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数学,无论在义务教育和高中教育的哪个阶段都占据着不容小觑的地位,这也就决定了它必然备受关注,尤其对刚入高中的学生而言。高中对学生和家长来说都是一个新的起跑线,他们对之寄于厚望。但通过半学期或一学期的学习,有部分同学和家长对高中数学的进度与难度提出质疑:怎么越考越少了?甚至有的本身考入重点高中的同学对数学产生了放弃的念头……这些值得深思。但数学真有那么可怕吗?其实数学本身没有那么可怕,可怕的是我们身为执行者将之神秘化与复杂化了;数学并不难学,高中课程中没有比它更有系统更有“理智”(理由和智力)的一门学科了;数学本身充满趣味;其实数学可以以一种更为简洁、更为有效的面目示人,而关键在于执行者的把握。下面我就从数学教学中的知识点、同类题、变式思考题提升三个方面谈谈自己的看法。
1.知识点的把握。
新课学习时,必须重视学生对课本中概念、定义、定理、法则、公式的透彻理解,对数学语言的准确表达与运用,对性质和习题的灵活变通上。只有抓好基础,对知识网络的建立和融合,数学思想方法才会运用自如,发挥作用;因而教学中应始终体现“学生为主体、教师为主导”的教学原则,给学生以充分自主的权力,创设一个良好和谐的符合学生认知规律的学习氛围,注重知识形成过程、定理的推导过程的分析讲解。
①No why法。刚上高中的学生犹如刚上小学的孩子,对一切课程充满兴趣,我们不妨就把他们当成孩子,那么在对知识点的教学中就可以大胆的对他们说:“No why!”如:集合的定义和集合中元素的三大特性,只需告之这是规定,规定是不讲理的,只需遵照执行。这就如小学生背:1 1=2,只需背熟,无需告知原因,当然至今也无人能解释为什么。所以在对知识点的传授上,讲不如背,背后考查,就如英语老师考查学生对单词的熟练程度一样。这样强迫记熟后,知识点就变成了他们解题的工具,就如电脑之于我们,可以使用了。
②创设合理有序的问题情境,激发学生对数学的兴趣。提高课堂教学有效性的一个基本条件就是学生主动参与。如果学生不愿学,不想学,那么提高课堂教学有效性就是一句空话。因此,有效教学就是激发学生的学习动机,即唤起学生对学习的兴趣、求知的渴望和成就的欲望。美国哈佛大学心理学家詹姆士曾用实验证明,通过激发兴趣,人的积极性甚至可以增加3-4倍。有人推出了这样一个描绘性公式:学生的学习成绩=能力×兴趣。所以有效的设计教学情景和问题引领是提高学生积极参与的关键。比方说在学习“二分法”求方程近似解的过程中,我就借用央视的“幸运52”节目中看商品猜价格的游戏,请大家猜猜我的手机价格,从大家的参与中,评点猜测技巧和方法,引导大家科学的估算。然后直接给大家一个数学问题,请大家估算一下方程X2=5的近似解。因为学生有游戏的基础,他们在讨论中自觉的借用游戏的估算方式来解决问题。而且是在合作中发现了“二分法”。这样,提高了学生自主参与的意识,课堂教学的有效性也随之提高了。正如孔子所说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,所以学习的最高境界应该是乐学。
③回归课本。对概念的学习还要不断回归课本,叫学生阅读课本概念,不仅可以正确理解书中基础知识,同时可挖掘概念字里行间更丰富的内容,潜移默化培养和提高学生准确说写的文字表达能力、正确理解题意的能力和自学能力。如,“等差数列的定义:一个数列,从第二项起,每一项与前一项的差为一个定常数,则这个数列叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。”从中我们能读出什么呢?比如:等差数列的定义式和等差中项的性质。
2.知识点的应用——同一类型题的把握。
在经历了知识点的学习后,解题变成体现应用能力的舞台,我们要注意这一方面的培养。在数学中,同一知识点可以应用在不同的题目上,于是这些题就变成了同一类型题。同一知识点的题目会呈现很多种不同面目,但万变不离其宗。如:导数的应用,主要体现在两个方面(1)利用导数判断函数的单调性;(2)已知含参数的函数在给定区间上的单调性求参数的变化范围。听着复杂,其实方法步骤是固定的。如(1)的步骤:
