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《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)已经颁布实施近10年了，其根本宗旨是培养学生的创新精神和实践能力，促进学生全面、和谐、健康发展，从而更好的实施素质教育. 由于《标准》重视了对学生创新能力的培养和要求. 一时间，出现了围绕《标准》的各种教学模式、创新教育的做法(探索)之类的文章铺天盖地，可谓是一派“繁荣”的课改景象. 然而，我们千万不能被这种表面的“假课改”现象所陶醉，应深入学校、走进课堂作全面地、冷静地思考与分析. 从而找出在教学中存在的这样或那样的问题，以便有针对性进行数学教学改革.
1 教师不能深入钻研教材，更不要说创造性地使用教材
工作的需要，每到一个学校习惯翻翻教师的备课本看看，真是“不看不知道，一看吓一跳”. 有的老师对一章的备课不足200字，问他在写这一章的整章备课时都读了哪些材料?用到了哪些课程资源?回答很干脆——“教科书”. 再问对《标准》的理解怎样?回答更利索——“没看”. 这一现状真是令人担忧.
我们知道，备课是教学的必要条件，通常分三步：第一步，对整册教材的备课. 新学期开始教师应在开学前浏览一遍即将讲授的教材，了解本册教材所涉及的基本内容，各章节的相互关系，以及这样安排的目的和其中渗透的数学思想、方法和有关的情感教育内容，从而做到对全册教材胸有成竹. 第二步，对每章的备课. 在讲授各章之前，应对本章的内容仔细阅读，深入分析它的各组成部分，找出贯穿其中的主线，从而把握各节内容的内在联系，以形成对教学内容的整体认识，明确本章的教学要求，正确地把握本章的教学重点、难点和关键，并能从数学思想的高度把握全章的教学内容. 第三步，课时备课. 深究细研地阅读一节教材，通过分析要弄清这节教材在本章中处于怎样的地位，本节内容的教学重点、难点和关键是什么?如何把知识点、能力点融于其中等.
无论哪一步的备课，教师都应自觉地依据《标准》的要求，广泛阅读有关的课程资源，“数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种教学资源、工具和场所”. 大家知道，《标准》规定的仅仅是最基本的教学目标，是一个平台，是“底线”要求. 而教科书是实现课程目标、实施教学的重要资源，它为学生的学习活动提供了基本的线索、基本内容和主要的数学活动机会. 对学生而言，教科书是他们从事数学学习活动的“出发点”，而不是“终结目标”. 从这个意义上讲，教师必须深入研究教科书. 就初中而言，教育部目前推荐了9套数学教材，每套教材都有自己的框架特色和处理方式，教师在备课时除应仔细推敲《标准》和自己所使用的教材外，至少还应持有别的两套教材，只有这样才能从宏观上把握教学的方向.
例如，教师如果用的是青岛出版社和泰山出版社出版的教科书(简称泰山本)，那么在备“实数”这一章的课时，将会发现“实数”一章包括“勾股定理”和“数的开方”两部分内容. 这种处理方式与别的版本是不一样的：
传统的教材对这两部分内容一直是分开处理的，例如，义务教育大纲版的教材是分代数和几何编写的，将“数的开方”编入《代数》第二册，把“勾股定理”编入《几何》第二册，都安排在初二学年学习，这样难以保证“同步”学习，必然导致内容上的“顺序颠倒”现象或事实上的“内容交织”而不能“言称”的现象.
再如，目前正在实验用的《标准》版本中的人教版本是先安排的实数，在间隔7章后才安排的勾股定理；华师大版本是先安排的实数，在间隔两章后才安排的勾股定理；北师大版本是先安排的勾股定理，随后紧挨着的就是实数.
这些版本都人为的把实数和勾股定理割裂开来，将二者独立处理. 这样的处理方式都不如泰山本的安排符合“数学史实”. 理由是：从《标准》可知勾股定理和实数分别是“空间与图形”和“数与代数”两个领域的核心内容，他们分别代表着“形”和“数”. 从科学发展史来看，二者是并存发展的. 如2，3，等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，所以说无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，反过来，勾股定理使得无理数有了明确直观的几何解释. 可见，把二者合为一体，能揭示出他们之间本来固有的实质性的联系，并且较好的体现了数学的整体性和文化价值，也有利于促进学生认知结构的优化. 正如我国著名数学家华罗庚曾说过的那样：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.
对于每一个重难点概念，只有做到深入钻研教科书，并大量阅读与之相关的材料，才能真正具备驾驭教材的能力. 教师个人除了自己要深入钻研教材认真备课外，还应以数学组为单位，抓住一些重要的章(单元、概念)，搞好集体备课，对于集体备课，我们认为重在明确本章的地位，对于本章所涉及的内容，教材是怎样统筹处理安排的，统一本章的教学重难点，定出引导学生学习本章的宏观思路等等. 所有这些都必须以深入钻研有关的课程资源为基础.
2 教学过程重视结果，忽视知识的形成过程
笔者曾听过一位老师执教的“锐角三角函数”(所用教材为华师大版). 这个老师的教学大体分以下环节(我们的目的不是评讲这节课，因此只给出要点)：
1.复习求操场上旗杆高度的方法；
2.在学生看书的基础上，教师总结、归纳：在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定值；在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的，进而指出，另外三个比值也是惟一确定的；
3.教师讲解三角函数的概念和例题；
4.让学生探索、计算得到sin30°的值，得到一个结论；
5.布置作业.
