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[摘 要] 图论及其应用是数学专业的一门选修课程，该课程与实际生活有密切的关系。同时图论中有许多经典的结论，这些结论的证明蕴涵着巧妙的数学方法，能够锻炼学生严谨的逻辑思维能力。探索如何设计该课程，既能体现图论的广泛应用性，也能培养学生的数学思维。
[关 键 词] 图论及其应用;逻辑证明;数学思维
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）19-0166-02
一、引言
图论及其应用是数学专业的选修课程，一般开在大三下学期或大四上学期。该课程只需要一些集合、二元关系和线性代数等知识，不需要高深的数学工具。图论在现实生活中的应用十分广泛，很多问题都能用图模型解决。而图论又与计算机网络密切相关，由于计算机的快速发展，图论也随之迅速发展，成为数学领域中一个重要的分支。在图论发展过程中产生了许多重要的理论和方法，近些年的数学竞赛和数学建模中常常会用到图论的理论和方法来解题。对这些理论和方法的学习是这门课的主要目的。在对理论的学习过程中会涉及许多证明，而证明又是学生不愿意听的内容。因此如何设计课程，既能够突出应用，也能锻炼学生的逻辑严谨性，是本文所要探讨的问题。
二、教学的现状及存在的问题
（一）课程性质
图论及其应用是数学学院为信息与计算科学、数学与应用数学专业开设的专业选修课。该课程的目的是使学生全面了解图论的历史、现状与未来发展趋势，系统掌握图论及其应用中的基本概念、结论和方法，了解一些常用的算法及其思想，培养学生利用图论解决实际问题的方法和技巧。但由于这门课是选修课且安排在大三下学期，大部分学生都开始准备考研，他们选择这门课程主要是为了修学分，只要课程成绩及格就可以。因此，大多数学生只是每节课都来听听课，课后不会花更多时间去学习这门课。所以作为教师，如何利用课堂的时间让学生能掌握相关知识，同时又能调动他们的上课积极性，是需要深入思考的问题。
（二）使用的教材
目前大部分图论教材都是给研究生编写的，最经典的是Bondy和Murty著的Graph Theory with application（1976年），经过了30多年的发展，该领域增加了许多新的内容，于是他们在2008年出版了新书Graph Theory，该书在1976年版的基础上加入了许多新的内容，同时也单独给出了许多证明技巧。但这本书内容太多，不适合本科生学习。国内比较常用的有中国科学技术大学出版社出版、徐俊明编著的《图论及其应用》和东南大学出版社出版、卜月华等人编著的《图论及其应用》。这些教材的主要内容和经典图论教材的一致，主要介绍了图的基本概念、树、连通性、Euler环游和Hamilton圈、匹配、染色及平面图等。徐俊明编著的教材是在每章前几节先介绍基本概念，后几节介绍应用;而卜月华等人编著的教材是将应用穿插在每一节中。作为选修课，我比较倾向边讲概念边介绍应用，因此我选择卜月华等编著的这版
教材。但教材涉及的内容还是比较多，有的证明也比较长，要在一学期学完必须删减部分内容。目前适合本科生的教材还相对比较少。
（三）教学中存在的问题
图论是应用性很强的一门学科，但是作为教师一直都在学
校环境中长大，对实际的应用了解较少，都是通过书本和研究内容中去了解图论的进展，因此对实际应用的例子掌握较少，上课举的例子不够有特点，对学生的吸引力就不够。另外，学生的逻辑思维能力大部分不是很好，让他们写证明题，很难遇到几个能把前后逻辑顺序写得非常清楚。因此，教师的逻辑一定要非常清晰，一旦一個地方没讲明白，学生就容易一头雾水。还有就是图论的概念非常多，如果上课只是一味地讲概念，学生容易觉得枯燥，更容易分心，会大大降低他们的学习兴趣。因此，将概念、证明、应用穿插于教学过程中，使课堂丰富多彩，是非常重要的。
三、图论及其应用教学方法探索
针对图论及其应用该课程的特点，我们建议如下设计该课程。
（一）课堂适时增加历史与人物故事
图论及其应用是一门选修课，如果课堂上只是讲书上的概
念和定理证明，学生很容易乏味，因此可以适时增加些历史背景和人物故事。图论虽然是1736年才发展起来的，到目前还不到三百年的历史，但在图论发展过程中有很多著名的人物，这些人物的故事本身就非常有吸引力。例如，“图论之父”欧拉，他是个多产的数学家、物理学家，数学领域中许多重要的常数、公式、定理都是以他的名字命名的。同时欧拉的一生也有很多不尽如人意的地方，在他28岁时一只眼睛就失明了，在生命最后七年双目完全失明，但是他仍坚持研究，完成了很多著作。通过介绍这些人物故事可以给学生以启发，让学生受到鼓舞，遇到困难时能更有信心去面对。
