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有效教学坚持以学生发展为本的教学目标，不仅关注学生的考试分数，更关注学生体魄的健壮、情感的丰富和社会适应性的提升，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度去促进学生个体的全方位发展，使学生获得知识与基本技能的同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。与低效、无效教学不同，有效教学特别注重教学目标和学生发展的全面性、整体性和协调性。“三维目标”是一个完整、协调、互相联系的整体。同时，“三维目标”不是三个独立的目标，而是一个问题的三个方面。在课堂教学中，不能完成了一维目标再落实另一维目标，而是要注重“三维目标”的整体性和协调性。因此，有效教学主张教师树立教学目标的整体结构观念，全面实现“三维目标”，使教学目标价值的实现统一于同一教学过程中，从而充分实现教学的基本价值，促进学生全面和谐的发展。
在推进数学教学改革的实践中，我校提出课例研究主题为“开展有效课堂教学”。目的是通过有效课堂教学，使复习更有效，更有利于学生的高考，同时又能减轻学生的负担。在课堂教学中又能培养学生参与意识、合作意识、创新素质，一步一个脚印地面向全体学生，使每个学生有所发展，获得有价值的数学。使他们在数学学习中摆脱枯燥乏味，而是能真正地了解数学、体会数学，甚至爱上数学。本次的课例研究也是围绕这个主题开展的。我选择的是高三的一节数学课作为课例研究的载体，课题为《等差、等比数列的通项及其求和》，教学课时为高考二轮专题复习课。
但也有不足之处，主要是：
1.在本节课中，教师的提示及引导过少，以至于一部分学生不能真正地明白解题方法。
2.传统的教学，教师关注的重点是：学生方法的掌握和解题的熟练程度。但是这种注重方法统一的教学，对培育和发展学生的思维有多大价值？
3.通过常规例题、常规方法的讲解，怎样使本节课的内容能进一步的升华，让学生有更多的思维想象空间。
我们在集体反思与讨论的基础上，得到了一个共同认识：教师应尊重和鼓励学生独立思考；“交流”不意味着让学生重复别人的正确解法，更应尊重学生解题过程中的多种方法并让学生有机会表达出来。
教师达成的这个共识向我们暗示：课堂中的语言是教学的基本工具，尤其是口头语言，它是学生数学思维外显的载体；让学生“表达”，就是通过学生的语言交流表达他们思维的结果。这样才能让更多的智慧在课堂中闪现，才能让更多的学生真正地参与到课堂中来。
第二次授课：
如，在分析例2的变式6时：
教师活动：本例显然不能运用公式法、累加法、累乘法做题，那么如何解决这类问题呢？回想之前我们在复习的过程中经常会提到如果能把一个问题转化为我们熟悉的问题或形式，那么我们就能运用我们所学的知识解决这类问题了。那么在数列中什么数列是我们最熟悉的呢？
学生回答：等差和等比数列。
教师活动：对了，那么我们就想办法把它构造成特殊的数列。讲解第一种方法：构造法。边分析边提问，如何处理系数，最后总结出此种方法的特点及步骤，并说明这是利用数学中的转化与化归的思想解题。
继续追问：还有同学有不同方法吗？
学生活动：互相讨论、纷纷思考。
在学生交流的过程中，教师边板书边反复用“还有不同意见吗？”“太棒了！”的课堂语言组织交流；用“你怎么想的？”“为什么？”引导发言者表述自己的思维过程。
整个交流过程教师流露出满意的神态，最后教师说：“同学们，你们的办法真多！看来我们的同学都是非常有潜力的。希望你们以后遇到问题要多多思考，要迎难而上。”
第二次课后讨论：
我们教研组的所有教师观课后，一起坐了下来。
对于这堂课，教师感到很兴奋。有的教师说：让学生独立地尝试、探索，这样就可以使不同的学生有不同的解题方法，交流尤其充分！
也有教师认为，让学生在小组内、向全班交流自己的解题方法，这样可以使全体学生共享智慧。
还有教师觉得“自主尝试—小组交流—全班反馈”的教学策略起到了很好的作用。
还有教师觉得变式教学对培养学生的思维非常的有好处，既全方位地掌握了解题方法，又对学生思维的锻炼起到了很好的锻炼。
