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摘 要：文章根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微分与积分关系及铰链的特性，得出了一种多跨静定梁内力图的快速画法。
关键词：静定梁；内力图；弯矩；剪力
中图分类号：TU311 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）03－0118－02
在工程结构的强度计算中，结构的内力分析是必不可少的一个重要环节，根据内力图找出结构中可能的危险截面是结构强度分析中最直观有效的方法，因此，快速、准确地绘制结构内力图对工程结构设计具有重要的现实意义。
1 快速绘制多跨静定梁内力图的思路
多跨静定梁是由若干单跨梁用铰链及支座链杆联结而成的静定杆系结构。这种形式常见于预制的装配式结构中。多跨静定梁内力图绘制的经典方法与步骤为：①先画层次图；②根据层次图，把多跨静定梁拆成若干单跨静定梁；③先附属部分，后基本部分依次求出各单跨梁的反力；④根据材料力学介绍的方法画出各单跨梁的内力图，然后把它们画在同一水平线上，并联接起来，便得多跨静定梁的内力图。上述方法要将多跨梁拆成若干单跨梁，并对每一单跨梁进行受力分析，画出受力图，建立静力平衡方程，求出各单跨梁的反力，最后根据材料力学介绍的方法画出各单跨梁的内力图。这种方法计算量很大，容易出错。本文介绍的方法是不取分离体，不拆分，不求支座反力，不用截面法求内力。而是根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微积分关系及铰链的特性，对某些梁段，先由梁上荷载画出剪力图，然后由剪力图画出弯矩图；对另一些梁段，先由区段叠加法画出弯矩图，然后由弯矩图画出该梁段的剪力图，最后在支座处用竖线连接左右内力图，便得多跨静定梁内力图。
本文介绍的新方法与经典方法基本规定一致，即取杆的轴线为基线，垂直于基线的纵距表示梁该截面的内力，剪力以绕分离体上任意一点有顺转趋势为正，反之为负；弯矩以使梁产生下凸变形为正，反之为负。剪力图的正值画在基线上方，负值画在基线下方，弯矩图始终画在杆件纤维受拉一侧，可以不标正负号。
2 经典理论
弯矩、剪力和分布荷载集度间的微积分关系为：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
式中M（x）、Q（x）分别是坐标x处横截面上的弯矩、剪力，q（x）为该处的荷载集度，规定向上为正，MA、MB分别为x＝a和x＝b处两个横截面上的弯距，QA、QB分别为x＝a和x＝b处两个横截面上的剪力。
（1）式的几何意义为剪力图在某截面处的切线斜率等于该截面的荷载集度的大小。
（2）式的几何意义为弯矩图在某截面处的切线斜率等于该截面的剪力。
（3）式的几何意义为分布荷载的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
（4）式的几何意义为B、A两横截面的剪力差，等于这两横截面间梁段上的荷载图面积。
（5）式的几何意义为B、A两横截面的弯矩之差，等于这两横截面间剪力图的面积［1］。
由上述的理论可得出如下规律（只针对常见荷载而言）：
（1）从左往右看，无荷载作用梁段的剪力图为与基线平行的直线，弯矩图为一倾斜直线，斜直线上升或下降的铅直高度等于该段剪力图的面积（本文中面积一律取正，下同），剪力为正时弯矩图下斜（），剪力为负时，弯矩图上斜（/）；均布荷载作用梁段，剪力图为一倾斜直线，该斜线上升或下降的铅直高度等于该梁段分布荷载图的面积，倾斜方向与荷载集度指向一致，弯矩图为二次曲线，对剪力为正的梁段，弯矩图为下降曲线，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积，对剪力图为负的梁段，弯矩图为上升曲线，曲线上升的铅直高度为该梁段剪力图的面积，二次曲线的凸向与荷载集度的指向一致；集中荷载作用截面，其剪力图有突变，突变的绝对值等于该集中荷载的大小，突变方向与集中荷载指向一致；集中力偶作用截面，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩大小，力偶顺转，则向下突变，力偶逆转，则向上突变（记为：顺流而下，逆流而上）。