这节课是比较典型的传授课，没有展现出“三角函数”的形成过程，其基本模式是“复习——引入新课——重难点讲解——练习巩固——布置作业”. 这位老师认为：(1)教材内容就是知识发生发展的全过程，在研究教材时，没有对教材内容前后的本质联系进行系统的整理，导致教学过程就是照本宣科. (2)教师的思维逻辑就是学生的思维逻辑，没有充分关注学生的知识基础和思维特点，不能把当初数学家发现这些知识的思维过程及教师备课时的思维过程展现给学生，这样就导致思维错位. (3)不能暴露学生在学习中出现的错误. 这样的教学只能导致学生知其然，不知其所以然. 正如学生所反映的那样，我们的老师“列方程总是胸有成竹，添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，一做就错(或不会)”. 这样的教学掩盖、湮没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维活动. 这样的教学将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高，学生学到的只能是死的数学知识.
《标准》在刻画数学知识技能时除使用了“了解(认识)、理解、掌握、灵活运用”等目标性动词外，还首次使用了“经历(感受)、体验(体会)、探索”等刻画数学活动水平的过程性动词. 这足以说明数学教学重视知识形成过程的重要性和必要性，这就要求教师应设法把教学内容进行深加工，通过二次改造，按照“问题情境——建立模型——解释、应用和拓展”的思路去指导学生进行积极地探索，让同学们在经历观察、试验、猜测、验证、推理与交流的过程中，体验到问题的结论和方法之间的精彩过程，以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程，从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中. 千万不要把知识直接“塞”给学生，否则，就会出现“教师抛的快，学生忘的更快”的情形. 因此，学习数学的最好方法是做数学，让学生经历数学知识的形成与应用过程.
下面我们在这个意义上，给出“锐角三角函数”这节课的设计要点：
1.在过程中剖析概念的本质，明确其外延
对概念的深化认识必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析，剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征. 对于三角函数，可抓住正弦函数进行剖析，正弦函数涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识. 正弦函数的值本质上是一个“比值”. 为了突出这个比值，结合图1，今说明如下：
图1(1)正弦函数是一个比；
(2)这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；
(3)这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠A的终边上的位置无关(这一点可用相似三角形的原理来说明)；
(4)由于y的绝对值≤r，所以这个比值不会超过1.
以上就是正弦函数概念的本质属性. 同时引导学生通过探索、交流发现：∠α的终边上的一点P(x，y)一旦确定，就涉及x、y、r这三个量，任取其中两个就可以确定一个比值，这样的比值有且只有六个. 因此，基本三角函数只有六个，这便是三角函数的外延，在初中我们仅学习这六个中的四个.
2.引导学生探索得到这个“比值”就是“函数”的结论
紧扣函数这一概念，让学生找出上述“比值”中的自变量、函数及它们的对应规律. (这时，∠α是自变量，函数是“比”，这个“比”之所以叫做的函数，就在于对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应). 有了这样的一些认识，学生对正弦函数的理解就比较深刻了.
3.展示三角函数概念的产生过程
三角函数概念是一个用发生定义方式定义的概念，应借助于图形，通过定义的形成过程揭示出概念的发生过程. 三角函数概念的产生过程，实质上就给出了如下的一个构造程序：
(1)建立坐标系；
(2)计算∠α终边上一点P(x，y)到原点的距离r；
(3)作yr，xr，yx，xy四个比；
(4)分别给出四个比的名称；
(5)给出三角函数的定义.
图2在具体引导时，必须揭示出三角函数的产生过程，这样易于接受和掌握. 如sin30°的产生过程是：建立如图2所示的坐标系，在30°角的终边上任取一点P(x，y)，显然，P点到O的距离r=2y，所以sin30°=yr=y2y=12.
教师在引导学生经历探索知识的过程中，必须准确地理解并把握描述知识性目标和过程性目标的有关动词的含义. 把握准它们的含义有两层意思：一是不能过低的要求学生，这样就达不到《标准》的要求，完不成学习的任务，造成对后续学习缺乏“奠基”的知识，必然导致学生的数学基础打不好；二是不能过高的要求学生，这样会增加学生的学习负担，影响其身心健康，久而久之将会抹杀他们学习数学的信心，同样也达不到提高学生数学素养的目的. 前者就是人们通常说的“教学要求”过低，后者便是“教学要求”过高. 出现这些现象的原因就是由于教师把握不准描述目标的一些动词的含义所致. 多年的教书实践告诉我们，持这两个“极端”的教师是造成有些学生学不好数学的主要因素，这样必然会影响数学教学质量的提高.
长期以来，数学教学只注重知识的传授，忽视知识的发生过程，不讲背景和过程，把结论硬塞给学生. 不注意引导学生经历观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的完整过程. 割裂过程与结果的连续性. 没有合理理解数学教学的过程特征，忽视过程本身丰富的内在价值. 新一轮数学课程改革提出了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标. 强调数学教学的过程特征，彰显数学教学的过程价值是《标准》的突出特色之一.
