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数学课程标准指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。获得广泛的数学活动经验。
一、寻找探究的关节点。培养探究的意识
1、从已有认知的错误点和模糊点开始切入
学生已有认知并不都是正确的和清晰的，而这往往就是探究的切入点。例如，三年级的数学活动“周长是多少”，例题是“用12个边长1厘米的正方形拼成一个长方形”。教学时，我结合学校正举行的校庆活动提出：现在校长想用20块边长1米的地砖在学校的空地上围一个长方形(包括正方形)的花坛。每个小组来帮忙设计花坛。看哪个小组想出的方案最多。学生通过摆小方块、做记录等一系列数学方法自主探究，得到了3种可能性。接着又以“校长应该选其中哪种方案。使花坛里的花能摆放得最多”逐步引领学生从3种方案中找出面积最大的一种。通过操作、比较、讨论、归纳，最后得出：“当周长相等时，长与宽越接近，面积越大；当长与宽相等(即正方形)时，面积最大，空地最大”。在探究过程中，学生很有兴趣，积极开动脑筋，能有序地思考。因为探讨的问题来源于生活，又是一个典型的实际问题。
2、从生活现象与已有经验的矛盾点开始捕捉
“数学充满着矛盾”，新旧知识的联系与交替不时在学生的认知过程中造成冲突，教师要利用和制造这些矛盾冲突把学生带入问题情境。例如，在教学《克的认识》一课时，就让学生随意掂量自己的学习用品，掂后谈感受，从而揭示物体是有重量的，而且有的物体重一些，有的物体轻一些。接着，教师拿出大小两个包袱，让学生猜哪个重，哪个轻。学生凭已有的生活经验猜测。结果判断失误，发现大的包袱反而轻，小的包袱反而重，进而产生这样的疑惑：“为何大的物体不一定重，小的物体不一定轻?怎样才能准确知道物体的重量?”这一教学过程，为学生创设了探究情境，激起了探究热情，为认识“克”的探究活动引航开道。这样，把教师“教数学”变成了学生自主地“学数学”。
3、从学生认知背景的独特性进行发散
要找准探究起点，就要分析学生的认知背景。认知背景不同，学生对探究有不同的需要。比如，城市孩子探究应多增加感性认识，而农村孩子则应多补充拓展书本知识。在教学“小数和复名数”时，教师提供了一则数学阅读：水是宝贵的资源，世界上很多国家经常缺水，在生活中，有些流失的少量水加起来，则是一个十分巨大的数量。比如，在你每天刷牙的过程中，当自来水哗哗地流失时，每10秒的水流量有500毫升，如果你每天刷牙两次，每次按500毫升计算，那么一天将流失水多少千克呢?全国约13亿人，每天将流失多少吨呢?那么一年365天将流失多少吨水呢?同学们，当你们看到这些惊人的数字有什么感想?通过这些触目惊心的数据，让学生体会到数学知识在实践中的运用价值，并懂得节约用水的重要性和必要性。
4、从已有的零散认识进行梳理提升
数学课程标准中要求学生：能在自己已有知识、经验和现有信息的基础上，通过简单的思维加工，做出自己的解释或结论。人的认识是有一个过程的，总是由不会到会、由模糊到清晰、由片面到全面。探究过程也应逐步展开，环环相扣，层层递进，不能无的放矢。练习的设计要有层次，有梯度，难易适度。例如，学生学习了“按比例分配”的知识，完成了一定数量的基本习题后，教师出示习题一：已知一个长方形周长是36厘米。长与宽的比是5：4，求这个长方形的面积?学生往往将周长和按5：4分配所得的数值，误认为是长方形长与宽的值。此时教师应启发学生思考：按5：4分配长与宽与长方形的周长有什么关系?这样激活学生的思维点，使学生懂得按一定的比例分配是以它特定的、相对应的数量为前提的，从而加深学生对比例分配知识的理解。在此基础上教师出示习题二：一个长方体长、宽、高的比是5：4：2，它们的棱长和是88厘米，请你计算出这个长方体的体积。由于学生的思维点已被激活，他们将会进行较为缜密的思考、推理，最终寻得正确的解题方案。
二、搭建探究的平台，激发探究的热情
1、创设探究的情境
