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摘 要：数学实质是思维方式，是归纳和演绎的逻辑思维方式。纵观小学数学教学活动以发展合情推理为主，演绎推理相对薄弱，甚至缺失。基于高年级儿童逻辑思维能力迅速发展的特征，应将演绎推理能力的培养贯穿于数学课堂教学的各种活动过程：在新知探索中，感受演绎推理的必要性；在练习应用中，发展演绎推理的能力；在知识梳理中，提升演绎推理的能力。
关键词：演绎推理；逻辑思维；循序渐进
一、 问题缘起：中美数学课对比赏析
鸡兔同笼问题是我国古代的数学名题。学习过不少名师的经典课，收获颇丰，发现国内数学课堂注重培养学生的策略意识和问题解决能力，主流教法是出示问题、尝试解决、策略交流、总结方法、策略提炼。
美国数学课堂教学鸡兔同笼的方式不同于中国课堂，笔者选取一部分教学实录呈现如下：一个住湖边的老人养有狗和鸭，某天老人看到5个头和14只脚，老人看到的是多少条狗、多少只鸭？片刻，学生便用二元一次方程找到了解决方案。老师没有让学生计算答案。而是让学生通过两个式子来推理，解释答案是否合理。下面是师生对话：
师：答案是5只狗和4只鸭，对不对？生：不对，老人只看到5个头。
师：狗不少于4条，对不对？生：不对，脚的总数是14，4条狗就16条腿了。
师：那会不会是三条狗呢？学生陷入沉思，发现3条狗12只脚，5个头14只腳的话，那么两只鸭子两条腿，除非……教室里哄堂大笑。
师：假设鸭和狗都是进化完整的，该有多少只鸭子呢？
学生议论纷纷：前提是不能超过5个头和14只脚。
师：如果狗少于三只，能推出鸭子的数量吗？生1：鸭子必须三只以上……因为……生2：如果三只鸭子，就有6条腿，狗就有……生3：如果狗脚不多于12条，就是狗不能多于3条，那么鸭子至少3只才能凑够5个头……
学生完成推理过程后老师才让他们计算。
二、 深度思考：数学教学的本质追求
笔者并不“崇洋媚外”，更不会“拿来主义”，只是“理性思考”，对比中美课堂的不同风格，剖析美国课堂的教学立意，“去其糟粕，取其精华”：美国老师并不满足于计算寻求答案，而是“磨洋工”式地不断提出假设，引发全方位的思考、猜想、推理、辨析，让学生明白解题的理由，发展学生的逻辑思维能力。的确，数学不是算术，数学实质是思维方式，是归纳和演绎的逻辑思维方式。
史宁中教授曾指出：“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”由此可见，推理在数学教学中的重要地位。
三、 意蕴解读：演绎推理的内涵诠释
推理，是由一个或者几个已知判断推出新判断的思维形式。数学推理包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有事实出发，凭经验和直觉通过归纳和类比等推断结果的推理方式，合情推理是一种或然推理，前提正确，推出结论不一定正确；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理、法则等）出发，按照逻辑推理规则进行证明和计算的推理方式。演绎推理是一种必然推理，前提正确，推出结论一定正确。
纵观小学数学教学活动以发展合情推理为主，演绎推理相对薄弱，甚至缺失。究其原因，一是儿童个体发展中，合情推理先于演绎推理；二是教师在教学中注重合情推理，相对忽视演绎推理。其实，数学活动一般都是“先归纳后演绎”的逻辑推理过程，合情推理和演绎推理二者相互融合、不可偏废。尤其第二学段，学生抽象逻辑思维逐步发展，在合情推理之后运用合适的方式引导学生进行演绎推理是必要的。
四、 策略建构：培养演绎推理能力的多维路径
《课标》指出：“推理能力应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。”因而在教学过程中教师要给学生提供各个领域丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，让学生去发现结论、解释结论、应用结论，逐步培养推理能力。
（一） 在新知探索中，感受演绎推理的必要性
要发展儿童演绎推理的能力，首先要让儿童有演绎推理的意识，感受演绎推理在数学学习中的必要性。
1. 鼓励“质疑—验证”，论证结论的科学性。
