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[摘 要]在实际工作中，人们不可避免地会遇到需要在高温环境中工作的情况。高温作业专用服装是一种特制的热防护服，可以有效的降低高温环境工作人员的体温，避免高温伤害。通过对热防护服各层参数的分析研究，建立了热力学偏微分方程模型，利用有限元差分法求解，求出热防护服各层的最优厚度，从而给出其最优设计方案。
[关键字]热防护服；偏微分方程；温度分布图；有限元差分法
中图分类号：TP419 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）12-0299-01
1.问题重述
热防护服通常由三层织物材料构成，分别记为I层、II层、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。对实验室环境温度为、II层厚度为、IV层厚度为、工作时间为90分钟的情形开展实验，数据来自于2018年国赛A题附件1。请建立数学模型计算热防护服各层的温度分布。
2.问题分析
分析题目可知，高温工作防护服的原理是外界环境温度经过由织物材料组成第I层、第II层、第III层工作服以及工作服和假人皮肤之间的空隙构成的第IV层进行传递，达到降温及安全工作的目的。因此，建立“环境-服装-假人”系统如下图所示：
已知外界环境温度即防护服I层左侧开始温度为75℃，首先对附件2中90分钟的测试数据进行处理，拟合得到假人皮肤外侧温度随时间的变化趋势，分析可知当时间在1645s后，假人皮肤外侧的温度就不再变化。利用MATLAB对数据进行指数拟合得到假人皮肤外侧温度随时间变化的函数关系式，然后根据相应的热力学公式，建立热传导微分方程组模型，结合附件1中给出的热防护服I层、II层、III层及IV层空气层的密度、比热、热传导率和厚度范圍进行求解。但考虑到偏微分方程的求解有一定难度，因此使用有限元差分的方法将偏微分方程离散化，即可得到热防护服I层、II层、III层和IV层空气层温度分布的近似解，且能够通过图形直观的看出热防护服各层的温度分布情况。
3.模型的建立与求解
目标是求解热防护服每层的温度分布，由附件2中给出了人体表面温度变化情况及外侧环境温度可算出温度差，因此选择从外层逐渐往里层计算，建立各层的微分方程模型进行求解。
已知外界环境温度为75℃，假人皮肤外侧温度为37℃，首先利用MATLAB画出附件2给出的假人皮肤外侧温度随时间变化的曲线，分析温度变化规律，可知在90分钟内整体温度变化趋势为：在一段时间后，温度趋于稳定，保持在48.08℃变化，查阅附件2可知稳态所对应时间的为1645s。因此，利用MATLAB对0s-1645s的温度数据处理温度与时间的指数拟合函数关系式为：
（1）
3.1建立热传导微分方程模型
通过查阅相关资料[1]，根据热能守恒微分方程及傅里叶热流定律[2]，建立热防护服的热传导微分方程组为：
（2）
其中φ为传导热流密度，即单位时间内通过单位面积的热流量（W/m2），k为导热系数（W/（m·K））， 为沿x方向的温度梯度。
利用MATLAB画出热防护服第I层与第II层分界处温度随时间变化图如下：
图3第I层与第II层分界处温度随时间变化图
同理，热防护服II层与III层分界处、III层与空气层分界处、假人表面的温度随时间变化图像。
分析以上结果看到，可知温度随时间及距离的变化都在下降，根据傅里叶热流定律的解释，温差越来越小，导致热流量也逐渐减小，使温度总会在某一时刻达到一个稳态。可以明显看出人体表面的温度小于防护服各层的温度，这也说明了防护服在降低温度上的功效是非常明显的。
4.模型检验
在上述求解过程中会存在一定的误差，所以进行误差分析是很重要的[7]，分析如下：
通过表中数据得到误差在0.5%以下，说明差分法求得的解还是很精确的。
5.结束语
本文建立热力学微分方程模型，运用有限元差分法求解，得到一定高温下，高温作业专用服装各层温度随时间的分布。此模型可应用于其他防高温设备的设计中，即对其他的防热装备设计给出了一种通用模型。
参考文献
[1]贾海峰.一维热传导方程的推导[J].科技信息，2013（02）：159.
[2]阙翔.便携式计算机散热系统研究[D].苏州大学，2014.
[3]徐建锋，薄中阳，白剑，杨国光.大规模集成光波导时域有限元差分法仿真的子域合成法[J].光学学报，2007（01）：5-9.
[4]余跃.纺织材料热湿传递数学建模及其设计反问题[D].浙江理工大学，2016.
[5]孙瑞岩，陈欲宵，化工原理，长春：吉林科学技术出版社，2005.8.