（2）从右往左看，倾斜直线剪力图与弯矩图的倾斜方向，曲线弯矩图的升降，集中荷载作用截面剪力图的突变方向，集中力偶作用截面弯矩图的突变方向均与从左往右看的规律相反，其余规律二者相同。
另外，铰链的特性为：铰链中心弯矩为零；铰链不影响弯矩、剪力与荷载集度间的微积分关系。
3 绘制多跨静定梁内力图的快速法
3.1 由梁上荷载画剪力图的方法（以从左往右画为例）
根据以上理论，对某梁段，从左到右，①若遇集中荷载，则从集中荷载作用截面左边剪力图轮廓线的终点出发（如为左边第一段，则从基线的左端点出发），按垂直于基线的荷截的指向画基线的垂直线，垂直线的长度与集中荷载的大小相等（按力的比例尺确定线长，下同），从该线的终点向右画平行于基线的直线，得该集中荷载作用截面及右端梁段的剪力图轮廓线；②若如遇倾斜集中荷载，则先将荷载分解成与基线平行和垂直的两个分量，取垂直分量按上述方法画线（因与基线平行的分量不产生剪力，故画剪力图时不必考虑）；③若遇均布荷载，则以均布荷载起始截面的左端剪力图轮廓线的终点为起点，按均布荷载箭头指向画斜直线，画至分布荷载终止截面处，斜线上升或下降的铅直高度等于均布荷载图的面积，这样便得均布荷载作用梁段剪力图的轮廓线；④若遇集中力偶，因力偶对剪力图无影响，故不考虑；⑤若遇铰链，若其上无集中荷载，剪力图无变化（若其上有集中荷载，则按方法①画线）。由以上方法画出的轮廓线与基线所围图形加上正负号，便得该梁段的剪力图。
3.2 由剪力图画弯矩图的方法（以从左往右画为例）
根据以上理论，对某梁段，从左到右，假设该梁段的剪力图为位于基线上方的水平直线， 则从该梁段左端截面弯矩图轮廓线的终点开始画一条下斜直线，下斜直线下降的铅直高度等于该段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线下方的水平直线，则从该梁段左端弯矩图轮廓线的终点开始画一条上斜直线，上斜直线上升的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线上方的斜直线，则从该梁段左边截面弯矩图的轮廓线终点开始画一条下降曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线下方的斜直线，则从该梁段左边截面弯矩图的终点开始画一条上升曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线上升的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若遇集中力偶作用载面，力偶顺时针转时，则从力偶作用截面左边弯矩图轮廓线的终点开始向下画铅直线，力偶逆时针转时，则向上画铅直线，铅直线的长度等于该集中力偶的力偶矩大小。由以上方法画得的轮廓线与基线所围图形，即为该梁段的弯矩图。
3.3 由弯矩图画剪力图的方法
（1）对直线弯矩图，弯矩图与基线间所夹锐角的正切即为该梁段剪力的绝对值，剪力的正负号可根据从左往右看，下斜弯矩图（）剪力为正，上斜弯矩图（/）剪力为负直观判定。
（2）对二次抛物线弯矩图，先将其分解成一个直线弯矩图和均布荷载作用下简支梁的标准抛物线弯矩图。直线弯矩图的斜率（即剪力）由方法（1）确定，标准抛物线弯矩图两端的斜率（即杆端剪力）为常数（±ql/2），荷载集度（q）指向向下，左正右负，反之亦然。最后根据叠加原理求出该梁段的杆端剪力，便可画出其剪力图。
4 算例
例1，画图1所示结构的内力图。
第一步：画两条与梁轴线平行、等长的直线作为画Q与M图的基线，如图2、3所示。
第二步：从最上层附属部分的AB段开始画内力图。首先从图2所示基线上A点出发，向下画一条与基线垂直的直线Aa（长度为20 kN），过该直线的终点向右画一条水平直线ab1至B截面，得AB段的Q图；然后从图3所示基线上A点出发，向右画一条上斜直线Ab至B截面，斜直线上升的铅直高度等于AB段Q图的面积（即40 kN•m）得AB段的M图。
第三步：由于BC梁段的杆端弯矩为MBC＝MBA＝－40 kN•m，MCB＝0，所以可根据区段叠加法画出其弯矩图bgC，然后求出弯矩在B、C截面，处的斜率（即杆端剪力）QBC＝40/4＋ql/2＝10＋60＝70 kN，QCB＝40/4－ql/2＝10－60＝－50 kN，最后根据内力图的规律画出BC梁段的剪力图b2c。
第四步：从C铰左边Q图的终点向右画水平直线cd1至D截面，得CD梁段的Q图；从C铰左边M图的终点向右画一条上斜直线Cd1至D截面，斜直线上升的铅直高度等于CD段Q图的面积（即100 kN•m），得CD梁段的M图。