3 对“合作交流”不能正确理解
学习方式是当代教育理论研究中的一个重要概念，它反映了学生在完成认知任务时的思维水平. 《标准》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. 因此，许多教师就在课堂教学中广泛使用“合作交流”的学习方式. 可以肯定的是这些教师的动机和想法都是对的. 然而，从目前教学的实际情况看，存在着不恰当的滥用现象. 合作的随意性较大，主要表现有：
3.1 把合作学习看成了一种“灵丹妙药”
目前，出现了这样的一种情况：不管什么内容的数学课，都用小组合作，把合作学习当作灵丹妙药. 我们知道合作学习不是一种教学形式的简单变换，而是一种教育观念的转变，更是一种理念的升级和更新. 而数学中的一些约定、规则是不适宜让学生合作探究的，特别是义务教育阶段的数学概念、定理等，这些内容都是学生无法在较短的时间内经过探究得到的，对这样的内容进行合作学习，只能是浪费时间. 像小学低年级的计算题(计算25×16-12÷4)，初中的解方程(解方程2x-1=9)，有关简单几何题目的运算(如α、β是互余的两角，且α是β的2倍，求α、β)等题目，如果让学生合作，充其量不过是比比计算速度，校对一下答案而已. 因此，类似这样一些无实质性、无意义的合作，我们建议教师还是不要再演给别人看，要真正树立起并落实好“淡化形式，注重实质”的教育教学思想.
任何一门课中都有大量的不适宜合作学习的内容，再加上低年级的学生也不能进行实质性的合作，一般来说，过易、过难或者难以合作、难以交流的内容，都不宜让学生合作学习，另外，在一节课中安排合作学习的次数也不宜过多，对此，教师必须做到心中有数，对于合作的时机要准确把握，每次让学生合作学习的时间应充分. 以具体的教育“现实”作为可否用合作学习的标准，而不可一味的追求“时髦合作”.
3.2 合作学习的题目设计的不具有“挑战性”
对于需要合作学习的内容，教师一定要设计好合作探究的题目，并给学生足够的思考时间. 如果题目设计的不科学、对学生没有挑战性、无引导学生探究的实际意义，这种假讨论、伪装的合作，同样是没有意义的.
例如，《探索三角形相似的条件》(北师大版)第一课时的内容是：探索得到“两角对应相等的两个三角形相似”. 一位老师设计了下面的问题让学生合作：
(1)画一个△ABC，使∠B=60°. 与同伴交流，你们所画的三角形相似吗?
(2)与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β. 比较你们所画的两个三角形，∠C和∠C′相等吗?对应边的比ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′相等吗?这样的两个三角形相似吗?
对于这样的问题，笔者认为就不能很好的引导学生去探索，理由有二：首先∠α，∠β是固定的，不具有普遍性；其次，学生的活动不充分. 对于类似这些问题理应让学生通过动手操作重现知识发生过程的探索活动，应该让他们多进行自主探索、发现、归纳、交流等活动，所以仅通过画一二个图形是不够的.
下面是我们对这节课给出的一连串问题：
如图3，给出了△ABC和△DEF的大小，请思考下面的问题：
图3(1)∠C与∠F，∠A与∠D相等吗?
(2)ABDE，BCEF，ACDF彼此相等吗?
(3)△ABC∽△DEF吗?
(4)在△ABC和△DEF中，如果让∠B和∠E同时增加或减少相同的度数，而保持边AB、DE、BC、EF的长度不变，△ABC和△DEF仍能保持相似吗?
(5)在△ABC和△DEF中，如果∠B和∠E的大小不变，改变AB、BC、DE、EF的长度，并使ABDE=BCEF，你还能得到△ABC和△DEF相似的结论吗?
学生面对这一连串的具有挑战性、探索性的问题，先通过度量计算，然后思考、交流，最后自己就能归纳出三角形相似的判定方法.
3.3 留给学生独立思考的时间不充足
应用合作交流的学习方式，必须给学生留下大量的自主探索时间，切忌匆匆结束合作交流的过程，否则就是无效合作. 常见的情况是，教师布置完问题几分钟后就叫停，学生根本没有思考完这些问题，更不用说交流了.
4 多媒体教学“喧宾夺主”
《标准》鼓励教师在教学中应充分运用现代信息技术，因为现代信息技术对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式都能产生积极的影响：它能为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具；为学生的学习和发展提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野等. 所以，现在只要是公开课，如果不用多媒体就好像觉得这节课准备得不充分. 特别是教坛新秀评比、优质课评比更是如此. 我们认为，用具体形象的多媒体可使学生能从中体验到形象与抽象的关系，较好的理解问题，表现是学习氛围浓厚，学生也比较喜欢. 但透过这种表面现象可以看出，教师似乎成了课堂教学的奴隶，而多媒体教学程序的粉墨登场，却成了课堂教学的主宰.
例如，有一位老师上《全等形》，这一节课主要介绍在我们生活中存在大量的全等的图形，利用多媒体向学生展示我们生活中的全等形，这个老师收集了许多图片，也确实把这种美感带给了大家，所以在课件的导入上就花费了将近20分钟的时间，由于欣赏时间太长，学生只顾看那么多美丽的图片，势必把教学的重点淡化了. 这样就违背了现代教育技术的本意，走到了多媒体教学的另外一个极端.