图论中也有些非常著名的问题，如四色定理、中国邮路问题、旅行售货员问题等，这些问题有些容易解决，有些是非常困难的。对这些问题，教师可以向学生介绍问题的来源、思考的方向、解题的思路，未解决的问题难点在哪里，让学生对问题的发展有一定的了解，有助于培养他们对图论的感觉，同时也让他们看到很多问题看似简单，解决起来却不一定那么容易。
（二）多用引导带动学生思考
图论中有很多重要的定理，这些定理的证明过程是对逻辑思 维的一种训练。例如树的等价定理，在证明这些等价论断时要用归纳法、反证法，这是平时思考和证明问题常用的方法。在讲这些定理时，可以一步步引导学生思考，比如讲树的边数时，先不告诉他们答案，让他们自己从一个点、两个点……去试，找出其中的规律，然后再试着用归纳法去证明。只有他们自己参与思考，他们才能对这些性质掌握得更牢固。对比较复杂的证明，教师可以画成思维导图，将证明分成几部分，引导学生找出每部分的联系，把复杂的问题简单化。教师适当地讲些定理证明可以提高学生的抽象思维和概括能力，提高他们分析问题和解决问题
的能力。
（三）多媒体与板书结合
在课堂教学过程中，由于图论的概念较多，因此可以用多媒体来介绍相关的概念，这样就不用手写概念，可以节约些时间。同时图论中的图用多媒体播放也会比较直观，学生看得更清晰。多媒体上还可以加一些动画，例如在介绍Euler环游的时候，要找出一条Euler环游用动画就可以将寻找环游的过程描述得非常清楚。这是多媒体教学的优势。但是遇到定理证明时还是需要用传统的板书，通过板书将推导过程一步步讲解清楚，写板书有一个过程，在这个过程中学生可以跟着一起思考，学生与教师互相交流，这样有利于学生理解证明的思路。通过板书与多媒体的结合，能更好地进行课堂教学，使课堂更丰富多彩。
（四）创建成长式课堂
斯坦福大学教授乔·博勒在他的著作《这才是数学（教师篇）》中提到几乎所有的学生都具备学好数学并享受数学学习的能力。很多学生数学不好的主要原因是从小受到僵固式思维的影响，比如“数学是需要天分的”“你不适合学数学”等，在这样的影响下，觉得自己就是学不好数学，从而慢慢放弃数学。因此，要让学生学好数学就是要培养他们的成长式思维，即相信能力是
可以培养的，梦想是可以通过自己的不懈努力获得的。个人认为，乔·博勒教授的观点用于课堂教学是非常有参考意义的。
首先，我们要相信每一个学生，要公平对待他们，不能一开始就给他们分层次，当然每个学生都有自己更擅长的地方，这个要区别对待，但决不能有谁好谁坏的评价。其次，我们可以在课堂上设置一些小组讨论的环节。图论中有许多应用，在讲到应用或课后题时，可以采用分组的形式，让学生自己先讨论并得出结论，然后让小组成员上黑板给大家讲解，这样既可以锻炼他们团队协作的能力，也给他们上台向大家展示自己的机会。同时鼓励学生用不同的方法解题，并欢迎他们提问题，对他们提的问题应引导他们自己寻找答案，而不是直接告诉他们答案。作为教师，我们应该喜欢学生犯错，对学生的犯错不要批评，应鼓励他们犯错。乔教授指出每一次犯错大脑都会成长，犯错过程中他们也在学习。通过这些方式创建的成长式课堂，既锻炼了他们的逻辑思维，同时也能活跃课堂气氛。
四、总结
图论是与生活紧密联系的一门学科。作为教师，我们除了教授他们知识外，还应该培养思考问题的方法。大部分學生都是要继续读研究生的，因此在教学过程中增加一些做科研的方法对他们的未来也是非常有帮助的。本文探索图论及其应用课程的设置，旨在教授学生课程内容的同时又能培养他们分析和解决问题的能力，提高他们的数学思维。在探索过程中也对自己作为教师所应担当的职责有了更进一步的认识，不仅是学生，教师也应该拥有成长式思维，这样才能和学生共同进步、共同成长。
参考文献：
[1]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory with Applications，
Macmllan Press Ltd.London，1976.
[2]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory，GTM 244，Springer，New York，2008.
[3]徐俊明.图论及其应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010.
[4]卜月华，王维凡，吕新忠.图论及其应用[M].南京：东南大学出版社，2015.