第五步：从D截面左边M图的终点向上画一条铅直线d1d2（高度为50 kN•m）。便得D截面处的M图。
第六步：由于DE梁段的杆端弯矩为MDE＝－150 kN•m，MED＝0，所以可根据区段叠加法画出其M图d2E，然后求出M图在D、E截面处的斜率（即杆端剪力）QDE＝QED＝150/4＝37.5 kN，最后根据内力图的规律画出DE梁段的Q图d2e1。
第七步：从E铰左边Q图终点开始向下画铅直线e1e2（长度为40 kN），然后从铅直线终点画一条水平直线e2f至F截面，得EF梁段的剪力图；从E铰左边M图的终点向右画一条上斜直线Ef至F截面，斜直线上升铅直高度等于EF段Q图的面积（即5 kN•m），得EF梁段的M图。
第八步：位于图2所示基线上方的图形加上正号，下方加负号。
第九步：位于图2支座B、D、E处与图3支座F处内力图的缺口用竖线与基线连接。即得多跨静定梁的内力图。
图3
5 结束语
本文介绍的方法简便易学，有较高的应用价值。其特点是：不取分离体、不画受力图、不列平衡方程、不求反力、不用截面法求内力，只需计算某些梁段荷载图、剪力图的面积及某些梁段弯矩图的斜率，便可画出多跨静定梁的内力图，对两种基本形式的组合形式及有定向支座的多跨静定梁，上述方法仍然适用。
参考文献：
［1］刘寿梅.建筑力学［M］.北京：高等教育出版社，2001：65.
（编辑：李敏）
Multi－span statically determinate beam drawing method of internal force
Chen Dexian
Abstract: Based on the straight beam bending, shear and the degree of load among the set of differential and integral relations and the hinge features, obtained a multi－span statically determinate beam drawing method of the rapid internal force diagram.
Key words: statically determinate beam; internal force diagram; moment; shear
关键词：静定梁；内力图；弯矩；剪力
中图分类号：TU311 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2012）03－0118－02
在工程结构的强度计算中，结构的内力分析是必不可少的一个重要环节，根据内力图找出结构中可能的危险截面是结构强度分析中最直观有效的方法，因此，快速、准确地绘制结构内力图对工程结构设计具有重要的现实意义。
1 快速绘制多跨静定梁内力图的思路
多跨静定梁是由若干单跨梁用铰链及支座链杆联结而成的静定杆系结构。这种形式常见于预制的装配式结构中。多跨静定梁内力图绘制的经典方法与步骤为：①先画层次图；②根据层次图，把多跨静定梁拆成若干单跨静定梁；③先附属部分，后基本部分依次求出各单跨梁的反力；④根据材料力学介绍的方法画出各单跨梁的内力图，然后把它们画在同一水平线上，并联接起来，便得多跨静定梁的内力图。上述方法要将多跨梁拆成若干单跨梁，并对每一单跨梁进行受力分析，画出受力图，建立静力平衡方程，求出各单跨梁的反力，最后根据材料力学介绍的方法画出各单跨梁的内力图。这种方法计算量很大，容易出错。本文介绍的方法是不取分离体，不拆分，不求支座反力，不用截面法求内力。而是根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微积分关系及铰链的特性，对某些梁段，先由梁上荷载画出剪力图，然后由剪力图画出弯矩图；对另一些梁段，先由区段叠加法画出弯矩图，然后由弯矩图画出该梁段的剪力图，最后在支座处用竖线连接左右内力图，便得多跨静定梁内力图。
本文介绍的新方法与经典方法基本规定一致，即取杆的轴线为基线，垂直于基线的纵距表示梁该截面的内力，剪力以绕分离体上任意一点有顺转趋势为正，反之为负；弯矩以使梁产生下凸变形为正，反之为负。剪力图的正值画在基线上方，负值画在基线下方，弯矩图始终画在杆件纤维受拉一侧，可以不标正负号。
2 经典理论
弯矩、剪力和分布荷载集度间的微积分关系为：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