5 对教学反思仅仅是应付而已
从听课座谈或检查教师的备课本可以发现教师对教学反思的重视程度是很不够的，出现执教老师不会说(写)教学反思的怪现象. 我们认为教师深刻反思自己的课堂教学对于有效地改进自己的教学，提高教师的专业素质是非常重要的. 所谓教学反思就是教师自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行的全面而深入地冷静思考和总结. 简言之，教学反思就是研究自己如何教和如何学的问题. 具体说来，教师的教学反思应该是：
5.1 反思教学行为是否达到教学目标的要求
每节课都有具体的教学目标，教师完成一节课后，要回顾一下自己的教学行为是否完成了教学目标的要求，《标准》要求在教学中特别要注意培养学生的情感、态度和价值观，所以在反思教学目标的达成情况时，教师应认真的思考一下在本节课的教学过程中是否将情感、态度、价值观的培养有机地融入到课堂教学内容中去，并有意识地贯穿于教学过程之中，使其成为课程教学内容的血肉，成为教学过程的灵魂.
5.2 反思教学过程是否尊重了学生的个性差异
我们知道在面对具有不同学习方式、不同学习类型的学生时，采用同样的教法，教授同样的内容显然是不公平的. 《标准》要求面向全体应该是教师针对不同学习方式、不同学习类型的学生，设计不同的教与学的方式，寻求复合、多变、立体的教学方式方法，以满足不同类型学生的真正需要，进行差异性教学，让各种类型的学生都能得到学习的满足和成功的喜悦. 也就是说，我们的每一堂课，都应当面向各种学习类型的学生，设计多种教学方式，因材施教，进行差异性教学，做到真正意义上的面向全体. 因此教师要认真反思自己的教学现实是否立足于学生的个体差异.
5.3 反思是否把课堂变成了与学生平等交往的阵地
教学过程是由教师教的动态过程和学生学的动态过程组成的，教学中如果能实现这两个过程的平衡，使教师教的动态过程与学生学的动态过程能做到同步发展，这是教育教学的理想境界. 因此，《标准》把教学过程看成是师生交往、积极互动、共同发展的过程. 特别强调教与学的交往、互动，师生之间的相互交流、沟通、启发、补充. 在这样的教学活动中，学生不仅是教育的对象，更是教育的主体；学生的任务不仅是学习科学文化知识，更重要的是以学习科学文化知识为手段，促进自身的不断发展. 从本质上讲，教学活动不是教师教，学生学，而是教师正确地、恰当地组织学生的学习活动，以实现教学过程的积极化. 而能否做到这一点，关键是看教师能否把课堂变成自己与学生进行平等交往的阵地，对此教师应进行深刻的反思.
5.4 反思自己是否参与了课程的开发
在传统的教学中，“课程”被理解为规范性的教学内容，而这种规范性的教学内容是按照学科进行编排的，因此，“课程”又被界定为学科或各门学科的总和. 《标准》意义下的课程资源建设还要大大加强，它由“专制”走向民主，由“封闭”走向开放，由专家研制走向教师开发，由学科内容走向学生经验. 可见，课程不只是“文本课程”(教学计划、教学大纲、教科书等文件)，而更是可以让教师与学生能体验到、感受到、领悟到的所谓“体验课程”. 这就决定了课程的内容和意义在本质上并不是对每个人都是一样的，任何一位教师和学生都可以对教学内容给出自己的理解和解读，并对其进行变革与创新，把其内化成自己的东西. 这就要求课程必须与教学相互整合，教师和学生不再处于课程之外，他们已经成为课程的有机组成部分. 教师不能仅是课程的机械执行者，更应是课程的建设者和开发者. 把教学过程由传统的“课程的传递和执行”过程转变为“课程的创生与开发”过程，这样以来，教学与课程就能做到相互转化，相互促进，彼此有机的融为一体，一节课下来，教师应反思一下自己对课程的开发利用情况.
5.5 反思再“设计”
通过前面的四个反思，教师已经意识到自己这节课的成功之处和不足之处，至此还不够，还要思考一下如果再让我上这节课，我该怎样设计?这才是反思的根本所在!再设计时就要发扬长处，改进不足之处，这样的课才是有生命力的，只有这样教师才能获得长足的进步.
以上我们分析论述了目前数学教学改革中存在的几个根本问题，我们广大的数学教师应不断地加强学习和研究《标准》的新理念，努力把握数学课程改革的主流问题，以提高自己的综合执教能力，通过数学教育使学生既能获得一定的数学知识、具备相应的数学能力，从而提高他们的科学文化素质，还要用数学的精神、思想和方法去感染学生、教育学生，使其在情感、意志、品质及思维方法等方面，受到广泛的熏陶.
参考文献
[1] 李树臣. 正确处理五个关系 全面落实课改精神[J] .当代教育科学，2003，(3).
[2] 李树臣. 钻研数学教材宜分三步进行[J] .中学数学杂志，2003，(5).
[3] 李树臣. 论知识经济时代中学数学教育的培养目标[J] .教育实践与研究，2004，(8).
[4] 李树臣. 新课改下数学教学改革的若干特点[J] .山东教育，2004，(11).
[5] 李红婷，李树臣. 新课改下数学教育的两大突出问题[J] .当代教育科学，2004，(17).