探究教学是以解决问题的形式出现的，在有意的探究教学中，教师首先就必须把学生要学的内容巧妙地转化为问题情境。教师设置的问题情境要具有目的性、适应性和新异性。让学生置身于探究问题的情境中，以激发他们的探究欲望，使他们乐于探究。例如。在教学“能被3整除的数的特征”时，让学生随便说几个数，然后教师和学生开展比赛，看谁又对、又快判断出能否被3整除的数，老师的“神速”激起学生强烈的好奇心，这样让学生产生探究的欲望。再如。我在教学四年级下册“能被2、5整除数的特征”时，设计了这样一个游戏：把全班62名同学的学号即1至62号，用卡片的形式分成了两组，任选3名同学在其中一组中随意拿一张卡片悄悄插进另一组，让老师猜一猜到底是哪一张?老师很快而且很准地找到了同学们插进的卡片，学生个个觉得很神奇。紧接着老师问：你想知道其中的奥妙吗?这一问，唤起了学生探究的热情。这样，激发他们对问题、现象保持一种敏感和好奇心，形成探究意识，从而激发学生探究的热情，点燃学生思维的火花。
2、拓展探究的时空
《课程标准》提出：“鼓励学生独立思考。提倡解决问题策略多样化。”教学中。把学习的自主权教给学生，提供更多的建构属于他们自己的空间的条件，提供更多的发挥他们自己的思维方式和解决策略的机会。提供更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。
例如，三年级的“几分之一”一课。教学重点一是“平均分”，二是“几分之一的含义”。为使学生还能更深层次地去理解“几分之一”的实际含义，我通过各类图形，甚至于生活中的实物，引领学生探究“平均分”。出示了长方形、正方形，让学生上来演示取四分之一有什么不同方法。学生能想到3种有效的方法：按边对折、按角对折、先任意对折后再对折。其中总结出第三种方法是最难能可贵的。还有按角对折的方法又揭示了“形状不同。但面积相同”也是“平均分”的情况。学生体会到了“平均分”的必要性和多样性，为以后打下坚实的基础。其次，从多种多样的生活物体里找寻“几分之一”，更能加深对“几分之一”的理解。例如法国国旗、国际象棋棋盘、福利彩票标志等等，甚至于我们人类的头和身高的比例，在这些生活中常见的事物里，不仅使学生巩固了对“几分之一”的理解，而且也充实了他们的生活经验，激发了用数学的眼光观察周围事物的热情。
3、营造合作的氛围
课堂教学中教师一定要把握好每一次合作的契机。给学生提供合适的合作学习内容，把那些具有一定思考性或开放性、仅凭个人的力量难以考虑周全而须发挥小组集体智慧的问题让学生进行合作学习。在小 组合作学习中，通过小组分工与合作，学生很轻松就完成了任务，从中使学生初步体会到了与人合作的优势。学会在需要合作的时候要与人合作。例如，在教学统计时。让学生看一分钟录像，播放的是某地段各种车辆的流通情况，同时让学生独自登记各种车辆数。当学生不能完成任务时，老师就让学生想想可以怎么办?这时学生就会产生合作的欲望。
又如，教学“圆的周长”引入课题后，教师问圆的周长与什么有关系?有怎样的关系?学生面对手中圆片怎样知道它的周长，处于困惑阶段时，教师组织学生小组合作，引导学生利用手中的材料，可以绳绕圆一周，然后把绳拉直在直尺上量出它的长度，也可以在圆上先定个点，然后直接在直尺上滚动一周，量出它的长度。在互助、互动、和谐的气氛中动手操作，终于发现：圆的周长与直径、半径有关系，同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些。可见，合作学习有助于学生创新思维能力的培养。也有助于探究性学习目标的达成。学生在合作的过程中，自身潜能得以充分发挥，优等生的才能得以施展，中等生得到锻炼，学困生得到帮助，从而使不同层次的学生都得以发展。提高了研究能力和创新能力。培养了新时代所需要的团队合作精神。
三、提供探究的支持，体验探究的乐趣
1、用有效的方法提高指导效度
学生的思维就像琴弦，拨得轻重不同。效果完全不同，适当的力度拨出美妙的音乐，相反发出噪音。教师的点拨适时、必要、有效是达到有效探究的关键。例如。在上“三角形任意两边的和大于第三边”这堂课时，有位教师是这样安排学生探究的：首先，教师给每个学生发三组小木棒，其中一组可以组成三角形，一组是两根木棒的长度和等于第三根的长度，一组是两根木棒的长度和小于第三根的长度。然后让学生分别用这三组木棒摆三角形，并分别量出各组木棒每根的长度。最后，教师把学生量得的三组木棒长度分列在黑板上。并就此提出“请你用一个等式或不等式表示三条线段能够组成三角形的条件”的问题。这时。学生一般会在能够组成三角形的那组数据里寻找关系式。有的会提出两条线段的积大于第三条线段的关系式，有的会对两根木棒长度的商与第三根的长度比较，有的甚至会提出用两根木棒长度的平方和与第三根木棒长度的平方进行比较。不管学生用哪种方式，教师都板书到黑板上，然后引导他们一一筛选，最后只剩下所要得到的结论。这种精心设计的探究活动，能激发学生学习数学的积极性，增加学生探索问题、研究问题的能力。
