论文部分内容阅读
两个图形相似，一定要注意相似形的对应边和对应角，不少同学因概念不清或考虑不周经常出现错解或漏解，下面对一些典型的犯错点进行剖析，希望对大家的学习有所帮助.
例1 如图1，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，[ADDB]=[12]，DE=4cm，求BC的长.
【典型错解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴[DEBC]=[ADDB]，即：[4BC]=[12]，
∴BC=8.
【错因分析】本题错解中用错了两个相似三角形的对应边，由△ADE∽△ABC应得[DEBC]=[ADAB]=[13]，从而得BC=3DE=12（cm）.
所以学习相似三角形一定要注意对应.
【纠错训练1】如图2，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，[ADBD]=[23]，则[DEBC]= .
例2 如图3，在已建立平面直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形，若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 .
【典型错解】P点坐标为（1，4），（3，4）.
【错因分析】本题错解中遗漏了三角形全等的情况，事实上，全等是特殊的相似.当点P与点B对应时，形成相似比为2∶1的相似三角形；当点P与点C对应时，两个三角形全等，即相似比为1∶1.如图4，格点P的坐标应为（1，4）或（3，1）或（3，4）.
【纠错训练2】如图5，在2×4的正方形方格中，与格点△ABC相似但不全等的格点三角形共有 个.
例3 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值是 .
【典型错解】第一步，求得其中一个直角三角形第三边长为10；第二步，将6、8、10分别与3、4、5对应求得x=5.
【错因分析】主观上将6和8当作直角边，并将6、8和3、4对应，缺乏分类意识，事实上，边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边.当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，[63]=[84]=[10x]，解得x=5；当6是直角边，8是斜边时，根据勾股定理可求得另一条直角边为[27].由[63]=[27x]=[84]，解得x=[7]，所以x=5或[7].[图6]
【纠错训练3】将三角形纸片△ABC按如图6所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 .
例4 如图7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，PA= .
【典型错解】如图8，当点P在线段AB上，①当[ADBC]=[PAPB]时，△PAD∽△PBC，此时[23]=[x7-x]，解得PA=x=[145]；
②当[ADBP]=[PACB]时，△PAD∽△CBP，此时[27-x]=[x3]，解得：PA=x=1或6.
∴PA=1或6或[145].
【错因分析】只考虑点P在线段AB上的情形，未考虑点P在线段AB延长线上或在线段BA的延长线上的情况，设PA=x，
①若点P在线段AB上，PA=1或6或[145]；
②如图9，若点P在线段BA的延长线上且△PAD∽△PBC，[PAPB]=[ADBC]，此时[x7 x]=[23]，解得：PA=x=14；
如图10，当△PAD∽△CBP时，[PACB]=[ADBP]，此时[x3]=[27 x]，解得：x=[±73-72]（负值舍去），PA=x=[73-72]；
③如图11，若点P在线段AB的延长线上，当△PAD∽△CBP时，[ADPB]=[PACB]，此时[2x-7]=[x3]，解得：x=[±73 72]（負值舍去），PA=x=[73 72]，综上，PA=1或6或[145]或14或[73-72]或[73 72].
【纠错训练4】如图12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是BC边的中点，动点P从点C出发，沿C→A→B的方向在AC、AB边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止.连接PD，当点P运动时间t=
时，线段PD截得的三角形与Rt△ABC相似.
通过以上几种易错点的分析，我们可以发现，学习相似一定要抓住相似形的对应边和对应角，同时，要注意题目语言的叙述是否存在多种可能，特别是“相似符号没有写的情况下，一定要注意对应防漏解”，提高分类的意识，增强思考问题的全面性和完整性.
例1 如图1，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，[ADDB]=[12]，DE=4cm，求BC的长.
【典型错解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴[DEBC]=[ADDB]，即：[4BC]=[12]，
∴BC=8.
【错因分析】本题错解中用错了两个相似三角形的对应边，由△ADE∽△ABC应得[DEBC]=[ADAB]=[13]，从而得BC=3DE=12（cm）.
所以学习相似三角形一定要注意对应.
【纠错训练1】如图2，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，[ADBD]=[23]，则[DEBC]= .
例2 如图3，在已建立平面直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形，若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 .
【典型错解】P点坐标为（1，4），（3，4）.
【错因分析】本题错解中遗漏了三角形全等的情况，事实上，全等是特殊的相似.当点P与点B对应时，形成相似比为2∶1的相似三角形；当点P与点C对应时，两个三角形全等，即相似比为1∶1.如图4，格点P的坐标应为（1，4）或（3，1）或（3，4）.
【纠错训练2】如图5，在2×4的正方形方格中，与格点△ABC相似但不全等的格点三角形共有 个.
例3 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值是 .
【典型错解】第一步，求得其中一个直角三角形第三边长为10；第二步，将6、8、10分别与3、4、5对应求得x=5.
【错因分析】主观上将6和8当作直角边，并将6、8和3、4对应，缺乏分类意识，事实上，边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边.当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，[63]=[84]=[10x]，解得x=5；当6是直角边，8是斜边时，根据勾股定理可求得另一条直角边为[27].由[63]=[27x]=[84]，解得x=[7]，所以x=5或[7].
【纠错训练3】将三角形纸片△ABC按如图6所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 .
例4 如图7，在梯形ABCD中，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果直线AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，PA= .
【典型错解】如图8，当点P在线段AB上，①当[ADBC]=[PAPB]时，△PAD∽△PBC，此时[23]=[x7-x]，解得PA=x=[145]；
②当[ADBP]=[PACB]时，△PAD∽△CBP，此时[27-x]=[x3]，解得：PA=x=1或6.
∴PA=1或6或[145].
【错因分析】只考虑点P在线段AB上的情形，未考虑点P在线段AB延长线上或在线段BA的延长线上的情况，设PA=x，
①若点P在线段AB上，PA=1或6或[145]；
②如图9，若点P在线段BA的延长线上且△PAD∽△PBC，[PAPB]=[ADBC]，此时[x7 x]=[23]，解得：PA=x=14；
如图10，当△PAD∽△CBP时，[PACB]=[ADBP]，此时[x3]=[27 x]，解得：x=[±73-72]（负值舍去），PA=x=[73-72]；
③如图11，若点P在线段AB的延长线上，当△PAD∽△CBP时，[ADPB]=[PACB]，此时[2x-7]=[x3]，解得：x=[±73 72]（負值舍去），PA=x=[73 72]，综上，PA=1或6或[145]或14或[73-72]或[73 72].
【纠错训练4】如图12，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是BC边的中点，动点P从点C出发，沿C→A→B的方向在AC、AB边上以每秒2个单位的速度向点B移动，运动至点B即停止.连接PD，当点P运动时间t=
时，线段PD截得的三角形与Rt△ABC相似.
通过以上几种易错点的分析，我们可以发现，学习相似一定要抓住相似形的对应边和对应角，同时，要注意题目语言的叙述是否存在多种可能，特别是“相似符号没有写的情况下，一定要注意对应防漏解”，提高分类的意识，增强思考问题的全面性和完整性.