[6] 李树臣. 新课程《标准》下的数学教育[J] .中学数学杂志，2006，(4).
[7] 教育部. 数学课程《数学课程标准》[S] .北京：北京师范大学出版社，2001.7.
[8] 刘兼，孙晓天 .数学课程标准解读[M] .北京：北京师范大学出版社，2002.5.
作者简介见本刊2008年第4期(总第215期第4页).
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1 教师不能深入钻研教材，更不要说创造性地使用教材
工作的需要，每到一个学校习惯翻翻教师的备课本看看，真是“不看不知道，一看吓一跳”. 有的老师对一章的备课不足200字，问他在写这一章的整章备课时都读了哪些材料?用到了哪些课程资源?回答很干脆——“教科书”. 再问对《标准》的理解怎样?回答更利索——“没看”. 这一现状真是令人担忧.
我们知道，备课是教学的必要条件，通常分三步：第一步，对整册教材的备课. 新学期开始教师应在开学前浏览一遍即将讲授的教材，了解本册教材所涉及的基本内容，各章节的相互关系，以及这样安排的目的和其中渗透的数学思想、方法和有关的情感教育内容，从而做到对全册教材胸有成竹. 第二步，对每章的备课. 在讲授各章之前，应对本章的内容仔细阅读，深入分析它的各组成部分，找出贯穿其中的主线，从而把握各节内容的内在联系，以形成对教学内容的整体认识，明确本章的教学要求，正确地把握本章的教学重点、难点和关键，并能从数学思想的高度把握全章的教学内容. 第三步，课时备课. 深究细研地阅读一节教材，通过分析要弄清这节教材在本章中处于怎样的地位，本节内容的教学重点、难点和关键是什么?如何把知识点、能力点融于其中等.
无论哪一步的备课，教师都应自觉地依据《标准》的要求，广泛阅读有关的课程资源，“数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种教学资源、工具和场所”. 大家知道，《标准》规定的仅仅是最基本的教学目标，是一个平台，是“底线”要求. 而教科书是实现课程目标、实施教学的重要资源，它为学生的学习活动提供了基本的线索、基本内容和主要的数学活动机会. 对学生而言，教科书是他们从事数学学习活动的“出发点”，而不是“终结目标”. 从这个意义上讲，教师必须深入研究教科书. 就初中而言，教育部目前推荐了9套数学教材，每套教材都有自己的框架特色和处理方式，教师在备课时除应仔细推敲《标准》和自己所使用的教材外，至少还应持有别的两套教材，只有这样才能从宏观上把握教学的方向.
例如，教师如果用的是青岛出版社和泰山出版社出版的教科书(简称泰山本)，那么在备“实数”这一章的课时，将会发现“实数”一章包括“勾股定理”和“数的开方”两部分内容. 这种处理方式与别的版本是不一样的：
传统的教材对这两部分内容一直是分开处理的，例如，义务教育大纲版的教材是分代数和几何编写的，将“数的开方”编入《代数》第二册，把“勾股定理”编入《几何》第二册，都安排在初二学年学习，这样难以保证“同步”学习，必然导致内容上的“顺序颠倒”现象或事实上的“内容交织”而不能“言称”的现象.
再如，目前正在实验用的《标准》版本中的人教版本是先安排的实数，在间隔7章后才安排的勾股定理；华师大版本是先安排的实数，在间隔两章后才安排的勾股定理；北师大版本是先安排的勾股定理，随后紧挨着的就是实数.
这些版本都人为的把实数和勾股定理割裂开来，将二者独立处理. 这样的处理方式都不如泰山本的安排符合“数学史实”. 理由是：从《标准》可知勾股定理和实数分别是“空间与图形”和“数与代数”两个领域的核心内容，他们分别代表着“形”和“数”. 从科学发展史来看，二者是并存发展的. 如2，3，等无理数是伴随着勾股定理的发现而诞生的，所以说无理数使得勾股定理对于边长是任意正数的直角三角形都能成立，反过来，勾股定理使得无理数有了明确直观的几何解释. 可见，把二者合为一体，能揭示出他们之间本来固有的实质性的联系，并且较好的体现了数学的整体性和文化价值，也有利于促进学生认知结构的优化. 正如我国著名数学家华罗庚曾说过的那样：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.
对于每一个重难点概念，只有做到深入钻研教科书，并大量阅读与之相关的材料，才能真正具备驾驭教材的能力. 教师个人除了自己要深入钻研教材认真备课外，还应以数学组为单位，抓住一些重要的章(单元、概念)，搞好集体备课，对于集体备课，我们认为重在明确本章的地位，对于本章所涉及的内容，教材是怎样统筹处理安排的，统一本章的教学重难点，定出引导学生学习本章的宏观思路等等. 所有这些都必须以深入钻研有关的课程资源为基础.
2 教学过程重视结果，忽视知识的形成过程
笔者曾听过一位老师执教的“锐角三角函数”(所用教材为华师大版). 这个老师的教学大体分以下环节(我们的目的不是评讲这节课，因此只给出要点)：
1.复习求操场上旗杆高度的方法；
2.在学生看书的基础上，教师总结、归纳：在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定值；在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的，进而指出，另外三个比值也是惟一确定的；
3.教师讲解三角函数的概念和例题；
4.让学生探索、计算得到sin30°的值，得到一个结论；
5.布置作业.