第一步:求导。求出y′=f′(x)
第二步:分情况求解。
当f′(x)>0,求出X的变化区间[a,b]即为y=f(x)的单调递增区间。
当f′(x)<0,求出X的变化区间[m,n]即为y=f(x)的单调递减区间。
第三步:结合函数的定义域,即可判断函数y=f(x)的单调性并可以指出单调区间。解毕。
而这一方法步骤对高中课程中出现的函数几乎皆可使用。
同理(2)的方法步骤如下:
第一步:求导。求出y′=f′(x)
第二步:等价转化。y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减)。
Ff′(x)≥0(≤0)在区间[a,b]上恒成立。
第三步:转化为求y=f′(x)的最值问题。解毕。
综上,对于这同一类型题就变成有“法”可依,有“法”可循,但要注意两类题中虽都用到导数,但又有所区别。而教师对于同一类型题的演示、总结,将会大大提高知识点应用的有效性,再辅之以少量练习,学生就会掌握。另外,对同一知识点的涉及的不同题型要教会学生自己去总结,尤其到高三以后,可以针对同一知识点的不同转化教会他们“横看成岭侧成峰”的思考方式。
3.升华——同一知识点的提升。
对同一个知识点的应用涉及不同类型题,而对同一类型题的把握上,我们要让学生成为有能力“跳起来摘桃子的人”而不是“盛桃子的筐”。这就需要我们对变式题提升,创设合理的想象情境和纠错情境。
首先,创设合理的想象情境,可以变“单一思维”为“多项拓展”。高中生一般对“有用、有挑战性”的任务感兴趣。因此,教学中结合教学内容可以从生活中的具体事实或有趣现象或数学知识的实际应用引出问题,让学生在生动具体而富有情趣的情境中发现问题、思考问题和解决问题。
例如在立体几何题中经常有这样一道题:已知三棱锥P-ABC,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,求点P到面ABC的距离。这道题主要是考察“点到平面距离”问题。
解法一:作图直接求解法;
解法二:等体积法;
解法三:割补法,把该三棱锥补成正方体。
学生由常规思路进行解法一求解,再在老师启发下在进行二、三的求解,这样引导学生“想一想”进行独立思考,概括总结“求点到平面的距离”的基本解法,达到训练主体思维的目的。该题讲到这里为止,弃之可惜,应该多追问几句,效果更佳。
①纵向延伸。“求该三棱锥的外接球的体积”,引导学生深入思考,沟通前后联系,弄清知识由浅入深,逐步深化、递进,提高思维的深刻性。
②横向展开。“改变题设PA、PB、PC两两成60,其它不动,再求点P到面ABC的距离和求该三棱锥的外接球的体积”,学生解题后,还可以横向展开,引导学生从多种角度、多种途径进行解题(此种方法多适应于练习课与复习课)。思维批判性得到很好锻炼。
③逆向回转,要求学生小结距离计算时注意转化、化归等数学思想。这样,训练学生从顺、逆两个方向思考问题,有利于认识的提高。这样一个题目多种方法解决,多角度设问,既训练了学生主体思维,又优化了学生思维品质。同时也可提高学生学习的兴趣。
其次,要学会创设纠错情境,培养学生严谨的逻辑推理能力。数学,尤其到了高中数学,它的题目并不单纯要一个计算结果,更多的要求学生有严密的推理过程,从而培养其严谨的逻辑推理能力,这就需要我们创设纠错情境。“错误常常是正确的先导”,学生在解题时,常常出现这样或那样的错误,对此,我们应针对学生常犯的一些隐晦的错误,引导学生分析研究错误的原因,寻找治错的良方,在知错中改错,在改错中防错,以弥补学生在知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷,提高解题的准确性,增强四维的严谨性。如,对两个单调递增区间的表达上,学生往往会写成[a,b]∪[m,n],这样的表达是较低级的错误,需要强行纠正。在教学过程中,教师要随时了解学生的对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后,让学生复述;讲完一个例题后,将解答擦掉,请中等水平学生上台板演。有时,对于基础差的学生,可以对他们多提问,让他们有较多的锻炼机会,同时教师根据学生的表现,及时进行鼓励,培养他们的自信心,培养他们学习数学的兴趣。