式中M（x）、Q（x）分别是坐标x处横截面上的弯矩、剪力，q（x）为该处的荷载集度，规定向上为正，MA、MB分别为x＝a和x＝b处两个横截面上的弯距，QA、QB分别为x＝a和x＝b处两个横截面上的剪力。
（1）式的几何意义为剪力图在某截面处的切线斜率等于该截面的荷载集度的大小。
（2）式的几何意义为弯矩图在某截面处的切线斜率等于该截面的剪力。
（3）式的几何意义为分布荷载的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
（4）式的几何意义为B、A两横截面的剪力差，等于这两横截面间梁段上的荷载图面积。
（5）式的几何意义为B、A两横截面的弯矩之差，等于这两横截面间剪力图的面积［1］。
由上述的理论可得出如下规律（只针对常见荷载而言）：
（1）从左往右看，无荷载作用梁段的剪力图为与基线平行的直线，弯矩图为一倾斜直线，斜直线上升或下降的铅直高度等于该段剪力图的面积（本文中面积一律取正，下同），剪力为正时弯矩图下斜（），剪力为负时，弯矩图上斜（/）；均布荷载作用梁段，剪力图为一倾斜直线，该斜线上升或下降的铅直高度等于该梁段分布荷载图的面积，倾斜方向与荷载集度指向一致，弯矩图为二次曲线，对剪力为正的梁段，弯矩图为下降曲线，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积，对剪力图为负的梁段，弯矩图为上升曲线，曲线上升的铅直高度为该梁段剪力图的面积，二次曲线的凸向与荷载集度的指向一致；集中荷载作用截面，其剪力图有突变，突变的绝对值等于该集中荷载的大小，突变方向与集中荷载指向一致；集中力偶作用截面，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩大小，力偶顺转，则向下突变，力偶逆转，则向上突变（记为：顺流而下，逆流而上）。
（2）从右往左看，倾斜直线剪力图与弯矩图的倾斜方向，曲线弯矩图的升降，集中荷载作用截面剪力图的突变方向，集中力偶作用截面弯矩图的突变方向均与从左往右看的规律相反，其余规律二者相同。
另外，铰链的特性为：铰链中心弯矩为零；铰链不影响弯矩、剪力与荷载集度间的微积分关系。
3 绘制多跨静定梁内力图的快速法
3.1 由梁上荷载画剪力图的方法（以从左往右画为例）
根据以上理论，对某梁段，从左到右，①若遇集中荷载，则从集中荷载作用截面左边剪力图轮廓线的终点出发（如为左边第一段，则从基线的左端点出发），按垂直于基线的荷截的指向画基线的垂直线，垂直线的长度与集中荷载的大小相等（按力的比例尺确定线长，下同），从该线的终点向右画平行于基线的直线，得该集中荷载作用截面及右端梁段的剪力图轮廓线；②若如遇倾斜集中荷载，则先将荷载分解成与基线平行和垂直的两个分量，取垂直分量按上述方法画线（因与基线平行的分量不产生剪力，故画剪力图时不必考虑）；③若遇均布荷载，则以均布荷载起始截面的左端剪力图轮廓线的终点为起点，按均布荷载箭头指向画斜直线，画至分布荷载终止截面处，斜线上升或下降的铅直高度等于均布荷载图的面积，这样便得均布荷载作用梁段剪力图的轮廓线；④若遇集中力偶，因力偶对剪力图无影响，故不考虑；⑤若遇铰链，若其上无集中荷载，剪力图无变化（若其上有集中荷载，则按方法①画线）。由以上方法画出的轮廓线与基线所围图形加上正负号，便得该梁段的剪力图。
3.2 由剪力图画弯矩图的方法（以从左往右画为例）
根据以上理论，对某梁段，从左到右，假设该梁段的剪力图为位于基线上方的水平直线， 则从该梁段左端截面弯矩图轮廓线的终点开始画一条下斜直线，下斜直线下降的铅直高度等于该段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线下方的水平直线，则从该梁段左端弯矩图轮廓线的终点开始画一条上斜直线，上斜直线上升的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线上方的斜直线，则从该梁段左边截面弯矩图的轮廓线终点开始画一条下降曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若该梁段剪力图为位于基线下方的斜直线，则从该梁段左边截面弯矩图的终点开始画一条上升曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线上升的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若遇集中力偶作用载面，力偶顺时针转时，则从力偶作用截面左边弯矩图轮廓线的终点开始向下画铅直线，力偶逆时针转时，则向上画铅直线，铅直线的长度等于该集中力偶的力偶矩大小。由以上方法画得的轮廓线与基线所围图形，即为该梁段的弯矩图。
