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【摘 要】数学教学不能只关注教材所呈现出来的显性知识，还要正确把握其背后的隐性知识。隐性知识因高度个人化而难以形式化，因此不易传授给他人。但是，教师仍可以结合实际教学，引领学生经历“融化—感应—碰撞—挖掘”的过程，使学生逐渐“走近”隐性知识，“遇见”隐性知识，“触碰”隐性知识，与隐性知识“深度对话”。
【关键词】小学数学 隐性知识 显性知识 深度对话
数学教育家张奠宙先生曾深刻地指出：“教什么永远比怎么教更重要。”那么，数学要教什么？数学是什么？2 3=5是数学吗？当然是数学，但数学仅止于此吗？显然不是。随着研究的深入，越来越多的人意识到数学知识应当包括显性知识（能明确表达和传授的知识）和隐性知识（难以言述的知识）。美国著名心理学家麦克利兰于1973年提出了一个著名的“素质冰山模型”，数学知识也可以看作这样的“冰山模型”。显性知识是“冰山水面以上的部分”，但它只是冰山一角，在整个数学学习过程中起决定作用的是“冰山水面以下的部分”——隐性知识。（见图1）显性知识的接收、理解、记忆、整理、深化等的效果要依靠隐性知识的运作。因此，我们教数学并不只是教教材所呈现出来的显性知识，还要正确把握其背后更深层次的隐性知识。
一、数学隐性知识的构成
隐性知识涉及的方面很多。对于数学学科而言，隐性知识应当主要包含数学文化、数学思维、数学态度三个方面。
1.数学是一种文化，来自智慧，注重延展。
综观数学发展的历史，充满着人类对自然界的敬畏、探知、征服。数学是深邃而美丽的，数学与文学、艺术、哲学都有着密不可分的联系。数学诗、黄金分割比例、曲线与直线的变换……看似简单的数学知识的背后隐藏着巨大的人类文明。因此，数学教师应该通过多种形式展现数学之美，让孩子在广阔的数学文化世界中游弋。
2.数学是一种思维，来自逻辑，注重辨证。
数学教会我们如何思考，帮助我们确定思维的方向，进而从不同角度来解决问题。看到学生在学习乘法之前用加法、画图等方法解决问题的时候，我们会倍感欣慰。如果学生只会在教师的教授下写出标准答案，这样的学生只能算是“听话的学生”；如果学生会通过自己的思考，运用所学过的知识找到解决问题的途径，这样的学生就是“好学生”。
3.数学是一种态度，来自外促，注重内化。
数学能让我们习得一种良好的学习态度。学习态度是后天习得的，它随着社会环境的变化和个人经验的获得而不断变化。教师要从点滴做起，为学生营造踏实严谨的学习氛围，督促学生养成良好的数学学习习惯，并逐步内化为学生的数学素养。
二、遇见“未知”的数学
隐性知识因其“隐”而难以言传。但是，我们仍可以结合实际教学，引领学生经历“融化—感应—碰撞—挖掘”的过程，使学生逐渐“走近”隐性知识，“遇见”隐性知识，“触碰”隐性知识，与隐性知识“深度对话”。（见图2）
1.融化：“道是无晴却有晴”，创设情意相融的教学情境。
要“融化”隐性知识外的冰层，必须借助于“情意相融”的教学情境，即不为情境而情境（无情），而是紧扣隐性知识的相关要素来创设情境（有情）。具体来说，应当注意以下几点：
（1）简约。情境创设并不是越复杂、越华丽就越好，有时，简约反而更能触及数学的本质。著名数学特级教师华应龙在执教《中括号》一课时，并没有像很多教师那样去“创设一个‘现实’问题情境”，而是从常见的数学游戏入手：添上适当的数学符号使等式成立。但是问题越来越难，越来越有挑战性，而这个“挑战性”是有目的的：改变运算的顺序。学生在游戏中被吸引了，逐步感受到约束运算顺序的必要性，创造了“中括号”，掌握了含有中括号的运算顺序。