有效课堂作为一种理念,更是一种价值追求,一种教学实践模式,将会引起我们更多的思考、更多的关注!为了提高课堂教学的有效性,我们必须以教学理论作指导,经过自己的不断实践,不断总结,不断完善与创新,熟练地运用课堂教学的有效性策略,真正提高课堂教学的质量,提高学生学习的质量。
(作者单位:安徽省蚌埠市怀远县第一中学)
1.知识点的把握。
新课学习时,必须重视学生对课本中概念、定义、定理、法则、公式的透彻理解,对数学语言的准确表达与运用,对性质和习题的灵活变通上。只有抓好基础,对知识网络的建立和融合,数学思想方法才会运用自如,发挥作用;因而教学中应始终体现“学生为主体、教师为主导”的教学原则,给学生以充分自主的权力,创设一个良好和谐的符合学生认知规律的学习氛围,注重知识形成过程、定理的推导过程的分析讲解。
①No why法。刚上高中的学生犹如刚上小学的孩子,对一切课程充满兴趣,我们不妨就把他们当成孩子,那么在对知识点的教学中就可以大胆的对他们说:“No why!”如:集合的定义和集合中元素的三大特性,只需告之这是规定,规定是不讲理的,只需遵照执行。这就如小学生背:1 1=2,只需背熟,无需告知原因,当然至今也无人能解释为什么。所以在对知识点的传授上,讲不如背,背后考查,就如英语老师考查学生对单词的熟练程度一样。这样强迫记熟后,知识点就变成了他们解题的工具,就如电脑之于我们,可以使用了。
②创设合理有序的问题情境,激发学生对数学的兴趣。提高课堂教学有效性的一个基本条件就是学生主动参与。如果学生不愿学,不想学,那么提高课堂教学有效性就是一句空话。因此,有效教学就是激发学生的学习动机,即唤起学生对学习的兴趣、求知的渴望和成就的欲望。美国哈佛大学心理学家詹姆士曾用实验证明,通过激发兴趣,人的积极性甚至可以增加3-4倍。有人推出了这样一个描绘性公式:学生的学习成绩=能力×兴趣。所以有效的设计教学情景和问题引领是提高学生积极参与的关键。比方说在学习“二分法”求方程近似解的过程中,我就借用央视的“幸运52”节目中看商品猜价格的游戏,请大家猜猜我的手机价格,从大家的参与中,评点猜测技巧和方法,引导大家科学的估算。然后直接给大家一个数学问题,请大家估算一下方程X2=5的近似解。因为学生有游戏的基础,他们在讨论中自觉的借用游戏的估算方式来解决问题。而且是在合作中发现了“二分法”。这样,提高了学生自主参与的意识,课堂教学的有效性也随之提高了。正如孔子所说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,所以学习的最高境界应该是乐学。
③回归课本。对概念的学习还要不断回归课本,叫学生阅读课本概念,不仅可以正确理解书中基础知识,同时可挖掘概念字里行间更丰富的内容,潜移默化培养和提高学生准确说写的文字表达能力、正确理解题意的能力和自学能力。如,“等差数列的定义:一个数列,从第二项起,每一项与前一项的差为一个定常数,则这个数列叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。”从中我们能读出什么呢?比如:等差数列的定义式和等差中项的性质。
2.知识点的应用——同一类型题的把握。
在经历了知识点的学习后,解题变成体现应用能力的舞台,我们要注意这一方面的培养。在数学中,同一知识点可以应用在不同的题目上,于是这些题就变成了同一类型题。同一知识点的题目会呈现很多种不同面目,但万变不离其宗。如:导数的应用,主要体现在两个方面(1)利用导数判断函数的单调性;(2)已知含参数的函数在给定区间上的单调性求参数的变化范围。听着复杂,其实方法步骤是固定的。如(1)的步骤:
第一步:求导。求出y′=f′(x)
第二步:分情况求解。
当f′(x)>0,求出X的变化区间[a,b]即为y=f(x)的单调递增区间。
当f′(x)<0,求出X的变化区间[m,n]即为y=f(x)的单调递减区间。
第三步:结合函数的定义域,即可判断函数y=f(x)的单调性并可以指出单调区间。解毕。
而这一方法步骤对高中课程中出现的函数几乎皆可使用。
同理(2)的方法步骤如下:
第一步:求导。求出y′=f′(x)
第二步:等价转化。y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减)。
Ff′(x)≥0(≤0)在区间[a,b]上恒成立。
第三步:转化为求y=f′(x)的最值问题。解毕。
综上,对于这同一类型题就变成有“法”可依,有“法”可循,但要注意两类题中虽都用到导数,但又有所区别。而教师对于同一类型题的演示、总结,将会大大提高知识点应用的有效性,再辅之以少量练习,学生就会掌握。另外,对同一知识点的涉及的不同题型要教会学生自己去总结,尤其到高三以后,可以针对同一知识点的不同转化教会他们“横看成岭侧成峰”的思考方式。
3.升华——同一知识点的提升。
对同一个知识点的应用涉及不同类型题,而对同一类型题的把握上,我们要让学生成为有能力“跳起来摘桃子的人”而不是“盛桃子的筐”。这就需要我们对变式题提升,创设合理的想象情境和纠错情境。
首先,创设合理的想象情境,可以变“单一思维”为“多项拓展”。高中生一般对“有用、有挑战性”的任务感兴趣。因此,教学中结合教学内容可以从生活中的具体事实或有趣现象或数学知识的实际应用引出问题,让学生在生动具体而富有情趣的情境中发现问题、思考问题和解决问题。
例如在立体几何题中经常有这样一道题:已知三棱锥P-ABC,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,求点P到面ABC的距离。这道题主要是考察“点到平面距离”问题。
解法一:作图直接求解法;
解法二:等体积法;
解法三:割补法,把该三棱锥补成正方体。
学生由常规思路进行解法一求解,再在老师启发下在进行二、三的求解,这样引导学生“想一想”进行独立思考,概括总结“求点到平面的距离”的基本解法,达到训练主体思维的目的。该题讲到这里为止,弃之可惜,应该多追问几句,效果更佳。
①纵向延伸。“求该三棱锥的外接球的体积”,引导学生深入思考,沟通前后联系,弄清知识由浅入深,逐步深化、递进,提高思维的深刻性。
②横向展开。“改变题设PA、PB、PC两两成60,其它不动,再求点P到面ABC的距离和求该三棱锥的外接球的体积”,学生解题后,还可以横向展开,引导学生从多种角度、多种途径进行解题(此种方法多适应于练习课与复习课)。思维批判性得到很好锻炼。
③逆向回转,要求学生小结距离计算时注意转化、化归等数学思想。这样,训练学生从顺、逆两个方向思考问题,有利于认识的提高。这样一个题目多种方法解决,多角度设问,既训练了学生主体思维,又优化了学生思维品质。同时也可提高学生学习的兴趣。
其次,要学会创设纠错情境,培养学生严谨的逻辑推理能力。数学,尤其到了高中数学,它的题目并不单纯要一个计算结果,更多的要求学生有严密的推理过程,从而培养其严谨的逻辑推理能力,这就需要我们创设纠错情境。“错误常常是正确的先导”,学生在解题时,常常出现这样或那样的错误,对此,我们应针对学生常犯的一些隐晦的错误,引导学生分析研究错误的原因,寻找治错的良方,在知错中改错,在改错中防错,以弥补学生在知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷,提高解题的准确性,增强四维的严谨性。如,对两个单调递增区间的表达上,学生往往会写成[a,b]∪[m,n],这样的表达是较低级的错误,需要强行纠正。在教学过程中,教师要随时了解学生的对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后,让学生复述;讲完一个例题后,将解答擦掉,请中等水平学生上台板演。有时,对于基础差的学生,可以对他们多提问,让他们有较多的锻炼机会,同时教师根据学生的表现,及时进行鼓励,培养他们的自信心,培养他们学习数学的兴趣。
有效课堂作为一种理念,更是一种价值追求,一种教学实践模式,将会引起我们更多的思考、更多的关注!为了提高课堂教学的有效性,我们必须以教学理论作指导,经过自己的不断实践,不断总结,不断完善与创新,熟练地运用课堂教学的有效性策略,真正提高课堂教学的质量,提高学生学习的质量。
(作者单位:安徽省蚌埠市怀远县第一中学)