2、用准确的语言提高指导力度
语言是教师进行探究指导的主要媒介，语言的准确与否直接影响教师指导的力度。例如，在教学三年级下册“轴对称图形”时，以学生为主体，让学生充分地看一看、想一想、折一折。去亲自感知、亲身体验，经历轴对称图形的探索过程，从而引导学生发现轴对称图形的基本特征。引出轴对称图形的概念。教师的表述要准确严密：“对称性”是某些物体的特征。“轴对称”是部分平面图形的特征。正如天安门是对称的物体，画下来的天安门图形才是轴对称图形，天安门这个物体不是轴对称图形。教学“试一试”：“下面哪几个图形是轴对称图形?”引导学生合乎逻辑地表述验证的过程，以感受数学方法内在的严谨性。这个三角形(梯形)是轴对称图形，不能说成三角形(梯形)是轴对称图形，因为许多三角形和梯形并不是轴对称图形。这样，抛弃事物和现象的非本质的东西，抓住事物和现象的本质特征形成概念。
3、用有效的材料减少无关干扰
材料选择要有效，使用要有序，呈现要有时。教师从学生角度出发，设身处地。以学生的认识为起点思考学生的思维路径，可能会想到什么方法，需要什么材料，据此准备探究材料，应是最有效的帮助。例如，在教学“观察物体”时。创设这样的情境导入新课：“老师拍了三张学校教学楼的照片，想一想，为什么拍出来的图像都不一样呢?”让学生交流讨论。然后教师指出一张是站在教学楼前面拍的，一张是站在教学楼后面拍的，还有一张是站在教学楼侧面拍的。所以拍出来的就不一样。今天，我们一起来研究从不同的位置来“观察物体”。创设了与学生生活环境、知识背景密切相关的学生感兴趣的学习情境。
总之，让探究学习走入课堂，让学生掌握科学探究、思考的方法。亲历自主探究的全过程，获得丰富的数学体验，使学生感到自己是知识的发现者、探索者、研究者，从而为他们的终身学习和可持续发展打下坚实的基础。
(责任编辑：李雪虹)
一、寻找探究的关节点。培养探究的意识
1、从已有认知的错误点和模糊点开始切入
学生已有认知并不都是正确的和清晰的，而这往往就是探究的切入点。例如，三年级的数学活动“周长是多少”，例题是“用12个边长1厘米的正方形拼成一个长方形”。教学时，我结合学校正举行的校庆活动提出：现在校长想用20块边长1米的地砖在学校的空地上围一个长方形(包括正方形)的花坛。每个小组来帮忙设计花坛。看哪个小组想出的方案最多。学生通过摆小方块、做记录等一系列数学方法自主探究，得到了3种可能性。接着又以“校长应该选其中哪种方案。使花坛里的花能摆放得最多”逐步引领学生从3种方案中找出面积最大的一种。通过操作、比较、讨论、归纳，最后得出：“当周长相等时，长与宽越接近，面积越大；当长与宽相等(即正方形)时，面积最大，空地最大”。在探究过程中，学生很有兴趣，积极开动脑筋，能有序地思考。因为探讨的问题来源于生活，又是一个典型的实际问题。
2、从生活现象与已有经验的矛盾点开始捕捉
“数学充满着矛盾”，新旧知识的联系与交替不时在学生的认知过程中造成冲突，教师要利用和制造这些矛盾冲突把学生带入问题情境。例如，在教学《克的认识》一课时，就让学生随意掂量自己的学习用品，掂后谈感受，从而揭示物体是有重量的，而且有的物体重一些，有的物体轻一些。接着，教师拿出大小两个包袱，让学生猜哪个重，哪个轻。学生凭已有的生活经验猜测。结果判断失误，发现大的包袱反而轻，小的包袱反而重，进而产生这样的疑惑：“为何大的物体不一定重，小的物体不一定轻?怎样才能准确知道物体的重量?”这一教学过程，为学生创设了探究情境，激起了探究热情，为认识“克”的探究活动引航开道。这样，把教师“教数学”变成了学生自主地“学数学”。
3、从学生认知背景的独特性进行发散