（2）深度。要触及隐性知识，我们在创设情境时就不能只浮于问题表面，而应当更深层次地思考数学问题。例如，在进行“解决问题的策略”的教学时，应当深入地分析每一种解题策略的特点：列表策略适用于信息复杂、信息之间关系模糊的问题；画图策略适用于较抽象而又可以画图来思考的问题；转化策略适用于运用已有经验探索新知的问题……在教学中，为了突出某一策略的特性，教师应有针对性地设置问题情境，有的放矢，才能触及策略教学的本质及其蕴含的隐性知识。
（3）延展。有效的数学情境能够让学生“触景生思”，诱发学生数学思维的积极性，引起他们更多的数学联想，逐步向隐性知识靠近。例如，在教学《长方形、正方形的周长》一课时，教师创设了这样一个生活中的问题情境：一群调皮的小鸡在一面靠墙的草地上觅食，但它们总是走散，你有什么办法不让小鸡走散吗？请你设计方案。假如给你篱笆，围一个长10米、宽5米的长方形小鸡活动场地，你能设计几种方案呢？这个问题没有一定的解题模式，结果随着策略和条件的变化而变化，激发了学生内在的潜力。
2.感应：“形散而神不散”，开展张弛有度的实践活动。
有效的实践活动能够帮助学生初步“感应”隐性知识。但是，不少教师在开展实践活动时，往往会陷入一种散乱、无法控制的局面。如何让活动张弛有度、“形散而神不散”呢？
（1）明确“做”的目的，使学生“乐做”。小学生的年龄特点决定了他们在进行操作活动时，往往会陷入无序的状态。因此，教师在学生进行操作活动前就应先明确操作的目的，在操作过程中也应及时引领偏题的学生回到研究主题上来。目的明确的操作活动能使学生对于操作活动本身的关注更为清晰准确，从而“乐做”，这更有助于学生感应活动中的隐性知识。如《认识分数》教学中，当学生已经初步认识了1/2后，教师提出操作要求：拿出一张长方形纸，折一折，找出它的1/2，并把它的1/2涂上颜色。简单的几句话说出了操作目的：一是通过操作使学生加深对分数1/2的直观理解；二是抽象感知图形（物体）平均分成两份的方式不同，其中的一份都用1/2表示。
（2）教给学生“做”的方法，使其“会做”。经过精心设计、合乎逻辑的操作方法不仅能使学生获得知识，而且有利于提高学生的逻辑思维能力，增强其对隐性知识的感应能力。教学时，要在方法上给予学生“做”的指导，让每个学生都能熟悉操作的一般方法和策略，使学生“会做”。例如，在教学《可能性》一课组织学生进行摸球活动前，教师有必要对如何摸球、如何记录、如何分工等作适当的定向指导。否则学生在操作过程中要么束手无策，要么操作不规范，影响进一步的研究，使操作活动彻底失去了意义。 3.碰撞：“四两拨千斤”，建立从容智慧的理答交流。
数学学习是一个动态的过程，教师要具有“四两拨千斤”的从容和智慧，善于把握时机，通过师生、生生间的理答交流，不断扩大课堂的张力，让思维碰撞出的智慧火花彰显隐性知识的魅力。
（1）倾听。倾听是教师对待学生的一种态度。教师和学生在倾听和诉说中相互交流，倾听的过程就是对学生的尊重与欣赏。一个真正的倾听者，不光是听其言，还要观其行、审其思，要始终欣赏每一位学生的独特性，去了解学生的各种想法，有时还要通过巧妙的引导帮助学生把“口欲言而不能”的内容表达出来。如此，学生才能在融洽的学习氛围中积极主动地去碰撞隐性知识。
（2）接纳。接纳是教师对待学生的一种气度。学生在学习过程中会产生各种想法，其中不乏一些错误的观点。从学生的角度看，这些观点都是他们依据已有的知识经验主动建构的，如果教师只是一味地否定批评，就会直接扼杀学生探究知识的欲望，将学生关在隐性知识的大门外。因此，教师必须以开放的心态接纳不同的观点，包括错误的观点，要善于挖掘隐藏在错误之中的“真金”，让学生在不断的尝试摸索中去碰撞隐性知识。
