式灵活，值得同学们认真探究.
1. 与图形的面积有关.
例3 （2016·江苏淮安）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）.
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【解析】判断出AP是∠BAC的平分线，如图6，过点D作DE⊥AB于E，根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”可得DE=CD（或者证明△ACD≌△AED（AAS）），然后根据三角形的面积公式列式计算即可得△ABD的面积为×4×15=30. 故选B.
【说明】等同学们学习了角平分线的性质就会知道：角平分线上的一点到角的两边距离相等. 这也可以运用三角形全等来进行证明.
2. 与网格图有关.
例4 （2015·湖北宜昌）如图7，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1、P3、P4三个，故选C.
【说明】在网格中判定三角形全等的题目，大多数是通过计算三边长度进行全等证明，但本题是共边型问题，可以通过翻折、旋转、平移等几何变换来判定点P的位置，也可以通过计算三边长度来进一步验证.
3. 与数学实验制作有关.
例5 （2015·浙江绍兴）如图8，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是（ ）.
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用“SSS”定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE. 故选D.
【说明】有关作图题和设计类的数学问题，通常是运用尺规制作，因此全等三角形的判定方法也是以“SSS”为主. 这是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时需认真读题，充分理解题意.
4. 与生活中的数学问题有关.
例6 八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：如图9，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，再测出DE的距离，最后根据△ABC≌△DEC得到DE的长即为AB的长. 该同学判定△ABC≌△DEC的依据是（ ）.
A. SAS B. AAS C. SSS D. HL
【解析】题目中共给出了两条相等的边及两边的夹角，据此可以根据“SAS”定理做出判断.
在△ABC和△DEC中，DC=AC，∠ACB=∠DCE，EC=BC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）.
故选A.
【说明】本题考查全等三角形判定定理的应用，从生活情境中抽象出数学模型来，解题的关键是熟知三角形全等判定方法“SAS”. 但可能会有学生读不懂题意，或者无法寻找到这样的数学模型.
通过以上梳理的一些全等运用，我们可以发现，只要同学们勤学多思，熟记判定方法，全等证明将会变得“So easy”！
（作者单位：江苏省苏州市学府中学）
一、 三角形全等判定方法的简单运用
两个三角形全等的判定方法一般有4种，分别是“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，对于直角三角形，还有一种特殊的判定方法，就是“HL”. 我们需要熟练掌握这些判定方法，灵活运用，以解决一些图形全等证明、线段和角计算等简单问题.
1. 寻找不能判定两个三角形全等的条件.
例1 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图1和图2，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）.
A. AB=A′B′=5，BC=B′C′=3
B. AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C. AC=A′C′=5，BC=B′C′=3
D. AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°. 在A选项中：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件“HL”，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；在B选项中：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“SAS”，∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC≌Rt△A′B′C的判定条件“ASA”，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 故选B.
【说明】本题主要考查对直角三角形全等判定的理解和掌握，解答此类题不仅需要掌握直角三角形全等的判定方法，还要熟练掌握其他判定三角形全等的方法.
2. 四边形中的全等三角形的判定与性质.
例2 如图3，已知四边形ABCD，
（1） 若AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C；
（2） 若AB∥CD，AB=CD，求证：AD∥BC；
（3） 若AB∥CD，AD∥BC，求证：AB=CD；
（4） 若∠A=∠C，AB∥CD，求证：AD=BC.
【解析】如图4，连接DB，问题（1）中的全等条件有AB=CD，AD=BC，DB=BD，可用“SSS”证明全等，从而得到∠A=∠C；问题（2）中的全等条件有AB=CD，∠ABD=∠CDB，DB=BD，可用“SAS”证明全等，从而∠ADB=∠CBD，得到AD∥BC；问题（3）中的全等条件有∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，DB=BD，可用“ASA”证明全等，从而得到AB=CD；问题（4）中的全等条件有∠ABD=∠CDB，∠A=∠C，DB=BD，可用“AAS”证明全等，从而得到AD=BC.
【说明】例2共有四个小题，题目的指向非常明确，就是让同学们复习巩固三角形全等的四种证明方法. 连接DB后，根据已知条件，可以比较容易找到全等证明的方法，再利用全等三角形的性质便可以得到对应边或对应角相等.
二、 三角形全等判定方法的综合运用
单一考查三角形全等证明方法的考题并不多，一般都是以全等为桥梁，考查同学们对三角形全等方法的综合理解和认识，或者通过全等来证明一些线段或角相等. 当然也有一些特色考题，综合性较强，考查方式灵活，值得同学们认真探究.
1. 与图形的面积有关.
例3 （2016·江苏淮安）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）.
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【解析】判断出AP是∠BAC的平分线，如图6，过点D作DE⊥AB于E，根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”可得DE=CD（或者证明△ACD≌△AED（AAS）），然后根据三角形的面积公式列式计算即可得△ABD的面积为×4×15=30. 故选B.
【说明】等同学们学习了角平分线的性质就会知道：角平分线上的一点到角的两边距离相等. 这也可以运用三角形全等来进行证明.
2. 与网格图有关.
例4 （2015·湖北宜昌）如图7，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1、P3、P4三个，故选C.
【说明】在网格中判定三角形全等的题目，大多数是通过计算三边长度进行全等证明，但本题是共边型问题，可以通过翻折、旋转、平移等几何变换来判定点P的位置，也可以通过计算三边长度来进一步验证.
3. 与数学实验制作有关.
例5 （2015·浙江绍兴）如图8，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是（ ）.
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用“SSS”定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE. 故选D.
【说明】有关作图题和设计类的数学问题，通常是运用尺规制作，因此全等三角形的判定方法也是以“SSS”为主. 这是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时需认真读题，充分理解题意.
4. 与生活中的数学问题有关.
例6 八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：如图9，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，再测出DE的距离，最后根据△ABC≌△DEC得到DE的长即为AB的长. 该同学判定△ABC≌△DEC的依据是（ ）.
A. SAS B. AAS C. SSS D. HL
【解析】题目中共给出了两条相等的边及两边的夹角，据此可以根据“SAS”定理做出判断.
在△ABC和△DEC中，DC=AC，∠ACB=∠DCE，EC=BC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）.
故选A.
【说明】本题考查全等三角形判定定理的应用，从生活情境中抽象出数学模型来，解题的关键是熟知三角形全等判定方法“SAS”. 但可能会有学生读不懂题意，或者无法寻找到这样的数学模型.
通过以上梳理的一些全等运用，我们可以发现，只要同学们勤学多思，熟记判定方法，全等证明将会变得“So easy”！
（作者单位：江苏省苏州市学府中学）