[6]潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D].浙江理工大学，2017.
[7]史策.热传导方程有限差分法的MATLAB实现[J].咸阳师范学院学报，2009，24（04）：27-29+36.
[关键字]热防护服；偏微分方程；温度分布图；有限元差分法
中图分类号：TP419 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）12-0299-01
1.问题重述
热防护服通常由三层织物材料构成，分别记为I层、II层、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。对实验室环境温度为、II层厚度为、IV层厚度为、工作时间为90分钟的情形开展实验，数据来自于2018年国赛A题附件1。请建立数学模型计算热防护服各层的温度分布。
2.问题分析
分析题目可知，高温工作防护服的原理是外界环境温度经过由织物材料组成第I层、第II层、第III层工作服以及工作服和假人皮肤之间的空隙构成的第IV层进行传递，达到降温及安全工作的目的。因此，建立“环境-服装-假人”系统如下图所示：
已知外界环境温度即防护服I层左侧开始温度为75℃，首先对附件2中90分钟的测试数据进行处理，拟合得到假人皮肤外侧温度随时间的变化趋势，分析可知当时间在1645s后，假人皮肤外侧的温度就不再变化。利用MATLAB对数据进行指数拟合得到假人皮肤外侧温度随时间变化的函数关系式，然后根据相应的热力学公式，建立热传导微分方程组模型，结合附件1中给出的热防护服I层、II层、III层及IV层空气层的密度、比热、热传导率和厚度范圍进行求解。但考虑到偏微分方程的求解有一定难度，因此使用有限元差分的方法将偏微分方程离散化，即可得到热防护服I层、II层、III层和IV层空气层温度分布的近似解，且能够通过图形直观的看出热防护服各层的温度分布情况。
3.模型的建立与求解
目标是求解热防护服每层的温度分布，由附件2中给出了人体表面温度变化情况及外侧环境温度可算出温度差，因此选择从外层逐渐往里层计算，建立各层的微分方程模型进行求解。
已知外界环境温度为75℃，假人皮肤外侧温度为37℃，首先利用MATLAB画出附件2给出的假人皮肤外侧温度随时间变化的曲线，分析温度变化规律，可知在90分钟内整体温度变化趋势为：在一段时间后，温度趋于稳定，保持在48.08℃变化，查阅附件2可知稳态所对应时间的为1645s。因此，利用MATLAB对0s-1645s的温度数据处理温度与时间的指数拟合函数关系式为：
（1）
3.1建立热传导微分方程模型
通过查阅相关资料[1]，根据热能守恒微分方程及傅里叶热流定律[2]，建立热防护服的热传导微分方程组为：
（2）
其中φ为传导热流密度，即单位时间内通过单位面积的热流量（W/m2），k为导热系数（W/（m·K））， 为沿x方向的温度梯度。
利用MATLAB画出热防护服第I层与第II层分界处温度随时间变化图如下：
图3第I层与第II层分界处温度随时间变化图
同理，热防护服II层与III层分界处、III层与空气层分界处、假人表面的温度随时间变化图像。
分析以上结果看到，可知温度随时间及距离的变化都在下降，根据傅里叶热流定律的解释，温差越来越小，导致热流量也逐渐减小，使温度总会在某一时刻达到一个稳态。可以明显看出人体表面的温度小于防护服各层的温度，这也说明了防护服在降低温度上的功效是非常明显的。
4.模型检验
在上述求解过程中会存在一定的误差，所以进行误差分析是很重要的[7]，分析如下：
通过表中数据得到误差在0.5%以下，说明差分法求得的解还是很精确的。
5.结束语
本文建立热力学微分方程模型，运用有限元差分法求解，得到一定高温下，高温作业专用服装各层温度随时间的分布。此模型可应用于其他防高温设备的设计中，即对其他的防热装备设计给出了一种通用模型。
参考文献
[1]贾海峰.一维热传导方程的推导[J].科技信息，2013（02）：159.
[2]阙翔.便携式计算机散热系统研究[D].苏州大学，2014.
[3]徐建锋，薄中阳，白剑，杨国光.大规模集成光波导时域有限元差分法仿真的子域合成法[J].光学学报，2007（01）：5-9.
[4]余跃.纺织材料热湿传递数学建模及其设计反问题[D].浙江理工大学，2016.
[5]孙瑞岩，陈欲宵，化工原理，长春：吉林科学技术出版社，2005.8.
[6]潘斌.热防护服装热传递数学建模及参数决定反问题[D].浙江理工大学，2017.
[7]史策.热传导方程有限差分法的MATLAB实现[J].咸阳师范学院学报，2009，24（04）：27-29+36.