（3）分享。分享是一种主动的、平等的交流。学生之间的交流是一场思维的盛宴。在这里，教师只是参与者、引导者、聆听者与欣赏者。打破了师讲生听“一言堂”式的课堂模式，学生能够从各种束缚、定势中解放出来，在宽松愉悦的分享交流中碰撞隐性知识。
4.挖掘：“向思维更深处漫溯”，引导扎实有效的深刻反思。
反思能使思维向隐性知识的更深处漫溯。但是，大多数学生不会反思、不善反思。如何提高学生的反思能力？教师除了给学生提供反思的时间、空间外，还可以从以下三个方面入手：
（1）引导学生有序反思。小学生的思维是相对无序的，在反思时往往不知从何处下手。因此，教师必须给予适当的指导，通过一系列有序的问题来引导学生反思。例如，在推导出圆柱体积的计算公式后，教师可以引导学生反思：刚才我们运用了什么方法推导出圆柱体积的计算公式的？是怎样转化的呢？转化后的长方体和圆柱之间有什么关系？……通过层层推进的追问，使反思更有条理、更有效。
（2）指导学生有理有据地反思。小学生的思维有很大的跳跃性，常常会冒出些“无厘头”的想法，但是反思不是凭空想象，是有理有据的回顾和思考。因此，教师应指导学生有理有据地思考问题，凡事都问个“为什么”。例如，在遇到算法多样化时，教师应引导学生反思：为什么喜欢这种方法？为什么会放弃原来的方法而认同新的方法？……引导学生将反思建立在理性思考的基础上。
（3）注重培养学生的语言表述能力。语言是思维的外壳，反思的过程与结果必须通过语言表达出来。小学生的语言表达能力较弱，往往“心口不一”。因此，在培养学生反思能力的同时，不能忽视学生数学语言表达能力的培养，语言的磨炼将能使反思更严谨、更灵活。
我们珍惜每一次的相遇，数学学习亦是如此。过去，我们引领学生遇见的更多的是显性知识，而众多的隐性知识还等着我们去探寻、遇见并与之深度对话！
注：本文获2012年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：江苏省无锡市崇安区广益中心小学）
【关键词】小学数学 隐性知识 显性知识 深度对话
数学教育家张奠宙先生曾深刻地指出：“教什么永远比怎么教更重要。”那么，数学要教什么？数学是什么？2 3=5是数学吗？当然是数学，但数学仅止于此吗？显然不是。随着研究的深入，越来越多的人意识到数学知识应当包括显性知识（能明确表达和传授的知识）和隐性知识（难以言述的知识）。美国著名心理学家麦克利兰于1973年提出了一个著名的“素质冰山模型”，数学知识也可以看作这样的“冰山模型”。显性知识是“冰山水面以上的部分”，但它只是冰山一角，在整个数学学习过程中起决定作用的是“冰山水面以下的部分”——隐性知识。（见图1）显性知识的接收、理解、记忆、整理、深化等的效果要依靠隐性知识的运作。因此，我们教数学并不只是教教材所呈现出来的显性知识，还要正确把握其背后更深层次的隐性知识。
一、数学隐性知识的构成
隐性知识涉及的方面很多。对于数学学科而言，隐性知识应当主要包含数学文化、数学思维、数学态度三个方面。
1.数学是一种文化，来自智慧，注重延展。
综观数学发展的历史，充满着人类对自然界的敬畏、探知、征服。数学是深邃而美丽的，数学与文学、艺术、哲学都有着密不可分的联系。数学诗、黄金分割比例、曲线与直线的变换……看似简单的数学知识的背后隐藏着巨大的人类文明。因此，数学教师应该通过多种形式展现数学之美，让孩子在广阔的数学文化世界中游弋。
2.数学是一种思维，来自逻辑，注重辨证。