发现式教学不仅可以用于“发现”某些结论，而且可用于让学生“发现”结论的证明，恰当使用这种方法，能让学生在“先归纳后演绎”的逻辑推理中提升推理能力。比如教学苏教版四下《乘法分配律》，在用不完全归纳法得出结论（a b）×c=a×c b×c后，很多老师认为“大功告成”，便不再深入，导致丧失了培养学生演绎推理能力的机会。如果在大量数字验证的基础上，引导学生质疑：“能把所有的情况都举出来吗？有什么办法验证等式任何情况下一定成立？”教师可引导学生寻找反例，如果找不到也就增强了结论的正确性。还可进一步引导学生通过数形结合的方式来验证（如图）大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，因此（a b）×c=a×c b×c。
演绎推理的过程是从不完全归纳向完全归纳发展的必经之路。鼓励学生反复质疑合情推理得到的结论的确定性，启发学生调动已有知识经验进行演绎推理验证，“知其然”更“知其所以然”，在探“本”求“源”中提升思维的深刻性和严谨性。
2. 引导“猜想—证明”，甄别结论的合理性。
布鲁纳指出，“在向学生揭示演绎和证明之前，使他们对材料有直感的理解是头等重要的”。让学生先猜一猜，力求产生对问题解决的直觉，这样更容易引发学生调动原有知识和能力综合展开合乎逻辑的论证或反证过程。
比如教学苏教版五下《异分母分数加减法》，首先让学生直觉猜想12 14的结果。在主要的两种不同结论13和34的基础上，教师可引导学生从多方面辨析证明哪个结果正确，哪个结果错误？（1）因为12=0.5，14=0.25，0.5 0.25=0.75≠13，所以13是错误的。（2）因为12小时=30分，14小时=15分，13小时=20分钟，所以13是错误的。（3）12>13，两数之和大于其中任意一个加数，所以13是错误的。（4）画图证明；12可以看成24，24和14合起来是34，因此12 14=24 14=34。 在数学猜想得到不同的结论时，教师应进一步引导学生寻求证据、给出证明或举出反例，以合理的解释甄别结论的合理性，以不同的方法根据充足的依据进行推断，用准确的数学语言进行表达，发展思维的条理性和发散性。
（二） 在练习应用中，发展演绎推理的能力
数学练习与应用的本质，就是运用一般原理于个别的具体情境中，也就是知识的具体化、思维的演绎。教师在学生的练习过程中要有意识地引导学生经历严谨的演绎推理过程，循序渐进，逐步发展儿童的演绎推理能力。
1. 通过“判断—说理”，深化对数学结论的内涵理解。
在学生归纳论证数学结论后，通常要通过一些判断练习巩固对数学结论的理解。教学时应关注学生运用演绎推理的思维对判断结果做出合乎逻辑的解释，有根有据地说明理由。
比如，教学苏教版五上《小数的性质》一课，学习了小数的性质后，为深化理解，教师时常要让学生判断：1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0哪些数的0可以去掉？哪些0不能去掉？教学中不能得到结果就草草了事，应通过追问“为什么”来追出学生脑中的演绎推理过程，并逐步引导学生用较规范的语言表达：“因为小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变（大前提），1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0这些0在小数的末尾（小前提），所以这些0可以去掉（结论）。”这样的“三段论”推理过程，进一步帮助学生明晰了小数性质的关键和内涵，发展学生思维的逻辑性和深刻性。
2. 经历“问题—求解”，活化对数学结论的运用意识。
数学结论的运用十分广泛，数学学习中，时常要根据掌握的数学定理、结论来解决具体问题，教学中不仅要注重练习的正确性，更不能忽视拓展推理的空间。
比如教学苏教版六上《认识倒数》一课，基于分类归纳得出“乘积是1的两个数互为倒数”的定义后，教师可引导学生质疑：“关于互为倒数，你还能提出什么问题？0和1这两个数是数学的宠儿，他们的倒数分别是几？”在学生经历讨论后，引导学生清晰表达推理过程：“因为乘积是1的两个数互为倒数，1×（1）=1，因此1的倒数就是1，而0乘任何数都得0，没有一个数和0相乘得1，所以0没有倒数。”倒数的教学并不复杂，这个过程的核心是“先归纳后演绎”的思维活动，归纳推理构建结论，演绎推理确认结论。使学生在感受合情与演绎的内部关系同时，进一步发展合乎逻辑的思考秩序和有条理的表达能力。
（三） 在知识梳理中，提升演绎推理的能力
