一类积分中递推公式推导例析

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  摘 要:在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题,与一些计算及应用题相比,推导过程对学生来说不是很简单的问题。但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容。本文给出了几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子。
  关键词:积分;递推公式 ;推导
  在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题,与一些计算及应用题相比,推导过程对学生来说不是很简单的问题。但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容,也是各种《高等数学》竞赛中经常出现的。而在教学中,由于课堂时间的有限也没法就此问题深入展开。本文给出几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子,希望能够加深学生应用时的印象。
  1.导出递推公式In=∫dx(x2+a2)n,其中n为正整数。
  解当n=1时,有
   以此作递推公式,则由I1开始可计算出I2…In。也就是把计算In归结为计算In-1继续使用,依次推下去,最后归结为计算I1。这个公式的推导很关键,应用方面较少。
  2.导出递推公式In=∫π20cosnxdx,其中n为非负整数。
  .
  利用上面公式很容易计算出在区间[0,π2]上,函数cosx的各个幂次的定积分问题;当被积函数是sinx时,递推公式In=∫π20sinnxdx,其中n为非负整数,易证计算结果与In=
  ∫π20cosnxdx相同。可直接利用其结果解题,应用起来非常方便。
  因为积分区间关于原点对称,x2arctnx为奇函数cos7x+sin8x,为偶函数,故
  解因为积分区间不符合上面的推导公式,先要作变量替换,设2x=t则dx=12dt,当x=0时,t=0;当x=π4时,t=π2
  所以,∫π40(cos52xdx=12
  ∫π20(cos5tdt=12·45·23=·415
  
  上面的定积分问题利用公式计算就显得很简单,但是要是直接计算起来就要麻烦的很多.所以在积分计算中,学会推导并应用递推公式对解题来说非常关键。
  参考文献:
  [1]吴赣昌主编,微积分(经管类)上册,中国人民大学出版社,2007年第1版.
  [2]陈文灯主编,高等数学辅导, 世界图书出版公司北京公司.2006年第3版.
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