数学教会我们如何思考，帮助我们确定思维的方向，进而从不同角度来解决问题。看到学生在学习乘法之前用加法、画图等方法解决问题的时候，我们会倍感欣慰。如果学生只会在教师的教授下写出标准答案，这样的学生只能算是“听话的学生”；如果学生会通过自己的思考，运用所学过的知识找到解决问题的途径，这样的学生就是“好学生”。
3.数学是一种态度，来自外促，注重内化。
数学能让我们习得一种良好的学习态度。学习态度是后天习得的，它随着社会环境的变化和个人经验的获得而不断变化。教师要从点滴做起，为学生营造踏实严谨的学习氛围，督促学生养成良好的数学学习习惯，并逐步内化为学生的数学素养。
二、遇见“未知”的数学
隐性知识因其“隐”而难以言传。但是，我们仍可以结合实际教学，引领学生经历“融化—感应—碰撞—挖掘”的过程，使学生逐渐“走近”隐性知识，“遇见”隐性知识，“触碰”隐性知识，与隐性知识“深度对话”。（见图2）
1.融化：“道是无晴却有晴”，创设情意相融的教学情境。
要“融化”隐性知识外的冰层，必须借助于“情意相融”的教学情境，即不为情境而情境（无情），而是紧扣隐性知识的相关要素来创设情境（有情）。具体来说，应当注意以下几点：
（1）简约。情境创设并不是越复杂、越华丽就越好，有时，简约反而更能触及数学的本质。著名数学特级教师华应龙在执教《中括号》一课时，并没有像很多教师那样去“创设一个‘现实’问题情境”，而是从常见的数学游戏入手：添上适当的数学符号使等式成立。但是问题越来越难，越来越有挑战性，而这个“挑战性”是有目的的：改变运算的顺序。学生在游戏中被吸引了，逐步感受到约束运算顺序的必要性，创造了“中括号”，掌握了含有中括号的运算顺序。
（2）深度。要触及隐性知识，我们在创设情境时就不能只浮于问题表面，而应当更深层次地思考数学问题。例如，在进行“解决问题的策略”的教学时，应当深入地分析每一种解题策略的特点：列表策略适用于信息复杂、信息之间关系模糊的问题；画图策略适用于较抽象而又可以画图来思考的问题；转化策略适用于运用已有经验探索新知的问题……在教学中，为了突出某一策略的特性，教师应有针对性地设置问题情境，有的放矢，才能触及策略教学的本质及其蕴含的隐性知识。
（3）延展。有效的数学情境能够让学生“触景生思”，诱发学生数学思维的积极性，引起他们更多的数学联想，逐步向隐性知识靠近。例如，在教学《长方形、正方形的周长》一课时，教师创设了这样一个生活中的问题情境：一群调皮的小鸡在一面靠墙的草地上觅食，但它们总是走散，你有什么办法不让小鸡走散吗？请你设计方案。假如给你篱笆，围一个长10米、宽5米的长方形小鸡活动场地，你能设计几种方案呢？这个问题没有一定的解题模式，结果随着策略和条件的变化而变化，激发了学生内在的潜力。
2.感应：“形散而神不散”，开展张弛有度的实践活动。
有效的实践活动能够帮助学生初步“感应”隐性知识。但是，不少教师在开展实践活动时，往往会陷入一种散乱、无法控制的局面。如何让活动张弛有度、“形散而神不散”呢？
（1）明确“做”的目的，使学生“乐做”。小学生的年龄特点决定了他们在进行操作活动时，往往会陷入无序的状态。因此，教师在学生进行操作活动前就应先明确操作的目的，在操作过程中也应及时引领偏题的学生回到研究主题上来。目的明确的操作活动能使学生对于操作活动本身的关注更为清晰准确，从而“乐做”，这更有助于学生感应活动中的隐性知识。如《认识分数》教学中，当学生已经初步认识了1/2后，教师提出操作要求：拿出一张长方形纸，折一折，找出它的1/2，并把它的1/2涂上颜色。简单的几句话说出了操作目的：一是通过操作使学生加深对分数1/2的直观理解；二是抽象感知图形（物体）平均分成两份的方式不同，其中的一份都用1/2表示。