要找准探究起点，就要分析学生的认知背景。认知背景不同，学生对探究有不同的需要。比如，城市孩子探究应多增加感性认识，而农村孩子则应多补充拓展书本知识。在教学“小数和复名数”时，教师提供了一则数学阅读：水是宝贵的资源，世界上很多国家经常缺水，在生活中，有些流失的少量水加起来，则是一个十分巨大的数量。比如，在你每天刷牙的过程中，当自来水哗哗地流失时，每10秒的水流量有500毫升，如果你每天刷牙两次，每次按500毫升计算，那么一天将流失水多少千克呢?全国约13亿人，每天将流失多少吨呢?那么一年365天将流失多少吨水呢?同学们，当你们看到这些惊人的数字有什么感想?通过这些触目惊心的数据，让学生体会到数学知识在实践中的运用价值，并懂得节约用水的重要性和必要性。
4、从已有的零散认识进行梳理提升
数学课程标准中要求学生：能在自己已有知识、经验和现有信息的基础上，通过简单的思维加工，做出自己的解释或结论。人的认识是有一个过程的，总是由不会到会、由模糊到清晰、由片面到全面。探究过程也应逐步展开，环环相扣，层层递进，不能无的放矢。练习的设计要有层次，有梯度，难易适度。例如，学生学习了“按比例分配”的知识，完成了一定数量的基本习题后，教师出示习题一：已知一个长方形周长是36厘米。长与宽的比是5：4，求这个长方形的面积?学生往往将周长和按5：4分配所得的数值，误认为是长方形长与宽的值。此时教师应启发学生思考：按5：4分配长与宽与长方形的周长有什么关系?这样激活学生的思维点，使学生懂得按一定的比例分配是以它特定的、相对应的数量为前提的，从而加深学生对比例分配知识的理解。在此基础上教师出示习题二：一个长方体长、宽、高的比是5：4：2，它们的棱长和是88厘米，请你计算出这个长方体的体积。由于学生的思维点已被激活，他们将会进行较为缜密的思考、推理，最终寻得正确的解题方案。
二、搭建探究的平台，激发探究的热情
1、创设探究的情境
探究教学是以解决问题的形式出现的，在有意的探究教学中，教师首先就必须把学生要学的内容巧妙地转化为问题情境。教师设置的问题情境要具有目的性、适应性和新异性。让学生置身于探究问题的情境中，以激发他们的探究欲望，使他们乐于探究。例如。在教学“能被3整除的数的特征”时，让学生随便说几个数，然后教师和学生开展比赛，看谁又对、又快判断出能否被3整除的数，老师的“神速”激起学生强烈的好奇心，这样让学生产生探究的欲望。再如。我在教学四年级下册“能被2、5整除数的特征”时，设计了这样一个游戏：把全班62名同学的学号即1至62号，用卡片的形式分成了两组，任选3名同学在其中一组中随意拿一张卡片悄悄插进另一组，让老师猜一猜到底是哪一张?老师很快而且很准地找到了同学们插进的卡片，学生个个觉得很神奇。紧接着老师问：你想知道其中的奥妙吗?这一问，唤起了学生探究的热情。这样，激发他们对问题、现象保持一种敏感和好奇心，形成探究意识，从而激发学生探究的热情，点燃学生思维的火花。
2、拓展探究的时空
《课程标准》提出：“鼓励学生独立思考。提倡解决问题策略多样化。”教学中。把学习的自主权教给学生，提供更多的建构属于他们自己的空间的条件，提供更多的发挥他们自己的思维方式和解决策略的机会。提供更多的解释和评价他们自己的思维结果的权利。
例如，三年级的“几分之一”一课。教学重点一是“平均分”，二是“几分之一的含义”。为使学生还能更深层次地去理解“几分之一”的实际含义，我通过各类图形，甚至于生活中的实物，引领学生探究“平均分”。出示了长方形、正方形，让学生上来演示取四分之一有什么不同方法。学生能想到3种有效的方法：按边对折、按角对折、先任意对折后再对折。其中总结出第三种方法是最难能可贵的。还有按角对折的方法又揭示了“形状不同。但面积相同”也是“平均分”的情况。学生体会到了“平均分”的必要性和多样性，为以后打下坚实的基础。其次，从多种多样的生活物体里找寻“几分之一”，更能加深对“几分之一”的理解。例如法国国旗、国际象棋棋盘、福利彩票标志等等，甚至于我们人类的头和身高的比例，在这些生活中常见的事物里，不仅使学生巩固了对“几分之一”的理解，而且也充实了他们的生活经验，激发了用数学的眼光观察周围事物的热情。
3、营造合作的氛围