[5][英]乔·博勒.这才是数学（教师篇）[M].朱磊磊，译.北京：北京时代华文书局，2017.
[关 键 词] 图论及其应用;逻辑证明;数学思维
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）19-0166-02
一、引言
图论及其应用是数学专业的选修课程，一般开在大三下学期或大四上学期。该课程只需要一些集合、二元关系和线性代数等知识，不需要高深的数学工具。图论在现实生活中的应用十分广泛，很多问题都能用图模型解决。而图论又与计算机网络密切相关，由于计算机的快速发展，图论也随之迅速发展，成为数学领域中一个重要的分支。在图论发展过程中产生了许多重要的理论和方法，近些年的数学竞赛和数学建模中常常会用到图论的理论和方法来解题。对这些理论和方法的学习是这门课的主要目的。在对理论的学习过程中会涉及许多证明，而证明又是学生不愿意听的内容。因此如何设计课程，既能够突出应用，也能锻炼学生的逻辑严谨性，是本文所要探讨的问题。
二、教学的现状及存在的问题
（一）课程性质
图论及其应用是数学学院为信息与计算科学、数学与应用数学专业开设的专业选修课。该课程的目的是使学生全面了解图论的历史、现状与未来发展趋势，系统掌握图论及其应用中的基本概念、结论和方法，了解一些常用的算法及其思想，培养学生利用图论解决实际问题的方法和技巧。但由于这门课是选修课且安排在大三下学期，大部分学生都开始准备考研，他们选择这门课程主要是为了修学分，只要课程成绩及格就可以。因此，大多数学生只是每节课都来听听课，课后不会花更多时间去学习这门课。所以作为教师，如何利用课堂的时间让学生能掌握相关知识，同时又能调动他们的上课积极性，是需要深入思考的问题。
（二）使用的教材
目前大部分图论教材都是给研究生编写的，最经典的是Bondy和Murty著的Graph Theory with application（1976年），经过了30多年的发展，该领域增加了许多新的内容，于是他们在2008年出版了新书Graph Theory，该书在1976年版的基础上加入了许多新的内容，同时也单独给出了许多证明技巧。但这本书内容太多，不适合本科生学习。国内比较常用的有中国科学技术大学出版社出版、徐俊明编著的《图论及其应用》和东南大学出版社出版、卜月华等人编著的《图论及其应用》。这些教材的主要内容和经典图论教材的一致，主要介绍了图的基本概念、树、连通性、Euler环游和Hamilton圈、匹配、染色及平面图等。徐俊明编著的教材是在每章前几节先介绍基本概念，后几节介绍应用;而卜月华等人编著的教材是将应用穿插在每一节中。作为选修课，我比较倾向边讲概念边介绍应用，因此我选择卜月华等编著的这版
教材。但教材涉及的内容还是比较多，有的证明也比较长，要在一学期学完必须删减部分内容。目前适合本科生的教材还相对比较少。
（三）教学中存在的问题
图论是应用性很强的一门学科，但是作为教师一直都在学
校环境中长大，对实际的应用了解较少，都是通过书本和研究内容中去了解图论的进展，因此对实际应用的例子掌握较少，上课举的例子不够有特点，对学生的吸引力就不够。另外，学生的逻辑思维能力大部分不是很好，让他们写证明题，很难遇到几个能把前后逻辑顺序写得非常清楚。因此，教师的逻辑一定要非常清晰，一旦一個地方没讲明白，学生就容易一头雾水。还有就是图论的概念非常多，如果上课只是一味地讲概念，学生容易觉得枯燥，更容易分心，会大大降低他们的学习兴趣。因此，将概念、证明、应用穿插于教学过程中，使课堂丰富多彩，是非常重要的。
三、图论及其应用教学方法探索
针对图论及其应用该课程的特点，我们建议如下设计该课程。
（一）课堂适时增加历史与人物故事
图论及其应用是一门选修课，如果课堂上只是讲书上的概
念和定理证明，学生很容易乏味，因此可以适时增加些历史背景和人物故事。图论虽然是1736年才发展起来的，到目前还不到三百年的历史，但在图论发展过程中有很多著名的人物，这些人物的故事本身就非常有吸引力。例如，“图论之父”欧拉，他是个多产的数学家、物理学家，数学领域中许多重要的常数、公式、定理都是以他的名字命名的。同时欧拉的一生也有很多不尽如人意的地方，在他28岁时一只眼睛就失明了，在生命最后七年双目完全失明，但是他仍坚持研究，完成了很多著作。通过介绍这些人物故事可以给学生以启发，让学生受到鼓舞，遇到困难时能更有信心去面对。