这节课是比较典型的传授课，没有展现出“三角函数”的形成过程，其基本模式是“复习——引入新课——重难点讲解——练习巩固——布置作业”. 这位老师认为：(1)教材内容就是知识发生发展的全过程，在研究教材时，没有对教材内容前后的本质联系进行系统的整理，导致教学过程就是照本宣科. (2)教师的思维逻辑就是学生的思维逻辑，没有充分关注学生的知识基础和思维特点，不能把当初数学家发现这些知识的思维过程及教师备课时的思维过程展现给学生，这样就导致思维错位. (3)不能暴露学生在学习中出现的错误. 这样的教学只能导致学生知其然，不知其所以然. 正如学生所反映的那样，我们的老师“列方程总是胸有成竹，添设辅助线总是马到成功，演算证明总是简捷而又灵活”，“我们是一听就懂，一做就错(或不会)”. 这样的教学掩盖、湮没了数学发现、数学创造、数学真实应用的思维活动. 这样的教学将会抑制学生的探索、发现、创新思想，阻碍学生思维的发展和能力的提高，学生学到的只能是死的数学知识.
《标准》在刻画数学知识技能时除使用了“了解(认识)、理解、掌握、灵活运用”等目标性动词外，还首次使用了“经历(感受)、体验(体会)、探索”等刻画数学活动水平的过程性动词. 这足以说明数学教学重视知识形成过程的重要性和必要性，这就要求教师应设法把教学内容进行深加工，通过二次改造，按照“问题情境——建立模型——解释、应用和拓展”的思路去指导学生进行积极地探索，让同学们在经历观察、试验、猜测、验证、推理与交流的过程中，体验到问题的结论和方法之间的精彩过程，以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程，从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中. 千万不要把知识直接“塞”给学生，否则，就会出现“教师抛的快，学生忘的更快”的情形. 因此，学习数学的最好方法是做数学，让学生经历数学知识的形成与应用过程.
下面我们在这个意义上，给出“锐角三角函数”这节课的设计要点：
1.在过程中剖析概念的本质，明确其外延
对概念的深化认识必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析，剖析概念的内涵就是抓住概念的本质特征. 对于三角函数，可抓住正弦函数进行剖析，正弦函数涉及到比的定义、角的大小、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数概念等知识. 正弦函数的值本质上是一个“比值”. 为了突出这个比值，结合图1，今说明如下：
图1(1)正弦函数是一个比；
(2)这个比是∠α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值；
(3)这个比值随∠α的确定而确定，与点在∠A的终边上的位置无关(这一点可用相似三角形的原理来说明)；
(4)由于y的绝对值≤r，所以这个比值不会超过1.
以上就是正弦函数概念的本质属性. 同时引导学生通过探索、交流发现：∠α的终边上的一点P(x，y)一旦确定，就涉及x、y、r这三个量，任取其中两个就可以确定一个比值，这样的比值有且只有六个. 因此，基本三角函数只有六个，这便是三角函数的外延，在初中我们仅学习这六个中的四个.
2.引导学生探索得到这个“比值”就是“函数”的结论
紧扣函数这一概念，让学生找出上述“比值”中的自变量、函数及它们的对应规律. (这时，∠α是自变量，函数是“比”，这个“比”之所以叫做的函数，就在于对∠α的每一个确定的值，都有一个确定的比值与之相对应). 有了这样的一些认识，学生对正弦函数的理解就比较深刻了.
3.展示三角函数概念的产生过程
三角函数概念是一个用发生定义方式定义的概念，应借助于图形，通过定义的形成过程揭示出概念的发生过程. 三角函数概念的产生过程，实质上就给出了如下的一个构造程序：
(1)建立坐标系；
(2)计算∠α终边上一点P(x，y)到原点的距离r；
(3)作yr，xr，yx，xy四个比；
(4)分别给出四个比的名称；
(5)给出三角函数的定义.
图2在具体引导时，必须揭示出三角函数的产生过程，这样易于接受和掌握. 如sin30°的产生过程是：建立如图2所示的坐标系，在30°角的终边上任取一点P(x，y)，显然，P点到O的距离r=2y，所以sin30°=yr=y2y=12.
教师在引导学生经历探索知识的过程中，必须准确地理解并把握描述知识性目标和过程性目标的有关动词的含义. 把握准它们的含义有两层意思：一是不能过低的要求学生，这样就达不到《标准》的要求，完不成学习的任务，造成对后续学习缺乏“奠基”的知识，必然导致学生的数学基础打不好；二是不能过高的要求学生，这样会增加学生的学习负担，影响其身心健康，久而久之将会抹杀他们学习数学的信心，同样也达不到提高学生数学素养的目的. 前者就是人们通常说的“教学要求”过低，后者便是“教学要求”过高. 出现这些现象的原因就是由于教师把握不准描述目标的一些动词的含义所致. 多年的教书实践告诉我们，持这两个“极端”的教师是造成有些学生学不好数学的主要因素，这样必然会影响数学教学质量的提高.