课堂教学中教师一定要把握好每一次合作的契机。给学生提供合适的合作学习内容，把那些具有一定思考性或开放性、仅凭个人的力量难以考虑周全而须发挥小组集体智慧的问题让学生进行合作学习。在小 组合作学习中，通过小组分工与合作，学生很轻松就完成了任务，从中使学生初步体会到了与人合作的优势。学会在需要合作的时候要与人合作。例如，在教学统计时。让学生看一分钟录像，播放的是某地段各种车辆的流通情况，同时让学生独自登记各种车辆数。当学生不能完成任务时，老师就让学生想想可以怎么办?这时学生就会产生合作的欲望。
又如，教学“圆的周长”引入课题后，教师问圆的周长与什么有关系?有怎样的关系?学生面对手中圆片怎样知道它的周长，处于困惑阶段时，教师组织学生小组合作，引导学生利用手中的材料，可以绳绕圆一周，然后把绳拉直在直尺上量出它的长度，也可以在圆上先定个点，然后直接在直尺上滚动一周，量出它的长度。在互助、互动、和谐的气氛中动手操作，终于发现：圆的周长与直径、半径有关系，同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些。可见，合作学习有助于学生创新思维能力的培养。也有助于探究性学习目标的达成。学生在合作的过程中，自身潜能得以充分发挥，优等生的才能得以施展，中等生得到锻炼，学困生得到帮助，从而使不同层次的学生都得以发展。提高了研究能力和创新能力。培养了新时代所需要的团队合作精神。
三、提供探究的支持，体验探究的乐趣
1、用有效的方法提高指导效度
学生的思维就像琴弦，拨得轻重不同。效果完全不同，适当的力度拨出美妙的音乐，相反发出噪音。教师的点拨适时、必要、有效是达到有效探究的关键。例如。在上“三角形任意两边的和大于第三边”这堂课时，有位教师是这样安排学生探究的：首先，教师给每个学生发三组小木棒，其中一组可以组成三角形，一组是两根木棒的长度和等于第三根的长度，一组是两根木棒的长度和小于第三根的长度。然后让学生分别用这三组木棒摆三角形，并分别量出各组木棒每根的长度。最后，教师把学生量得的三组木棒长度分列在黑板上。并就此提出“请你用一个等式或不等式表示三条线段能够组成三角形的条件”的问题。这时。学生一般会在能够组成三角形的那组数据里寻找关系式。有的会提出两条线段的积大于第三条线段的关系式，有的会对两根木棒长度的商与第三根的长度比较，有的甚至会提出用两根木棒长度的平方和与第三根木棒长度的平方进行比较。不管学生用哪种方式，教师都板书到黑板上，然后引导他们一一筛选，最后只剩下所要得到的结论。这种精心设计的探究活动，能激发学生学习数学的积极性，增加学生探索问题、研究问题的能力。
2、用准确的语言提高指导力度
语言是教师进行探究指导的主要媒介，语言的准确与否直接影响教师指导的力度。例如，在教学三年级下册“轴对称图形”时，以学生为主体，让学生充分地看一看、想一想、折一折。去亲自感知、亲身体验，经历轴对称图形的探索过程，从而引导学生发现轴对称图形的基本特征。引出轴对称图形的概念。教师的表述要准确严密：“对称性”是某些物体的特征。“轴对称”是部分平面图形的特征。正如天安门是对称的物体，画下来的天安门图形才是轴对称图形，天安门这个物体不是轴对称图形。教学“试一试”：“下面哪几个图形是轴对称图形?”引导学生合乎逻辑地表述验证的过程，以感受数学方法内在的严谨性。这个三角形(梯形)是轴对称图形，不能说成三角形(梯形)是轴对称图形，因为许多三角形和梯形并不是轴对称图形。这样，抛弃事物和现象的非本质的东西，抓住事物和现象的本质特征形成概念。
3、用有效的材料减少无关干扰
材料选择要有效，使用要有序，呈现要有时。教师从学生角度出发，设身处地。以学生的认识为起点思考学生的思维路径，可能会想到什么方法，需要什么材料，据此准备探究材料，应是最有效的帮助。例如，在教学“观察物体”时。创设这样的情境导入新课：“老师拍了三张学校教学楼的照片，想一想，为什么拍出来的图像都不一样呢?”让学生交流讨论。然后教师指出一张是站在教学楼前面拍的，一张是站在教学楼后面拍的，还有一张是站在教学楼侧面拍的。所以拍出来的就不一样。今天，我们一起来研究从不同的位置来“观察物体”。创设了与学生生活环境、知识背景密切相关的学生感兴趣的学习情境。
总之，让探究学习走入课堂，让学生掌握科学探究、思考的方法。亲历自主探究的全过程，获得丰富的数学体验，使学生感到自己是知识的发现者、探索者、研究者，从而为他们的终身学习和可持续发展打下坚实的基础。
(责任编辑：李雪虹)