大脑储存信息追求秩序、关联、系统。要使信息系统化，就需要把关联的知识按照逻辑关系，梳理出知识的源与流、主与次，这就需要推理。演绎推理是扩展数学知识体系、建立数学知识内在秩序的主要思维方式。
1. 引导“发散—沟通”，由已知结论推导新的结论
教师应该经常要求学生通过推理去掌握新知，解决新问题。除了引导学生把个别的、特殊的事例，及时归纳为一般的原则方法，在学生掌握一定的原理后，还要引導学生从中通过演绎推理派生出新知来。如教学苏教版四上的《三角形的内角和》一课，通过度量、翻折、剪拼等数学实验研究各种三角形的内角，在学生归纳得出“三角形的内角和等于180°”的规律后，教师应引导学生在求三角形未知角的计算中向新知推进中演绎：
这样的演绎推理过程不但帮助学生清晰理解内容的逻辑结构，扩展数学知识链，更培养了学生思维的发散性和灵活性。
2. 重视“整理—建构”，由零散走向系统。
数学知识本身是有结构的，数学基本概念、基本原理都按照一定的内在联系方式联系着，教师应时常引导学生将学过的知识进行整理，在演绎推理中沟通联系，建构网络。比如，六年级总复习“立体图形”时，出示长方形、正方形、圆、扇形，让学生通过所学知识进行推理，说出联想到什么立体图形？当学生说出是长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形时，再要求学生说出理由，比如“看到长方形，我联想到长方体，因为长方体每个面都是长方形”，“看到长方形，我联想到圆柱，因为圆柱的侧面展开图都是长方形”，“由圆和扇形可以想到圆锥，因为圆锥的底面是一个圆，侧面展开图是一个扇形”……通过演绎推理将学生原有的知识综合运用，建构明晰的知识网络，形成整体性的理解，同时帮助学生提升到能够理性全面地进行逻辑分析的思维层面。
五、 结语
儿童演绎推理能力的形成和发展是一个隐性的、缓慢的、长期的过程。实际教学过程中，教师需改变对推理和证明的认识和培养上的偏差，积极创造让儿童进行数学推理的机会，引导学生经历完整的推理过程，培养儿童言必有据的数学表达能力，发展儿童初步的逻辑思维能力，提高儿童终身受用的认识水平。
参考文献：
[1] 张兴华.儿童学习心理与小学数学教学[M].江苏教育出版社，2013.
[2] 吴增生.用数学发展智慧[M].江西教育出版社，2016.
[3] 徐红萍.演绎推理能力在“数与代数”领域的培养策略探析[J]江苏教育，2015（6）：37-39.
作者简介：胡春燕，江苏省苏州市，苏州工业园区娄葑学校。
关键词：演绎推理；逻辑思维；循序渐进
一、 问题缘起：中美数学课对比赏析
鸡兔同笼问题是我国古代的数学名题。学习过不少名师的经典课，收获颇丰，发现国内数学课堂注重培养学生的策略意识和问题解决能力，主流教法是出示问题、尝试解决、策略交流、总结方法、策略提炼。
美国数学课堂教学鸡兔同笼的方式不同于中国课堂，笔者选取一部分教学实录呈现如下：一个住湖边的老人养有狗和鸭，某天老人看到5个头和14只脚，老人看到的是多少条狗、多少只鸭？片刻，学生便用二元一次方程找到了解决方案。老师没有让学生计算答案。而是让学生通过两个式子来推理，解释答案是否合理。下面是师生对话：
师：答案是5只狗和4只鸭，对不对？生：不对，老人只看到5个头。
师：狗不少于4条，对不对？生：不对，脚的总数是14，4条狗就16条腿了。
师：那会不会是三条狗呢？学生陷入沉思，发现3条狗12只脚，5个头14只腳的话，那么两只鸭子两条腿，除非……教室里哄堂大笑。
师：假设鸭和狗都是进化完整的，该有多少只鸭子呢？
学生议论纷纷：前提是不能超过5个头和14只脚。
师：如果狗少于三只，能推出鸭子的数量吗？生1：鸭子必须三只以上……因为……生2：如果三只鸭子，就有6条腿，狗就有……生3：如果狗脚不多于12条，就是狗不能多于3条，那么鸭子至少3只才能凑够5个头……
学生完成推理过程后老师才让他们计算。
二、 深度思考：数学教学的本质追求
笔者并不“崇洋媚外”，更不会“拿来主义”，只是“理性思考”，对比中美课堂的不同风格，剖析美国课堂的教学立意，“去其糟粕，取其精华”：美国老师并不满足于计算寻求答案，而是“磨洋工”式地不断提出假设，引发全方位的思考、猜想、推理、辨析，让学生明白解题的理由，发展学生的逻辑思维能力。的确，数学不是算术，数学实质是思维方式，是归纳和演绎的逻辑思维方式。