长期以来，数学教学只注重知识的传授，忽视知识的发生过程，不讲背景和过程，把结论硬塞给学生. 不注意引导学生经历观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的完整过程. 割裂过程与结果的连续性. 没有合理理解数学教学的过程特征，忽视过程本身丰富的内在价值. 新一轮数学课程改革提出了“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标. 强调数学教学的过程特征，彰显数学教学的过程价值是《标准》的突出特色之一.
3 对“合作交流”不能正确理解
学习方式是当代教育理论研究中的一个重要概念，它反映了学生在完成认知任务时的思维水平. 《标准》指出：动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式. 因此，许多教师就在课堂教学中广泛使用“合作交流”的学习方式. 可以肯定的是这些教师的动机和想法都是对的. 然而，从目前教学的实际情况看，存在着不恰当的滥用现象. 合作的随意性较大，主要表现有：
3.1 把合作学习看成了一种“灵丹妙药”
目前，出现了这样的一种情况：不管什么内容的数学课，都用小组合作，把合作学习当作灵丹妙药. 我们知道合作学习不是一种教学形式的简单变换，而是一种教育观念的转变，更是一种理念的升级和更新. 而数学中的一些约定、规则是不适宜让学生合作探究的，特别是义务教育阶段的数学概念、定理等，这些内容都是学生无法在较短的时间内经过探究得到的，对这样的内容进行合作学习，只能是浪费时间. 像小学低年级的计算题(计算25×16-12÷4)，初中的解方程(解方程2x-1=9)，有关简单几何题目的运算(如α、β是互余的两角，且α是β的2倍，求α、β)等题目，如果让学生合作，充其量不过是比比计算速度，校对一下答案而已. 因此，类似这样一些无实质性、无意义的合作，我们建议教师还是不要再演给别人看，要真正树立起并落实好“淡化形式，注重实质”的教育教学思想.
任何一门课中都有大量的不适宜合作学习的内容，再加上低年级的学生也不能进行实质性的合作，一般来说，过易、过难或者难以合作、难以交流的内容，都不宜让学生合作学习，另外，在一节课中安排合作学习的次数也不宜过多，对此，教师必须做到心中有数，对于合作的时机要准确把握，每次让学生合作学习的时间应充分. 以具体的教育“现实”作为可否用合作学习的标准，而不可一味的追求“时髦合作”.
3.2 合作学习的题目设计的不具有“挑战性”
对于需要合作学习的内容，教师一定要设计好合作探究的题目，并给学生足够的思考时间. 如果题目设计的不科学、对学生没有挑战性、无引导学生探究的实际意义，这种假讨论、伪装的合作，同样是没有意义的.
例如，《探索三角形相似的条件》(北师大版)第一课时的内容是：探索得到“两角对应相等的两个三角形相似”. 一位老师设计了下面的问题让学生合作：
(1)画一个△ABC，使∠B=60°. 与同伴交流，你们所画的三角形相似吗?
(2)与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β. 比较你们所画的两个三角形，∠C和∠C′相等吗?对应边的比ABA′B′=ACA′C′=BCB′C′相等吗?这样的两个三角形相似吗?
对于这样的问题，笔者认为就不能很好的引导学生去探索，理由有二：首先∠α，∠β是固定的，不具有普遍性；其次，学生的活动不充分. 对于类似这些问题理应让学生通过动手操作重现知识发生过程的探索活动，应该让他们多进行自主探索、发现、归纳、交流等活动，所以仅通过画一二个图形是不够的.
下面是我们对这节课给出的一连串问题：
如图3，给出了△ABC和△DEF的大小，请思考下面的问题：
图3(1)∠C与∠F，∠A与∠D相等吗?
(2)ABDE，BCEF，ACDF彼此相等吗?
(3)△ABC∽△DEF吗?
(4)在△ABC和△DEF中，如果让∠B和∠E同时增加或减少相同的度数，而保持边AB、DE、BC、EF的长度不变，△ABC和△DEF仍能保持相似吗?
(5)在△ABC和△DEF中，如果∠B和∠E的大小不变，改变AB、BC、DE、EF的长度，并使ABDE=BCEF，你还能得到△ABC和△DEF相似的结论吗?
学生面对这一连串的具有挑战性、探索性的问题，先通过度量计算，然后思考、交流，最后自己就能归纳出三角形相似的判定方法.
3.3 留给学生独立思考的时间不充足
应用合作交流的学习方式，必须给学生留下大量的自主探索时间，切忌匆匆结束合作交流的过程，否则就是无效合作. 常见的情况是，教师布置完问题几分钟后就叫停，学生根本没有思考完这些问题，更不用说交流了.
4 多媒体教学“喧宾夺主”
《标准》鼓励教师在教学中应充分运用现代信息技术，因为现代信息技术对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式都能产生积极的影响：它能为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具；为学生的学习和发展提供探索复杂问题、多角度理解数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野等. 所以，现在只要是公开课，如果不用多媒体就好像觉得这节课准备得不充分. 特别是教坛新秀评比、优质课评比更是如此. 我们认为，用具体形象的多媒体可使学生能从中体验到形象与抽象的关系，较好的理解问题，表现是学习氛围浓厚，学生也比较喜欢. 但透过这种表面现象可以看出，教师似乎成了课堂教学的奴隶，而多媒体教学程序的粉墨登场，却成了课堂教学的主宰.