这次讨论所达成的共识中，课堂交流不但被视为对思维结果的外显表达，更被视为对不同的思维过程的表达。
让学生表达不同的思考过程、达到相互沟通理解，实际上就是承认了学习是一个群体中互动的经验过程；对不同的方法做出比较、判断和优化，也即把学习视为一个具有“社会协商”性质的主动建构过程。从这个角度来看，“交流”的实质与当前人们对学习的认识是一脉相承的。
四、归纳总结，提升拓展
最后，反思解题方法，归纳总结解题规律：
1.如何求数列的前n项和？有哪些方法？这些方法的步骤分别是怎样的？要注意哪些问题？
2.求数列通项公式的方法有哪些？构造法求通项要注意哪些问题？
（让学生自己通过对所解问题进行总结归纳，反思自己的问题）
在《等差、等比数列的通项及其求和》两次授课中，在不同阶段教师对此有不同的理解，表现出不同的教学行为：
1.利用变式方式进行教学，在数学教学过程中对问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示了不同知识点间的内在联系，同时进一步深化了不同问题的解决方式，让学生对待形形色色的问题也能做到胸有成竹。
2.交流就是让学生充分“说话”，尽可能给学生表达的机会，交流还要让学生表达不同的多样化的方法并相互启发，交流更要让学生之间沟通和理解不同的方法，并通过比较分析寻找相对合理和最优的方法。
可见，有效的变式及交流不仅仅是学生对思维结果和思维过程的表达，它更像一种对话——多种观点的分享、沟通和理解，更是多种观点的分析、比较、归纳、批判和整合的互动过程，并最终形成学生对求通项及求和的深刻理解。
【教有所思】
1.结合学生的实际情况，设计问题从基础入手，逐步加深难度，针对在求等差数列及等比数列的通项和前n项和问题，总结归纳常规方法，环环连接，使学生始终处于积极思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。
2.本节课中，教师始终针对学生的问题进行变换和引导，总是让学生考虑、学生讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新教材课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体；突出数学课的特点——教会学生如何解题。
3.对问题情景的设计和对学生出现的问题进行分析研究时所采用的方式方法，仍然是教师应该进一步改善和探索研究的主题。
4.课堂教学中的有效交流不仅仅表现为学生与教师、学生与学生之间的对话，更是学生与数学实质的一种对话——这才是触及学科实质的有效交流。
（作者单位 浙江省武义第三中学）
在推进数学教学改革的实践中，我校提出课例研究主题为“开展有效课堂教学”。目的是通过有效课堂教学，使复习更有效，更有利于学生的高考，同时又能减轻学生的负担。在课堂教学中又能培养学生参与意识、合作意识、创新素质，一步一个脚印地面向全体学生，使每个学生有所发展，获得有价值的数学。使他们在数学学习中摆脱枯燥乏味，而是能真正地了解数学、体会数学，甚至爱上数学。本次的课例研究也是围绕这个主题开展的。我选择的是高三的一节数学课作为课例研究的载体，课题为《等差、等比数列的通项及其求和》，教学课时为高考二轮专题复习课。
但也有不足之处，主要是：
1.在本节课中，教师的提示及引导过少，以至于一部分学生不能真正地明白解题方法。
2.传统的教学，教师关注的重点是：学生方法的掌握和解题的熟练程度。但是这种注重方法统一的教学，对培育和发展学生的思维有多大价值？
3.通过常规例题、常规方法的讲解，怎样使本节课的内容能进一步的升华，让学生有更多的思维想象空间。
我们在集体反思与讨论的基础上，得到了一个共同认识：教师应尊重和鼓励学生独立思考；“交流”不意味着让学生重复别人的正确解法，更应尊重学生解题过程中的多种方法并让学生有机会表达出来。
教师达成的这个共识向我们暗示：课堂中的语言是教学的基本工具，尤其是口头语言，它是学生数学思维外显的载体；让学生“表达”，就是通过学生的语言交流表达他们思维的结果。这样才能让更多的智慧在课堂中闪现，才能让更多的学生真正地参与到课堂中来。
第二次授课：
如，在分析例2的变式6时：