史宁中教授曾指出：“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”由此可见，推理在数学教学中的重要地位。
三、 意蕴解读：演绎推理的内涵诠释
推理，是由一个或者几个已知判断推出新判断的思维形式。数学推理包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有事实出发，凭经验和直觉通过归纳和类比等推断结果的推理方式，合情推理是一种或然推理，前提正确，推出结论不一定正确；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理、法则等）出发，按照逻辑推理规则进行证明和计算的推理方式。演绎推理是一种必然推理，前提正确，推出结论一定正确。
纵观小学数学教学活动以发展合情推理为主，演绎推理相对薄弱，甚至缺失。究其原因，一是儿童个体发展中，合情推理先于演绎推理；二是教师在教学中注重合情推理，相对忽视演绎推理。其实，数学活动一般都是“先归纳后演绎”的逻辑推理过程，合情推理和演绎推理二者相互融合、不可偏废。尤其第二学段，学生抽象逻辑思维逐步发展，在合情推理之后运用合适的方式引导学生进行演绎推理是必要的。
四、 策略建构：培养演绎推理能力的多维路径
《课标》指出：“推理能力应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。”因而在教学过程中教师要给学生提供各个领域丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，让学生去发现结论、解释结论、应用结论，逐步培养推理能力。
（一） 在新知探索中，感受演绎推理的必要性
要发展儿童演绎推理的能力，首先要让儿童有演绎推理的意识，感受演绎推理在数学学习中的必要性。
1. 鼓励“质疑—验证”，论证结论的科学性。
发现式教学不仅可以用于“发现”某些结论，而且可用于让学生“发现”结论的证明，恰当使用这种方法，能让学生在“先归纳后演绎”的逻辑推理中提升推理能力。比如教学苏教版四下《乘法分配律》，在用不完全归纳法得出结论（a b）×c=a×c b×c后，很多老师认为“大功告成”，便不再深入，导致丧失了培养学生演绎推理能力的机会。如果在大量数字验证的基础上，引导学生质疑：“能把所有的情况都举出来吗？有什么办法验证等式任何情况下一定成立？”教师可引导学生寻找反例，如果找不到也就增强了结论的正确性。还可进一步引导学生通过数形结合的方式来验证（如图）大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和，因此（a b）×c=a×c b×c。
演绎推理的过程是从不完全归纳向完全归纳发展的必经之路。鼓励学生反复质疑合情推理得到的结论的确定性，启发学生调动已有知识经验进行演绎推理验证，“知其然”更“知其所以然”，在探“本”求“源”中提升思维的深刻性和严谨性。
2. 引导“猜想—证明”，甄别结论的合理性。
布鲁纳指出，“在向学生揭示演绎和证明之前，使他们对材料有直感的理解是头等重要的”。让学生先猜一猜，力求产生对问题解决的直觉，这样更容易引发学生调动原有知识和能力综合展开合乎逻辑的论证或反证过程。
比如教学苏教版五下《异分母分数加减法》，首先让学生直觉猜想12 14的结果。在主要的两种不同结论13和34的基础上，教师可引导学生从多方面辨析证明哪个结果正确，哪个结果错误？（1）因为12=0.5，14=0.25，0.5 0.25=0.75≠13，所以13是错误的。（2）因为12小时=30分，14小时=15分，13小时=20分钟，所以13是错误的。（3）12>13，两数之和大于其中任意一个加数，所以13是错误的。（4）画图证明；12可以看成24，24和14合起来是34，因此12 14=24 14=34。 在数学猜想得到不同的结论时，教师应进一步引导学生寻求证据、给出证明或举出反例，以合理的解释甄别结论的合理性，以不同的方法根据充足的依据进行推断，用准确的数学语言进行表达，发展思维的条理性和发散性。
（二） 在练习应用中，发展演绎推理的能力
数学练习与应用的本质，就是运用一般原理于个别的具体情境中，也就是知识的具体化、思维的演绎。教师在学生的练习过程中要有意识地引导学生经历严谨的演绎推理过程，循序渐进，逐步发展儿童的演绎推理能力。
1. 通过“判断—说理”，深化对数学结论的内涵理解。