（2）教给学生“做”的方法，使其“会做”。经过精心设计、合乎逻辑的操作方法不仅能使学生获得知识，而且有利于提高学生的逻辑思维能力，增强其对隐性知识的感应能力。教学时，要在方法上给予学生“做”的指导，让每个学生都能熟悉操作的一般方法和策略，使学生“会做”。例如，在教学《可能性》一课组织学生进行摸球活动前，教师有必要对如何摸球、如何记录、如何分工等作适当的定向指导。否则学生在操作过程中要么束手无策，要么操作不规范，影响进一步的研究，使操作活动彻底失去了意义。 3.碰撞：“四两拨千斤”，建立从容智慧的理答交流。
数学学习是一个动态的过程，教师要具有“四两拨千斤”的从容和智慧，善于把握时机，通过师生、生生间的理答交流，不断扩大课堂的张力，让思维碰撞出的智慧火花彰显隐性知识的魅力。
（1）倾听。倾听是教师对待学生的一种态度。教师和学生在倾听和诉说中相互交流，倾听的过程就是对学生的尊重与欣赏。一个真正的倾听者，不光是听其言，还要观其行、审其思，要始终欣赏每一位学生的独特性，去了解学生的各种想法，有时还要通过巧妙的引导帮助学生把“口欲言而不能”的内容表达出来。如此，学生才能在融洽的学习氛围中积极主动地去碰撞隐性知识。
（2）接纳。接纳是教师对待学生的一种气度。学生在学习过程中会产生各种想法，其中不乏一些错误的观点。从学生的角度看，这些观点都是他们依据已有的知识经验主动建构的，如果教师只是一味地否定批评，就会直接扼杀学生探究知识的欲望，将学生关在隐性知识的大门外。因此，教师必须以开放的心态接纳不同的观点，包括错误的观点，要善于挖掘隐藏在错误之中的“真金”，让学生在不断的尝试摸索中去碰撞隐性知识。
（3）分享。分享是一种主动的、平等的交流。学生之间的交流是一场思维的盛宴。在这里，教师只是参与者、引导者、聆听者与欣赏者。打破了师讲生听“一言堂”式的课堂模式，学生能够从各种束缚、定势中解放出来，在宽松愉悦的分享交流中碰撞隐性知识。
4.挖掘：“向思维更深处漫溯”，引导扎实有效的深刻反思。
反思能使思维向隐性知识的更深处漫溯。但是，大多数学生不会反思、不善反思。如何提高学生的反思能力？教师除了给学生提供反思的时间、空间外，还可以从以下三个方面入手：
（1）引导学生有序反思。小学生的思维是相对无序的，在反思时往往不知从何处下手。因此，教师必须给予适当的指导，通过一系列有序的问题来引导学生反思。例如，在推导出圆柱体积的计算公式后，教师可以引导学生反思：刚才我们运用了什么方法推导出圆柱体积的计算公式的？是怎样转化的呢？转化后的长方体和圆柱之间有什么关系？……通过层层推进的追问，使反思更有条理、更有效。
（2）指导学生有理有据地反思。小学生的思维有很大的跳跃性，常常会冒出些“无厘头”的想法，但是反思不是凭空想象，是有理有据的回顾和思考。因此，教师应指导学生有理有据地思考问题，凡事都问个“为什么”。例如，在遇到算法多样化时，教师应引导学生反思：为什么喜欢这种方法？为什么会放弃原来的方法而认同新的方法？……引导学生将反思建立在理性思考的基础上。
（3）注重培养学生的语言表述能力。语言是思维的外壳，反思的过程与结果必须通过语言表达出来。小学生的语言表达能力较弱，往往“心口不一”。因此，在培养学生反思能力的同时，不能忽视学生数学语言表达能力的培养，语言的磨炼将能使反思更严谨、更灵活。
我们珍惜每一次的相遇，数学学习亦是如此。过去，我们引领学生遇见的更多的是显性知识，而众多的隐性知识还等着我们去探寻、遇见并与之深度对话！
注：本文获2012年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：江苏省无锡市崇安区广益中心小学）