教师活动：本例显然不能运用公式法、累加法、累乘法做题，那么如何解决这类问题呢？回想之前我们在复习的过程中经常会提到如果能把一个问题转化为我们熟悉的问题或形式，那么我们就能运用我们所学的知识解决这类问题了。那么在数列中什么数列是我们最熟悉的呢？
学生回答：等差和等比数列。
教师活动：对了，那么我们就想办法把它构造成特殊的数列。讲解第一种方法：构造法。边分析边提问，如何处理系数，最后总结出此种方法的特点及步骤，并说明这是利用数学中的转化与化归的思想解题。
继续追问：还有同学有不同方法吗？
学生活动：互相讨论、纷纷思考。
在学生交流的过程中，教师边板书边反复用“还有不同意见吗？”“太棒了！”的课堂语言组织交流；用“你怎么想的？”“为什么？”引导发言者表述自己的思维过程。
整个交流过程教师流露出满意的神态，最后教师说：“同学们，你们的办法真多！看来我们的同学都是非常有潜力的。希望你们以后遇到问题要多多思考，要迎难而上。”
第二次课后讨论：
我们教研组的所有教师观课后，一起坐了下来。
对于这堂课，教师感到很兴奋。有的教师说：让学生独立地尝试、探索，这样就可以使不同的学生有不同的解题方法，交流尤其充分！
也有教师认为，让学生在小组内、向全班交流自己的解题方法，这样可以使全体学生共享智慧。
还有教师觉得“自主尝试—小组交流—全班反馈”的教学策略起到了很好的作用。
还有教师觉得变式教学对培养学生的思维非常的有好处，既全方位地掌握了解题方法，又对学生思维的锻炼起到了很好的锻炼。
这次讨论所达成的共识中，课堂交流不但被视为对思维结果的外显表达，更被视为对不同的思维过程的表达。
让学生表达不同的思考过程、达到相互沟通理解，实际上就是承认了学习是一个群体中互动的经验过程；对不同的方法做出比较、判断和优化，也即把学习视为一个具有“社会协商”性质的主动建构过程。从这个角度来看，“交流”的实质与当前人们对学习的认识是一脉相承的。
四、归纳总结，提升拓展
最后，反思解题方法，归纳总结解题规律：
1.如何求数列的前n项和？有哪些方法？这些方法的步骤分别是怎样的？要注意哪些问题？
2.求数列通项公式的方法有哪些？构造法求通项要注意哪些问题？
（让学生自己通过对所解问题进行总结归纳，反思自己的问题）
在《等差、等比数列的通项及其求和》两次授课中，在不同阶段教师对此有不同的理解，表现出不同的教学行为：
1.利用变式方式进行教学，在数学教学过程中对问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示了不同知识点间的内在联系，同时进一步深化了不同问题的解决方式，让学生对待形形色色的问题也能做到胸有成竹。
2.交流就是让学生充分“说话”，尽可能给学生表达的机会，交流还要让学生表达不同的多样化的方法并相互启发，交流更要让学生之间沟通和理解不同的方法，并通过比较分析寻找相对合理和最优的方法。
可见，有效的变式及交流不仅仅是学生对思维结果和思维过程的表达，它更像一种对话——多种观点的分享、沟通和理解，更是多种观点的分析、比较、归纳、批判和整合的互动过程，并最终形成学生对求通项及求和的深刻理解。
【教有所思】
1.结合学生的实际情况，设计问题从基础入手，逐步加深难度，针对在求等差数列及等比数列的通项和前n项和问题，总结归纳常规方法，环环连接，使学生始终处于积极思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。
2.本节课中，教师始终针对学生的问题进行变换和引导，总是让学生考虑、学生讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新教材课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体；突出数学课的特点——教会学生如何解题。
3.对问题情景的设计和对学生出现的问题进行分析研究时所采用的方式方法，仍然是教师应该进一步改善和探索研究的主题。
4.课堂教学中的有效交流不仅仅表现为学生与教师、学生与学生之间的对话，更是学生与数学实质的一种对话——这才是触及学科实质的有效交流。
（作者单位 浙江省武义第三中学）