在学生归纳论证数学结论后，通常要通过一些判断练习巩固对数学结论的理解。教学时应关注学生运用演绎推理的思维对判断结果做出合乎逻辑的解释，有根有据地说明理由。
比如，教学苏教版五上《小数的性质》一课，学习了小数的性质后，为深化理解，教师时常要让学生判断：1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0哪些数的0可以去掉？哪些0不能去掉？教学中不能得到结果就草草了事，应通过追问“为什么”来追出学生脑中的演绎推理过程，并逐步引导学生用较规范的语言表达：“因为小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变（大前提），1.80 0.250 703.050 17.00 0.060 300 60.0这些0在小数的末尾（小前提），所以这些0可以去掉（结论）。”这样的“三段论”推理过程，进一步帮助学生明晰了小数性质的关键和内涵，发展学生思维的逻辑性和深刻性。
2. 经历“问题—求解”，活化对数学结论的运用意识。
数学结论的运用十分广泛，数学学习中，时常要根据掌握的数学定理、结论来解决具体问题，教学中不仅要注重练习的正确性，更不能忽视拓展推理的空间。
比如教学苏教版六上《认识倒数》一课，基于分类归纳得出“乘积是1的两个数互为倒数”的定义后，教师可引导学生质疑：“关于互为倒数，你还能提出什么问题？0和1这两个数是数学的宠儿，他们的倒数分别是几？”在学生经历讨论后，引导学生清晰表达推理过程：“因为乘积是1的两个数互为倒数，1×（1）=1，因此1的倒数就是1，而0乘任何数都得0，没有一个数和0相乘得1，所以0没有倒数。”倒数的教学并不复杂，这个过程的核心是“先归纳后演绎”的思维活动，归纳推理构建结论，演绎推理确认结论。使学生在感受合情与演绎的内部关系同时，进一步发展合乎逻辑的思考秩序和有条理的表达能力。
（三） 在知识梳理中，提升演绎推理的能力
大脑储存信息追求秩序、关联、系统。要使信息系统化，就需要把关联的知识按照逻辑关系，梳理出知识的源与流、主与次，这就需要推理。演绎推理是扩展数学知识体系、建立数学知识内在秩序的主要思维方式。
1. 引导“发散—沟通”，由已知结论推导新的结论
教师应该经常要求学生通过推理去掌握新知，解决新问题。除了引导学生把个别的、特殊的事例，及时归纳为一般的原则方法，在学生掌握一定的原理后，还要引導学生从中通过演绎推理派生出新知来。如教学苏教版四上的《三角形的内角和》一课，通过度量、翻折、剪拼等数学实验研究各种三角形的内角，在学生归纳得出“三角形的内角和等于180°”的规律后，教师应引导学生在求三角形未知角的计算中向新知推进中演绎：
这样的演绎推理过程不但帮助学生清晰理解内容的逻辑结构，扩展数学知识链，更培养了学生思维的发散性和灵活性。
2. 重视“整理—建构”，由零散走向系统。
数学知识本身是有结构的，数学基本概念、基本原理都按照一定的内在联系方式联系着，教师应时常引导学生将学过的知识进行整理，在演绎推理中沟通联系，建构网络。比如，六年级总复习“立体图形”时，出示长方形、正方形、圆、扇形，让学生通过所学知识进行推理，说出联想到什么立体图形？当学生说出是长方体、正方体、圆柱、圆锥等立体图形时，再要求学生说出理由，比如“看到长方形，我联想到长方体，因为长方体每个面都是长方形”，“看到长方形，我联想到圆柱，因为圆柱的侧面展开图都是长方形”，“由圆和扇形可以想到圆锥，因为圆锥的底面是一个圆，侧面展开图是一个扇形”……通过演绎推理将学生原有的知识综合运用，建构明晰的知识网络，形成整体性的理解，同时帮助学生提升到能够理性全面地进行逻辑分析的思维层面。
五、 结语
儿童演绎推理能力的形成和发展是一个隐性的、缓慢的、长期的过程。实际教学过程中，教师需改变对推理和证明的认识和培养上的偏差，积极创造让儿童进行数学推理的机会，引导学生经历完整的推理过程，培养儿童言必有据的数学表达能力，发展儿童初步的逻辑思维能力，提高儿童终身受用的认识水平。
参考文献：
[1] 张兴华.儿童学习心理与小学数学教学[M].江苏教育出版社，2013.
[2] 吴增生.用数学发展智慧[M].江西教育出版社，2016.
[3] 徐红萍.演绎推理能力在“数与代数”领域的培养策略探析[J]江苏教育，2015（6）：37-39.
作者简介：胡春燕，江苏省苏州市，苏州工业园区娄葑学校。