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【摘要】对“实变函数”课程教学中易于出现的问题进行了探讨，从教学的内容、模式、方法及考核方式等方面进行了研究，介绍了自己的一些教学体会和经验。
【关键词】实变函数 教学改革 教学手段
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0123-02
“实变函数” 是数学专业的基础课，它是以勒贝格测度和积分理论为基础的一门学科，主要培养学生的抽象思维和数学推理能力。它也是实分析、泛函分析等课程的基础，近年来微分几何的发展也起到了引导作用。但由于实变函数高度的抽象性，使得学生学习该门课程时难度很大。因此，如何让学生学好该门课程是一个急待解决的问题。带着对该问题的思考，结合实际教学我们做了以下几方面的尝试，并取得了较好的效果。
一、教学内容
“实变函数” 作为一门基础学科，凡学过该课程的学生对它的印象是：抽象、枯燥、难懂，对此课也是一种惧怕心理。很多老師在讲课过程中只注重复杂定理的证明与解题技巧的讲授，淡化实变函数思想的解析。这不仅与开设该课的初衷相违背，也在一定程度上加剧了学生的厌学心理。不可否认，实变函数中许多的概念、定理都有一定的抽象性，这些结论的推导也很不简单。因此，如何把这些抽象的内容传递给学生，这是需要智慧的。在我们的课程教学中主要讲述其基本思想，回避或者简化某些复杂的构造，降低数学难度，减少乏味性，提升可读性。假定一个旅店有n间房，已经住满，此时若再来一位旅客，则无法安排其住下（设定每间房只住一人）。但若将条件改一下，假设该店有无穷多个房间，其编号为1，2，3，…，n，…，每间房都住满了人，此时若再来一位旅客又该怎么安排？学生思考之后，我宣布：可以安排其住下。办法是：将1号客人安排到2号房去，2号客人安排到3号房去，依此类推，这样1号房就可以用来安排后面来的这位旅客了。这个例子很具体，一下子就抓住了无限集与有限集的差别，即无限集可以与自己的子集建立一一映射，但有限集却无法做到这一点。
二、教学模式
实变函数课程的讲授一般都是采取传统的粉笔讲课方式，该方法的优点是知识的传授推导直观，学生易于理解。但也有它的局限性，由于公式的推导过多，学生容易迷失于复杂的理论推演，就拿维它利引理的证明过程来说，整个证明过程就分好几步，每一步都需要复杂的构造，很长的分析，因此就产生了这样的问题：每一步学生知道是怎么回事，但却不知道为何要这样做。此外，在例题的分析中需要调用相关引理，构建某种形式的式子，通常要花费很长时间。但若全部采用多媒体教学的话，由于其承载的信息量跨度大，会导致学生对公式的理解与推导困难，也很难收到良好的教学效果。
因此我们采取传统教学方法为主，多媒体为辅的教学方式。在重难点处仍采用粉笔讲解，突出重难点，给学生留出更多的时间与空间来思考。与此同时，结合多媒体翻页方便，信息量大，在设计课堂的时候利用声音、图片、动画、图像等手段增加学生的兴趣，取得良好的效果。课堂中许多抽象的概念、定理或复杂的证明过程可以利用多媒体课件动态演示，让学生对抽象的知识有一个更深刻更直观的理解。这种传统教学与现代教学相结合的教学方式倍受学生的喜爱，提高了他们的学习兴趣。
三、教学方法
在课堂教学中，为了改变学生被动灌输的状况，我们尽量采取讨论式教学法，让学生积极参与，秉持老师为主导、学生为主体的教学原则，把课堂变成学生与教师共舞的剧场，真正使学生成为学习的主人。与此同时，尽量采取类比、引导、展望的方法延伸课堂。例如：有位学生在复习的过程中遇到一个数分积分试题，未得其解时问我，我提醒他若用Lebesgue积分来求解此积分是否可行，他思考了一下问题就迎刃而解。实变函数这门课程还是蛮有用的。
实变函数的习题一般都比较抽象，难以入手。究其原因，主要是书中习题大都是证明题，且又无模式可套。为了克服此困难，笔者搜集和自编了一些习题，这些习题一般都是很容易入手，与课堂的教学内容也很相近，容易引起学生的兴趣。通过这些习题的引导，学生再去做课后习题就要轻松许多。因此，增加过渡性题目是很有必要的。除此之外，我们也选择一些易于理解的章节让学生自己到课堂上讲解，使学生完全成为真正的主导者、受益者。
四、考核方式
考试最大的目的就是检查学生对所学科目知识的掌握，它是一个促进学生努力学习的好方法。平时努力学习，加上期末考试的集中复习，能使得学习者对该门课程有一个系统全面的理解与把握。但也总有一些这样的学生，平时不努力，仅仅依靠考前个把月的突击学习。这样做是很难真正领悟该课程的，特别是对于实变函数这样的科目。因此我们采用的考核方式是平时课堂表现及作业情况占20%，读书心得和课程论文占20%，期末考试成绩占60%。通过这种形式的评分，既让学生注重平时学习，又通过课程论文或读书心得的方式，自觉地去思考和总结课程的基本思想、内容、方法与技巧等，有效地提高学生的学习兴趣和效果。
以上内容是我们对实变函数课程改革的一些初步探索，其目的主要是为了培养学生自觉思考和自学的能力，为进一步提升自己打下坚实的基础。
参考文献：
[1]兰尧尧.实变函数课程教学初探[J].重庆文理学院学报， 2010（4）：95-97.
[2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].北京： 高等教育出版社. 1983.