图论中也有些非常著名的问题，如四色定理、中国邮路问题、旅行售货员问题等，这些问题有些容易解决，有些是非常困难的。对这些问题，教师可以向学生介绍问题的来源、思考的方向、解题的思路，未解决的问题难点在哪里，让学生对问题的发展有一定的了解，有助于培养他们对图论的感觉，同时也让他们看到很多问题看似简单，解决起来却不一定那么容易。
（二）多用引导带动学生思考
图论中有很多重要的定理，这些定理的证明过程是对逻辑思 维的一种训练。例如树的等价定理，在证明这些等价论断时要用归纳法、反证法，这是平时思考和证明问题常用的方法。在讲这些定理时，可以一步步引导学生思考，比如讲树的边数时，先不告诉他们答案，让他们自己从一个点、两个点……去试，找出其中的规律，然后再试着用归纳法去证明。只有他们自己参与思考，他们才能对这些性质掌握得更牢固。对比较复杂的证明，教师可以画成思维导图，将证明分成几部分，引导学生找出每部分的联系，把复杂的问题简单化。教师适当地讲些定理证明可以提高学生的抽象思维和概括能力，提高他们分析问题和解决问题
的能力。
（三）多媒体与板书结合
在课堂教学过程中，由于图论的概念较多，因此可以用多媒体来介绍相关的概念，这样就不用手写概念，可以节约些时间。同时图论中的图用多媒体播放也会比较直观，学生看得更清晰。多媒体上还可以加一些动画，例如在介绍Euler环游的时候，要找出一条Euler环游用动画就可以将寻找环游的过程描述得非常清楚。这是多媒体教学的优势。但是遇到定理证明时还是需要用传统的板书，通过板书将推导过程一步步讲解清楚，写板书有一个过程，在这个过程中学生可以跟着一起思考，学生与教师互相交流，这样有利于学生理解证明的思路。通过板书与多媒体的结合，能更好地进行课堂教学，使课堂更丰富多彩。
（四）创建成长式课堂
斯坦福大学教授乔·博勒在他的著作《这才是数学（教师篇）》中提到几乎所有的学生都具备学好数学并享受数学学习的能力。很多学生数学不好的主要原因是从小受到僵固式思维的影响，比如“数学是需要天分的”“你不适合学数学”等，在这样的影响下，觉得自己就是学不好数学，从而慢慢放弃数学。因此，要让学生学好数学就是要培养他们的成长式思维，即相信能力是
可以培养的，梦想是可以通过自己的不懈努力获得的。个人认为，乔·博勒教授的观点用于课堂教学是非常有参考意义的。
首先，我们要相信每一个学生，要公平对待他们，不能一开始就给他们分层次，当然每个学生都有自己更擅长的地方，这个要区别对待，但决不能有谁好谁坏的评价。其次，我们可以在课堂上设置一些小组讨论的环节。图论中有许多应用，在讲到应用或课后题时，可以采用分组的形式，让学生自己先讨论并得出结论，然后让小组成员上黑板给大家讲解，这样既可以锻炼他们团队协作的能力，也给他们上台向大家展示自己的机会。同时鼓励学生用不同的方法解题，并欢迎他们提问题，对他们提的问题应引导他们自己寻找答案，而不是直接告诉他们答案。作为教师，我们应该喜欢学生犯错，对学生的犯错不要批评，应鼓励他们犯错。乔教授指出每一次犯错大脑都会成长，犯错过程中他们也在学习。通过这些方式创建的成长式课堂，既锻炼了他们的逻辑思维，同时也能活跃课堂气氛。
四、总结
图论是与生活紧密联系的一门学科。作为教师，我们除了教授他们知识外，还应该培养思考问题的方法。大部分學生都是要继续读研究生的，因此在教学过程中增加一些做科研的方法对他们的未来也是非常有帮助的。本文探索图论及其应用课程的设置，旨在教授学生课程内容的同时又能培养他们分析和解决问题的能力，提高他们的数学思维。在探索过程中也对自己作为教师所应担当的职责有了更进一步的认识，不仅是学生，教师也应该拥有成长式思维，这样才能和学生共同进步、共同成长。
参考文献：
[1]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory with Applications，
Macmllan Press Ltd.London，1976.
[2]J.A.Bondy，U.S.R.Murty.Graph Theory，GTM 244，Springer，New York，2008.
[3]徐俊明.图论及其应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010.
[4]卜月华，王维凡，吕新忠.图论及其应用[M].南京：东南大学出版社，2015.
[5][英]乔·博勒.这才是数学（教师篇）[M].朱磊磊，译.北京：北京时代华文书局，2017.