3.3 由弯矩图画剪力图的方法
（1）对直线弯矩图，弯矩图与基线间所夹锐角的正切即为该梁段剪力的绝对值，剪力的正负号可根据从左往右看，下斜弯矩图（）剪力为正，上斜弯矩图（/）剪力为负直观判定。
（2）对二次抛物线弯矩图，先将其分解成一个直线弯矩图和均布荷载作用下简支梁的标准抛物线弯矩图。直线弯矩图的斜率（即剪力）由方法（1）确定，标准抛物线弯矩图两端的斜率（即杆端剪力）为常数（±ql/2），荷载集度（q）指向向下，左正右负，反之亦然。最后根据叠加原理求出该梁段的杆端剪力，便可画出其剪力图。
4 算例
例1，画图1所示结构的内力图。
第一步：画两条与梁轴线平行、等长的直线作为画Q与M图的基线，如图2、3所示。
第二步：从最上层附属部分的AB段开始画内力图。首先从图2所示基线上A点出发，向下画一条与基线垂直的直线Aa（长度为20 kN），过该直线的终点向右画一条水平直线ab1至B截面，得AB段的Q图；然后从图3所示基线上A点出发，向右画一条上斜直线Ab至B截面，斜直线上升的铅直高度等于AB段Q图的面积（即40 kN•m）得AB段的M图。
第三步：由于BC梁段的杆端弯矩为MBC＝MBA＝－40 kN•m，MCB＝0，所以可根据区段叠加法画出其弯矩图bgC，然后求出弯矩在B、C截面，处的斜率（即杆端剪力）QBC＝40/4＋ql/2＝10＋60＝70 kN，QCB＝40/4－ql/2＝10－60＝－50 kN，最后根据内力图的规律画出BC梁段的剪力图b2c。
第四步：从C铰左边Q图的终点向右画水平直线cd1至D截面，得CD梁段的Q图；从C铰左边M图的终点向右画一条上斜直线Cd1至D截面，斜直线上升的铅直高度等于CD段Q图的面积（即100 kN•m），得CD梁段的M图。
第五步：从D截面左边M图的终点向上画一条铅直线d1d2（高度为50 kN•m）。便得D截面处的M图。
第六步：由于DE梁段的杆端弯矩为MDE＝－150 kN•m，MED＝0，所以可根据区段叠加法画出其M图d2E，然后求出M图在D、E截面处的斜率（即杆端剪力）QDE＝QED＝150/4＝37.5 kN，最后根据内力图的规律画出DE梁段的Q图d2e1。
第七步：从E铰左边Q图终点开始向下画铅直线e1e2（长度为40 kN），然后从铅直线终点画一条水平直线e2f至F截面，得EF梁段的剪力图；从E铰左边M图的终点向右画一条上斜直线Ef至F截面，斜直线上升铅直高度等于EF段Q图的面积（即5 kN•m），得EF梁段的M图。
第八步：位于图2所示基线上方的图形加上正号，下方加负号。
第九步：位于图2支座B、D、E处与图3支座F处内力图的缺口用竖线与基线连接。即得多跨静定梁的内力图。
图3
5 结束语
本文介绍的方法简便易学，有较高的应用价值。其特点是：不取分离体、不画受力图、不列平衡方程、不求反力、不用截面法求内力，只需计算某些梁段荷载图、剪力图的面积及某些梁段弯矩图的斜率，便可画出多跨静定梁的内力图，对两种基本形式的组合形式及有定向支座的多跨静定梁，上述方法仍然适用。
参考文献：
［1］刘寿梅.建筑力学［M］.北京：高等教育出版社，2001：65.
（编辑：李敏）
Multi－span statically determinate beam drawing method of internal force
Chen Dexian
Abstract: Based on the straight beam bending, shear and the degree of load among the set of differential and integral relations and the hinge features, obtained a multi－span statically determinate beam drawing method of the rapid internal force diagram.
Key words: statically determinate beam; internal force diagram; moment; shear