作者简介：
袁子清（1985-），男，湖南邵阳人，博士，讲师，主要从事微分方程理论及应用的研究。
【关键词】实变函数 教学改革 教学手段
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）07-0123-02
“实变函数” 是数学专业的基础课，它是以勒贝格测度和积分理论为基础的一门学科，主要培养学生的抽象思维和数学推理能力。它也是实分析、泛函分析等课程的基础，近年来微分几何的发展也起到了引导作用。但由于实变函数高度的抽象性，使得学生学习该门课程时难度很大。因此，如何让学生学好该门课程是一个急待解决的问题。带着对该问题的思考，结合实际教学我们做了以下几方面的尝试，并取得了较好的效果。
一、教学内容
“实变函数” 作为一门基础学科，凡学过该课程的学生对它的印象是：抽象、枯燥、难懂，对此课也是一种惧怕心理。很多老師在讲课过程中只注重复杂定理的证明与解题技巧的讲授，淡化实变函数思想的解析。这不仅与开设该课的初衷相违背，也在一定程度上加剧了学生的厌学心理。不可否认，实变函数中许多的概念、定理都有一定的抽象性，这些结论的推导也很不简单。因此，如何把这些抽象的内容传递给学生，这是需要智慧的。在我们的课程教学中主要讲述其基本思想，回避或者简化某些复杂的构造，降低数学难度，减少乏味性，提升可读性。假定一个旅店有n间房，已经住满，此时若再来一位旅客，则无法安排其住下（设定每间房只住一人）。但若将条件改一下，假设该店有无穷多个房间，其编号为1，2，3，…，n，…，每间房都住满了人，此时若再来一位旅客又该怎么安排？学生思考之后，我宣布：可以安排其住下。办法是：将1号客人安排到2号房去，2号客人安排到3号房去，依此类推，这样1号房就可以用来安排后面来的这位旅客了。这个例子很具体，一下子就抓住了无限集与有限集的差别，即无限集可以与自己的子集建立一一映射，但有限集却无法做到这一点。
二、教学模式
实变函数课程的讲授一般都是采取传统的粉笔讲课方式，该方法的优点是知识的传授推导直观，学生易于理解。但也有它的局限性，由于公式的推导过多，学生容易迷失于复杂的理论推演，就拿维它利引理的证明过程来说，整个证明过程就分好几步，每一步都需要复杂的构造，很长的分析，因此就产生了这样的问题：每一步学生知道是怎么回事，但却不知道为何要这样做。此外，在例题的分析中需要调用相关引理，构建某种形式的式子，通常要花费很长时间。但若全部采用多媒体教学的话，由于其承载的信息量跨度大，会导致学生对公式的理解与推导困难，也很难收到良好的教学效果。
因此我们采取传统教学方法为主，多媒体为辅的教学方式。在重难点处仍采用粉笔讲解，突出重难点，给学生留出更多的时间与空间来思考。与此同时，结合多媒体翻页方便，信息量大，在设计课堂的时候利用声音、图片、动画、图像等手段增加学生的兴趣，取得良好的效果。课堂中许多抽象的概念、定理或复杂的证明过程可以利用多媒体课件动态演示，让学生对抽象的知识有一个更深刻更直观的理解。这种传统教学与现代教学相结合的教学方式倍受学生的喜爱，提高了他们的学习兴趣。
三、教学方法
在课堂教学中，为了改变学生被动灌输的状况，我们尽量采取讨论式教学法，让学生积极参与，秉持老师为主导、学生为主体的教学原则，把课堂变成学生与教师共舞的剧场，真正使学生成为学习的主人。与此同时，尽量采取类比、引导、展望的方法延伸课堂。例如：有位学生在复习的过程中遇到一个数分积分试题，未得其解时问我，我提醒他若用Lebesgue积分来求解此积分是否可行，他思考了一下问题就迎刃而解。实变函数这门课程还是蛮有用的。
实变函数的习题一般都比较抽象，难以入手。究其原因，主要是书中习题大都是证明题，且又无模式可套。为了克服此困难，笔者搜集和自编了一些习题，这些习题一般都是很容易入手，与课堂的教学内容也很相近，容易引起学生的兴趣。通过这些习题的引导，学生再去做课后习题就要轻松许多。因此，增加过渡性题目是很有必要的。除此之外，我们也选择一些易于理解的章节让学生自己到课堂上讲解，使学生完全成为真正的主导者、受益者。
四、考核方式
考试最大的目的就是检查学生对所学科目知识的掌握，它是一个促进学生努力学习的好方法。平时努力学习，加上期末考试的集中复习，能使得学习者对该门课程有一个系统全面的理解与把握。但也总有一些这样的学生，平时不努力，仅仅依靠考前个把月的突击学习。这样做是很难真正领悟该课程的，特别是对于实变函数这样的科目。因此我们采用的考核方式是平时课堂表现及作业情况占20%，读书心得和课程论文占20%，期末考试成绩占60%。通过这种形式的评分，既让学生注重平时学习，又通过课程论文或读书心得的方式，自觉地去思考和总结课程的基本思想、内容、方法与技巧等，有效地提高学生的学习兴趣和效果。
以上内容是我们对实变函数课程改革的一些初步探索，其目的主要是为了培养学生自觉思考和自学的能力，为进一步提升自己打下坚实的基础。
参考文献：
[1]兰尧尧.实变函数课程教学初探[J].重庆文理学院学报， 2010（4）：95-97.
[2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].北京： 高等教育出版社. 1983.
作者简介：
袁子清（1985-），男，湖南邵阳人，博士，讲师，主要从事微分方程理论及应用的研究。