例如，有一位老师上《全等形》，这一节课主要介绍在我们生活中存在大量的全等的图形，利用多媒体向学生展示我们生活中的全等形，这个老师收集了许多图片，也确实把这种美感带给了大家，所以在课件的导入上就花费了将近20分钟的时间，由于欣赏时间太长，学生只顾看那么多美丽的图片，势必把教学的重点淡化了. 这样就违背了现代教育技术的本意，走到了多媒体教学的另外一个极端.
5 对教学反思仅仅是应付而已
从听课座谈或检查教师的备课本可以发现教师对教学反思的重视程度是很不够的，出现执教老师不会说(写)教学反思的怪现象. 我们认为教师深刻反思自己的课堂教学对于有效地改进自己的教学，提高教师的专业素质是非常重要的. 所谓教学反思就是教师自觉地把自己的课堂教学实践，作为认识对象而进行的全面而深入地冷静思考和总结. 简言之，教学反思就是研究自己如何教和如何学的问题. 具体说来，教师的教学反思应该是：
5.1 反思教学行为是否达到教学目标的要求
每节课都有具体的教学目标，教师完成一节课后，要回顾一下自己的教学行为是否完成了教学目标的要求，《标准》要求在教学中特别要注意培养学生的情感、态度和价值观，所以在反思教学目标的达成情况时，教师应认真的思考一下在本节课的教学过程中是否将情感、态度、价值观的培养有机地融入到课堂教学内容中去，并有意识地贯穿于教学过程之中，使其成为课程教学内容的血肉，成为教学过程的灵魂.
5.2 反思教学过程是否尊重了学生的个性差异
我们知道在面对具有不同学习方式、不同学习类型的学生时，采用同样的教法，教授同样的内容显然是不公平的. 《标准》要求面向全体应该是教师针对不同学习方式、不同学习类型的学生，设计不同的教与学的方式，寻求复合、多变、立体的教学方式方法，以满足不同类型学生的真正需要，进行差异性教学，让各种类型的学生都能得到学习的满足和成功的喜悦. 也就是说，我们的每一堂课，都应当面向各种学习类型的学生，设计多种教学方式，因材施教，进行差异性教学，做到真正意义上的面向全体. 因此教师要认真反思自己的教学现实是否立足于学生的个体差异.
5.3 反思是否把课堂变成了与学生平等交往的阵地
教学过程是由教师教的动态过程和学生学的动态过程组成的，教学中如果能实现这两个过程的平衡，使教师教的动态过程与学生学的动态过程能做到同步发展，这是教育教学的理想境界. 因此，《标准》把教学过程看成是师生交往、积极互动、共同发展的过程. 特别强调教与学的交往、互动，师生之间的相互交流、沟通、启发、补充. 在这样的教学活动中，学生不仅是教育的对象，更是教育的主体；学生的任务不仅是学习科学文化知识，更重要的是以学习科学文化知识为手段，促进自身的不断发展. 从本质上讲，教学活动不是教师教，学生学，而是教师正确地、恰当地组织学生的学习活动，以实现教学过程的积极化. 而能否做到这一点，关键是看教师能否把课堂变成自己与学生进行平等交往的阵地，对此教师应进行深刻的反思.
5.4 反思自己是否参与了课程的开发
在传统的教学中，“课程”被理解为规范性的教学内容，而这种规范性的教学内容是按照学科进行编排的，因此，“课程”又被界定为学科或各门学科的总和. 《标准》意义下的课程资源建设还要大大加强，它由“专制”走向民主，由“封闭”走向开放，由专家研制走向教师开发，由学科内容走向学生经验. 可见，课程不只是“文本课程”(教学计划、教学大纲、教科书等文件)，而更是可以让教师与学生能体验到、感受到、领悟到的所谓“体验课程”. 这就决定了课程的内容和意义在本质上并不是对每个人都是一样的，任何一位教师和学生都可以对教学内容给出自己的理解和解读，并对其进行变革与创新，把其内化成自己的东西. 这就要求课程必须与教学相互整合，教师和学生不再处于课程之外，他们已经成为课程的有机组成部分. 教师不能仅是课程的机械执行者，更应是课程的建设者和开发者. 把教学过程由传统的“课程的传递和执行”过程转变为“课程的创生与开发”过程，这样以来，教学与课程就能做到相互转化，相互促进，彼此有机的融为一体，一节课下来，教师应反思一下自己对课程的开发利用情况.
5.5 反思再“设计”
通过前面的四个反思，教师已经意识到自己这节课的成功之处和不足之处，至此还不够，还要思考一下如果再让我上这节课，我该怎样设计?这才是反思的根本所在!再设计时就要发扬长处，改进不足之处，这样的课才是有生命力的，只有这样教师才能获得长足的进步.
以上我们分析论述了目前数学教学改革中存在的几个根本问题，我们广大的数学教师应不断地加强学习和研究《标准》的新理念，努力把握数学课程改革的主流问题，以提高自己的综合执教能力，通过数学教育使学生既能获得一定的数学知识、具备相应的数学能力，从而提高他们的科学文化素质，还要用数学的精神、思想和方法去感染学生、教育学生，使其在情感、意志、品质及思维方法等方面，受到广泛的熏陶.
参考文献
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作者简介见本刊2008年第4期(总第215期第4页).
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